Resolución de ecuaciones de segundo grado completando el cuadrado
Resolver ecuaciones de segundo grado mediante el método de completar el cuadrado, transformando la ecuación en un binomio al cuadrado.
Introducción
Antes de que existiera la fórmula general, este era el método clásico para resolver ecuaciones cuadráticas: reescribir la expresión como el cuadrado de un binomio.
Explicación
Definición formal
Completar el cuadrado transforma $x^2+px+q=0$ (con $a=1$) en $\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2 = \dfrac{p^2}{4}-q$, sumando y restando el término $\left(\dfrac{p}{2}\right)^2$ que hace que los primeros dos términos formen un cuadrado perfecto.
Desarrollo didáctico
El procedimiento consiste en aislar los términos con $x$, sumar el cuadrado de la mitad del coeficiente lineal a ambos lados, factorizar el trinomio resultante como un binomio al cuadrado, y despejar mediante raíz cuadrada.
Para $x^2+6x-7=0$: se aísla $x^2+6x=7$; se suma $9$ (el cuadrado de la mitad de $6$) a ambos lados: $x^2+6x+9=16$; se factoriza: $(x+3)^2=16$; se despeja: $x+3=\pm4$, dando $x=1$ o $x=-7$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Si $a\neq1$, divide toda la ecuación por $a$.
- Paso 2: Aísla los términos con $x$ en un lado de la igualdad.
- Paso 3: Suma el cuadrado de la mitad del coeficiente lineal a ambos lados de la igualdad.
- Paso 4: Factoriza el trinomio resultante como un binomio al cuadrado y despeja extrayendo raíz cuadrada.
Ejemplos
1 Resuelve $x^2+4x-5=0$ completando el cuadrado.
- $x^2+4x=5$.
- Sumando $4$ a ambos lados: $x^2+4x+4=9$, es decir $(x+2)^2=9$.
- $x+2=\pm3$, por lo que $x=1$ o $x=-5$.
2 Resuelve $2x^2+8x-10=0$ completando el cuadrado.
- Dividiendo por 2: $x^2+4x-5=0$.
- Completando el cuadrado como antes: $(x+2)^2=9$.
- $x=1$ o $x=-5$.
3 ¿Se puede completar el cuadrado en cualquier ecuación cuadrática?
- Es un método general, aplicable a cualquier ecuación de la forma $ax^2+bx+c=0$ con $a\neq0$.
4 ¿Completar el cuadrado y aplicar la fórmula general dan siempre el mismo resultado?
- La fórmula general se deduce precisamente completando el cuadrado sobre la forma general, por lo que ambos métodos son equivalentes.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar dividir por $a$ antes de completar el cuadrado cuando $a\neq1$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Sumar el término que completa el cuadrado solo a un lado de la igualdad, rompiendo la equivalencia."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Calcular incorrectamente el cuadrado de la mitad del coeficiente lineal."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar el signo $\pm$ al despejar la raíz cuadrada del binomio al cuadrado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Completar el cuadrado consiste en transformar $ax^2+bx+c=0$ en una expresión de la forma $(x+h)^2=k$, para luego despejar $x$ extrayendo raíz cuadrada.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Completar el cuadrado transforma la ecuación en la forma:
Se reescribe la ecuación como el cuadrado de un binomio igualado a una constante.
Respuesta: A) $(x+h)^2=k$
-
Completar el cuadrado y aplicar la fórmula general dan siempre el mismo resultado.
La fórmula general se deduce completando el cuadrado sobre la forma general.
Respuesta: Verdadero
-
Si $a\neq1$, antes de completar el cuadrado se debe:
El método se aplica más fácilmente cuando el coeficiente cuadrático es 1.
Respuesta: A) Dividir toda la ecuación por $a$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
$x^2+6x+9=(x+3)^2$.
Es el desarrollo del cuadrado de binomio (x+3)^2.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Resuelve $x^2+4x-5=0$ completando el cuadrado.
(x+2)^2=9; x+2=±3; x=1 o x=-5.
Respuesta: A) $x=1$ o $x=-5$
-
Resuelve $2x^2+8x-10=0$ completando el cuadrado.
Dividiendo por 2: x^2+4x-5=0; (x+2)^2=9; x=1 o x=-5.
Respuesta: A) $x=1$ o $x=-5$
-
El término que se suma para completar el cuadrado es el cuadrado de la mitad del coeficiente lineal.
Ese es el término que hace que la expresión sea un cuadrado perfecto.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Completar el cuadrado se puede aplicar a cualquier ecuación cuadrática con $a\neq0$.
Es un método general aplicable a toda ecuación de la forma ax^2+bx+c=0.
Respuesta: Verdadero
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Resuelve $x^2-10x+21=0$ completando el cuadrado.
(x-5)^2=4; x-5=±2; x=7 o x=3.
Respuesta: A) $x=7$ o $x=3$
-
¿Cuál es el error frecuente al completar el cuadrado?
Debe sumarse a ambos lados para mantener la equivalencia de la ecuación.
Respuesta: A) Sumar el término que completa el cuadrado solo a un lado de la igualdad