Resolución mediante regla de Cramer
Utilizar reglas matriciales simples para resolver sistemas directamente sin despejes.
Introducción
Primero ordenas las ecuaciones: las 'x' y las 'y' a la izquierda, los números a la derecha.
Explicación
Definición formal
La regla de Cramer aplica a sistemas lineales $2\times2$ cuyo determinante principal es no nulo. Para el sistema
$$\begin{cases} ax+by=e,\\ cx+dy=f, \end{cases}$$
se define el determinante del sistema como
$$\Delta=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc.$$
Si $\Delta\neq0$, el sistema tiene solución única y viene dada por
$$x=\frac{\Delta_x}{\Delta},\qquad y=\frac{\Delta_y}{\Delta},$$
donde $\Delta_x$ y $\Delta_y$ se obtienen reemplazando, respectivamente, la columna de coeficientes de $x$ o de $y$ por la columna de términos independientes.
Desarrollo didáctico
Primero ordenas las ecuaciones: las 'x' y las 'y' a la izquierda, los números a la derecha.
Luego calculas un número principal llamado 'Determinante del Sistema' ($\Delta S$). Lo haces cruzando los coeficientes de $x$ e $y$: $(A \cdot D) - (B \cdot C)$.
Calculas determinantes similares para la $x$ ($\Delta x$) y para la $y$ ($\Delta y$), reemplazando sus columnas por los números independientes.
Al final, las soluciones son divisiones simples: $x = \frac{\Delta x}{\Delta S}$ e $y = \frac{\Delta y}{\Delta S}$.
Es el método ideal si odias las fracciones intermedias.
Cómo hacerlo paso a paso
- Ordena el sistema en la forma $Ax + By = C$.
- Calcula el determinante del sistema ($\Delta S$) usando los coeficientes de $x$ e $y$.
- Calcula el determinante de $x$ ($\Delta x$) reemplazando la columna de $x$ por los términos independientes.
- Calcula el determinante de $y$ ($\Delta y$) reemplazando la columna de $y$ por los términos independientes.
- Encuentra las soluciones con $x = \Delta x / \Delta S$ e $y = \Delta y / \Delta S$.
Ejemplos
1 Resuelve o interpreta $x$ y $\Delta x$ usando las condiciones de este recurso.
- Calculas determinantes similares para la $x$ ($\Delta x$) y para la $y$ ($\Delta y$), reemplazando sus columnas por los números independientes. Al final, las soluciones son divisiones simples: $x = \frac{\Delta x}{\Delta S}$ e $y = \frac{\Delta y}{\Delta S}$. Es el método ideal si odias las fracciones intermedias.
- Ordena el sistema en la forma $Ax + By = C$.
2 Justifica el procedimiento adecuado para el caso $\Delta S$ y $(A \cdot D) - (B \cdot C)$.
- Primero ordenas las ecuaciones: las 'x' y las 'y' a la izquierda, los números a la derecha. Luego calculas un número principal llamado 'Determinante del Sistema' ($\Delta S$). Lo haces cruzando los coeficientes de $x$ e $y$: $(A \cdot D) - (B \cdot C)$.
- Calcula el determinante del sistema ($\Delta S$) usando los coeficientes de $x$ e $y$.
3 Respecto de «Resolución mediante regla de Cramer»: ¿Describe adecuadamente el concepto esta frase? «El método de Cramer es una fórmula adecuado que no requiere que pienses en álgebra, solo en aritmética pura y multiplicaciones cruzadas»
- La afirmación coincide con la definición formal: El método de Cramer es una fórmula adecuado que no requiere que pienses en álgebra, solo en aritmética pura y multiplicaciones cruzadas.
4 Respecto de «Resolución mediante regla de Cramer»: ¿Se puede aceptar esta afirmación? «Puede omitirse esta condición sin cambiar el resultado: «Ordena el sistema en la forma $Ax + By = C$»»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: El método de Cramer es una fórmula adecuado que no requiere que pienses en álgebra, solo en aritmética pura y multiplicaciones cruzadas.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Puede omitirse esta condición sin cambiar el resultado: «Ordena el sistema en la forma $Ax + By = C$»."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Es válido invertir el orden y dejar para el final esta acción: «Calcula el determinante del sistema ($\Delta S$) usando los coeficientes de $x$ e $y$»."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"La definición sigue cumpliéndose aunque no se considere que el método de Cramer es una fórmula adecuado que no requiere que pienses en álgebra, solo en aritmética pura y multiplicaciones cruzadas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Basta con ejecutar una parte del procedimiento; no es necesario revisar «Calcula el determinante de $y$ ($\Delta y$) reemplazando la columna de $y$ por los términos independientes»."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"La comprobación del resultado vuelve innecesaria la condición «Encuentra las soluciones con $x = \Delta x / \Delta S$ e $y = \Delta y / \Delta S$»."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El método de Cramer es una fórmula adecuado que no requiere que pienses en álgebra, solo en aritmética pura y multiplicaciones cruzadas.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
En relación con «Resolución mediante regla de Cramer», evalúa la afirmación: Puede omitirse esta condición sin cambiar el resultado: «Ordena el sistema en la forma $Ax + By = C$».
['El método de Cramer es una fórmula adecuado que no requiere que pienses en álgebra, solo en aritmética pura y multiplicaciones cruzadas.']
Respuesta: Falso
-
En relación con «Resolución mediante regla de Cramer», evalúa la afirmación: El método de Cramer es una fórmula adecuado que no requiere que pienses en álgebra, solo en aritmética pura y multiplicaciones cruzadas.
['El método de Cramer es una fórmula adecuado que no requiere que pienses en álgebra, solo en aritmética pura y multiplicaciones cruzadas.']
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál de las siguientes formulaciones caracteriza correctamente «Resolución mediante regla de Cramer»?
['El método de Cramer es una fórmula adecuado que no requiere que pienses en álgebra, solo en aritmética pura y multiplicaciones cruzadas.']
Respuesta: El método de Cramer es una fórmula adecuado que no requiere que pienses en álgebra, solo en aritmética pura y multiplicaciones cruzadas.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
¿Qué condición forma parte del procedimiento correcto para «Resolución mediante regla de Cramer»?
['Ordena el sistema en la forma $Ax + By = C$.', 'El método de Cramer es una fórmula adecuado que no requiere que pienses en álgebra, solo en aritmética pura y multiplicaciones cruzadas.']
Respuesta: Ordena el sistema en la forma $Ax + By = C$.
-
Al revisar «Resolución mediante regla de Cramer», ¿qué acción conserva el razonamiento matemático?
['Calcula el determinante del sistema ($\\Delta S$) usando los coeficientes de $x$ e $y$.', 'El método de Cramer es una fórmula adecuado que no requiere que pienses en álgebra, solo en aritmética pura y multiplicaciones cruzadas.']
Respuesta: Calcula el determinante del sistema ($\Delta S$) usando los coeficientes de $x$ e $y$.
-
¿Cuál de estas decisiones es coherente con la definición de «Resolución mediante regla de Cramer»?
['Calcula el determinante de $x$ ($\\Delta x$) reemplazando la columna de $x$ por los términos independientes.', 'El método de Cramer es una fórmula adecuado que no requiere que pienses en álgebra, solo en aritmética pura y multiplicaciones cruzadas.']
Respuesta: Calcula el determinante de $x$ ($\Delta x$) reemplazando la columna de $x$ por los términos independientes.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Durante «Resolución mediante regla de Cramer» se propone: Basta con ejecutar una parte del procedimiento; no es necesario revisar «Calcula el determinante de $y$ ($\Delta y$) reemplazando la columna de $y$ por los términos independientes».
['El método de Cramer es una fórmula adecuado que no requiere que pienses en álgebra, solo en aritmética pura y multiplicaciones cruzadas.', 'El método de Cramer es una fórmula adecuado que no requiere que pienses en álgebra, solo en aritmética pura y multiplicaciones cruzadas.']
Respuesta: Falso
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Durante «Resolución mediante regla de Cramer» se propone: Ordena el sistema en la forma $Ax + By = C$.
['Ordena el sistema en la forma $Ax + By = C$.', 'El método de Cramer es una fórmula adecuado que no requiere que pienses en álgebra, solo en aritmética pura y multiplicaciones cruzadas.']
Respuesta: Verdadero
-
Durante «Resolución mediante regla de Cramer» se propone: Calcula el determinante de $x$ ($\Delta x$) reemplazando la columna de $x$ por los términos independientes.
['Calcula el determinante de $x$ ($\\Delta x$) reemplazando la columna de $x$ por los términos independientes.', 'El método de Cramer es una fórmula adecuado que no requiere que pienses en álgebra, solo en aritmética pura y multiplicaciones cruzadas.']
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Considera el siguiente caso: Resuelve o interpreta $x$ y $\Delta x$ usando las condiciones de este recurso. ¿Qué acción inicia correctamente el análisis?
['Calculas determinantes similares para la $x$ ($\\Delta x$) y para la $y$ ($\\Delta y$), reemplazando sus columnas por los números independientes.\nAl final, las soluciones son divisiones simples: $x = \\frac{\\Delta x}{\\Delta S}$ e $y = \\frac{\\Delta y}{\\Delta S}$.\nEs el método ideal si odias las fracciones intermedias.', 'Ordena el sistema en la forma $Ax + By = C$.']
Respuesta: Ordena el sistema en la forma $Ax + By = C$.