Resolución de ecuaciones de segundo grado completando el cuadrado

Resumen inicial

La resolución por completación del cuadrado consiste en transformar la ecuación en la forma $(x + p/2)^2 = K$ sumando $(p/2)^2$ a ambos miembros, permitiendo despejar la incógnita por extracción directa de raíz.

Explicación en palabras simples

La resolución por completación del cuadrado consiste en transformar la ecuación en la forma $(x + p/2)^2 = K$ sumando $(p/2)^2$ a ambos miembros, permitiendo despejar la incógnita por extracción directa de raíz

El método de completar el cuadrado es una técnica geométrica y algebraica elegante:
1. Tienes $x^2 + px = q$ (la $x^2$ y la $x$ a la izquierda, el número a la derecha).
2. El truco mágico: Tomas el número del medio ($p$), lo divides por $2$ y lo elevas al cuadrado: $\left(\frac{p}{2}\right)^2$.
3. Sumas ese valor en AMBOS lados de la balanza para no alterarla.
4. La izquierda se convierte mágicamente en un cuadrado perfecto: $\left(x + \frac{p}{2}\right)^2$.
5. Sacas raíz cuadrada en ambos lados y despejas la $x$.

Ejemplo: $x^2 + 6x = 7 \implies$ la mitad de $6$ es $3$, $3^2 = 9$. Sumas $9$: $x^2 + 6x + 9 = 7 + 9 \implies (x + 3)^2 = 16 \implies x + 3 = \pm 4 \implies x = 1$ ó $x = -7$.

Explicación formal

Sea la ecuación cuadrática mónic $x^2 + px + q = 0$ con $p, q \in \mathbb{R}$. El algoritmo de completación de cuadrados se fundamenta en la identidad del trinomio cuadrado perfecto:
$$x^2 + 2kx + k^2 = (x + k)^2$$

Desarrollo formal del método:
1. Aislamiento de monomios variables: $x^2 + px = -q$.
2. Determinación del término complementario: $k = \frac{p}{2} \implies k^2 = \left(\frac{p}{2}\right)^2 = \frac{p^2}{4}$.
3. Adición simétrica del término complementario:
$$x^2 + px + \left(\frac{p}{2}\right)^2 = -q + \left(\frac{p}{2}\right)^2$$
4. Factorización del trinomio cuadrado perfecto:
$$\left(x + \frac{p}{2}\right)^2 = \frac{p^2 - 4q}{4}$$
5. Extracción de raíz cuadrada y despeje:
$$x + \frac{p}{2} = \pm \frac{\sqrt{p^2 - 4q}}{2} \Longleftrightarrow x = -\frac{p}{2} \pm \frac{\sqrt{p^2 - 4q}}{2}$$

Definiciones clave

Completación del cuadrado: Técnica que genera un trinomio cuadrado perfecto sumando $(p/2)^2$.
Trinomio cuadrado perfecto (TCP): Trinomio factorizable como el cuadrado exacto de un binomio $(x + k)^2$.

Propiedades y relaciones importantes

Origen de la fórmula general: La resolvente general se demuestra aplicando este método a la ecuación general $ax^2 + bx + c = 0$.
Forma canónica del vértice: Permite reescribir parábolas en la forma vértice $y = a(x - h)^2 + k$.

Ejemplo guiado

Ejemplo La resolución por completación del cuadrado consiste en transformar la ecuación en la forma $(x + p/2)^2 = K$ sumando $(p/2)^2$ a ambos miembros, permitiendo despejar la incógnita por extracción directa de raíz

Resuelve la ecuación cuadrática $x^2 - 8x + 11 = 0$ mediante el método de completación de cuadrados.

Paso 1: Aislar los términos con variable pasando la constante: $x^2 - 8x = -11$.
Paso 2: Calcular el término que completa el cuadrado: $\left(\frac{-8}{2}\right)^2 = (-4)^2 = 16$.
Paso 3: Sumar 16 en ambos lados de la ecuación: $x^2 - 8x + 16 = -11 + 16$.
Paso 4: Factorizar el miembro izquierdo como cuadrado de binomio: $(x - 4)^2 = 5$.
Paso 5: Extraer raíz cuadrada con doble signo: $x - 4 = \pm \sqrt{5}$.
Paso 6: Despejar $x$: $x = 4 \pm \sqrt{5} \implies x_1 = 4 + \sqrt{5}, \; x_2 = 4 - \sqrt{5}$.

Procedimiento

Paso 1: Si $a \neq 1$, dividir toda la ecuación entre $a$ para obtener la forma mónic.
Paso 2: Transponer el término independiente al miembro derecho ($x^2 + px = -q$).
Paso 3: Calcular el valor complementario $(p/2)^2$ y sumarlo en ambos miembros de la ecuación.
Paso 4: Factorizar el miembro izquierdo como el cuadrado de binomio $(x + p/2)^2$.
Paso 5: Aplicar raíz cuadrada en ambos lados $x + p/2 = \pm \sqrt{K}$ y despejar $x$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Sumar $(p/2)^2$ únicamente al lado izquierdo olvidando sumarlo a la derecha.
Cómo corregirlo: La ecuación es una balanza: todo lo que sumas a la izquierda debes sumarlo exactamente igual a la derecha.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Cometer errores de signo en el binomio al cuadrado resultante."

"Olvidar sumar el término al lado derecho de la ecuación."

"No dividir por a cuando el coeficiente cuadrático es distinto de 1."

"El método de completación de cuadrados suma (p/2)² en ambos lados para formar (x + p/2)² = K."

"La fórmula general cuadrática se demuestra formalmente completando el cuadrado en ax² + bx + c = 0."

Al terminar debes poder

Resumen La resolución por completación del cuadrado consiste en transformar la ecuación en la forma $(x + p/2)^2 = K$ sumando $(p/2)^2$ a ambos miembros, permitiendo despejar la incógnita por extracción directa de raíz

Resolver ecuaciones cuadráticas mediante el método de completación del cuadrado.

Sumando (p/2)² en ambos miembros, factorizando el trinomio cuadrado perfecto y despejando la variable.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Completar el cuadrado transforma la ecuación en la forma:
Se reescribe la ecuación como el cuadrado de un binomio igualado a una constante.

Respuesta: A) $(x+h)^2=k$
Completar el cuadrado y aplicar la fórmula general dan siempre el mismo resultado.
Si $a\neq1$, antes de completar el cuadrado se debe:
El método se aplica más fácilmente cuando el coeficiente cuadrático es 1.

Respuesta: A) Dividir toda la ecuación por $a$

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

$x^2+6x+9=(x+3)^2$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Resuelve $x^2+4x-5=0$ completando el cuadrado.
(x+2)^2=9; x+2=±3; x=1 o x=-5.

Respuesta: A) $x=1$ o $x=-5$
Resuelve $2x^2+8x-10=0$ completando el cuadrado.
Dividiendo por 2: x^2+4x-5=0; (x+2)^2=9; x=1 o x=-5.

Respuesta: A) $x=1$ o $x=-5$
El término que se suma para completar el cuadrado es el cuadrado de la mitad del coeficiente lineal.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Completar el cuadrado se puede aplicar a cualquier ecuación cuadrática con $a\neq0$.
Resuelve $x^2-10x+21=0$ completando el cuadrado.
(x-5)^2=4; x-5=±2; x=7 o x=3.

Respuesta: A) $x=7$ o $x=3$
¿Cuál es el error frecuente al completar el cuadrado?
Debe sumarse a ambos lados para mantener la equivalencia de la ecuación.

Respuesta: A) Sumar el término que completa el cuadrado solo a un lado de la igualdad

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación