Cálculo del discriminante mediante la expresión b² - 4ac
Aplicar correctamente la expresión $b^2-4ac$ para calcular el discriminante de distintas ecuaciones cuadráticas.
Introducción
Calcular el discriminante es un procedimiento mecánico de tres pasos, pero exige cuidado especial con los signos, sobre todo cuando $a$ o $c$ son negativos.
Explicación
Definición formal
El cálculo del discriminante $\Delta=b^2-4ac$ requiere elevar $b$ al cuadrado, calcular el producto $4ac$, y restar ambos resultados en ese orden. Cada operación debe respetar los signos de los coeficientes originales.
Desarrollo didáctico
Es recomendable calcular $b^2$ y $4ac$ por separado antes de restar, especialmente cuando $a$ o $c$ son negativos, ya que el producto $4ac$ puede resultar negativo, y restar un número negativo equivale a sumar.
Para $3x^2+2x-5=0$: $b^2=2^2=4$; $4ac=4(3)(-5)=-60$; $\Delta=4-(-60)=4+60=64$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica $a$, $b$ y $c$ en la forma general de la ecuación.
- Paso 2: Calcula $b^2$ por separado.
- Paso 3: Calcula el producto $4ac$ por separado, respetando los signos.
- Paso 4: Resta: $\Delta=b^2-(4ac)$.
Ejemplos
1 Calcula el discriminante de $-x^2+6x-9=0$.
- $a=-1$, $b=6$, $c=-9$.
- $b^2=36$; $4ac=4(-1)(-9)=36$.
- $\Delta=36-36=0$.
2 Calcula el discriminante de $2x^2-7x+3=0$.
- $a=2$, $b=-7$, $c=3$.
- $b^2=49$; $4ac=4(2)(3)=24$.
- $\Delta=49-24=25$.
3 ¿Restar un producto $4ac$ negativo aumenta el valor del discriminante?
- Restar un número negativo equivale a sumar su valor absoluto, por lo que el discriminante aumenta.
4 ¿El signo de $b$ afecta el resultado de $b^2$?
- Al elevar al cuadrado, el resultado siempre es positivo o cero, sin importar el signo original de $b$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Calcular $4ac$ con un signo incorrecto cuando $a$ o $c$ son negativos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que restar un número negativo equivale a sumar."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Elevar incorrectamente $b^2$ cuando $b$ es negativo, obteniendo un resultado negativo por error."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Sustituir los coeficientes sin haber llevado antes la ecuación a su forma general."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Calcular el discriminante consiste en sustituir los valores de $a$, $b$ y $c$ en la expresión $\Delta=b^2-4ac$ y simplificar, prestando especial atención a los signos.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Restar un producto $4ac$ negativo aumenta el valor del discriminante.
Restar un número negativo equivale a sumar su valor absoluto.
Respuesta: Verdadero
-
Al calcular $\Delta=b^2-4ac$, ¿qué se debe calcular primero?
Es recomendable calcular ambos términos por separado antes de restar.
Respuesta: A) $b^2$ y $4ac$ por separado
-
¿El signo de $b$ afecta el resultado de $b^2$?
Al elevar al cuadrado, el resultado siempre es no negativo.
Respuesta: A) No, siempre es positivo o cero
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
En $-x^2+6x-9=0$, el discriminante es 0.
b^2=36; 4ac=4(-1)(-9)=36; Delta=36-36=0.
Respuesta: Verdadero
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Calcula el discriminante de $2x^2-7x+3=0$.
b^2=49; 4ac=4(2)(3)=24; Delta=49-24=25.
Respuesta: A) $25$
-
Calcula el discriminante de $3x^2+2x-5=0$.
b^2=4; 4ac=4(3)(-5)=-60; Delta=4-(-60)=64.
Respuesta: A) $64$
-
Calcular el discriminante requiere que la ecuación esté en su forma general.
Solo así se identifican correctamente a, b y c.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
En $-2x^2+3x+4=0$, el discriminante es 41.
b^2=9; 4ac=4(-2)(4)=-32; Delta=9-(-32)=41.
Respuesta: Verdadero
-
Calcula el discriminante de $5x^2-2x-3=0$.
b^2=4; 4ac=4(5)(-3)=-60; Delta=4-(-60)=64.
Respuesta: A) $64$
-
¿Cuál es el error frecuente al calcular $4ac$ con coeficientes negativos?
Es fácil equivocarse de signo cuando a o c son negativos.
Respuesta: A) Cometer errores de signo