Resolución mediante el método de sustitución
Resumen inicial
El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones del sistema y reemplazar su expresión algebraica en la otra ecuación.
Explicación en palabras simples
Para resolver un sistema $2 \times 2$ mediante el método de sustitución:
- Seleccionamos la variable que resulte más sencilla de aislar en cualquiera de las dos ecuaciones.
- Despejamos esa variable expresándola en función de la otra (por ejemplo $y = 7 - 2x$).
- Reemplazamos entre paréntesis esa expresión en la otra ecuación del sistema.
- Resolvemos la ecuación lineal de una sola variable resultante y finalmente sustituimos ese valor para hallar la segunda variable.
Explicación formal
Definición formal
Dado el sistema $\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$, el algoritmo algebraico de sustitución ejecuta la secuencia:
$$\text{1. Despeje de } y \text{ en Ecuación 1: } y = \frac{c_1 - a_1 x}{b_1} \quad (b_1 \neq 0)$$
$$\text{2. Sustitución en Ecuación 2: } a_2 x + b_2 \left(\frac{c_1 - a_1 x}{b_1}\right) = c_2$$
$$\text{3. Resolución de la ecuación lineal en } x \implies x = x_0 \quad \text{y sustitución en el despeje: } y_0 = \frac{c_1 - a_1 x_0}{b_1}$$
Síntesis didáctica
Este método resulta especialmente eficiente cuando al menos uno de los coeficientes de las variables del sistema es igual a $1$ o $-1$.
La alternativa correcta es '$3x - 2(7 - 2x) = 7$'.
Definiciones clave
- Método de sustitución: Técnica algebraica de resolución basada en reemplazar el despeje de una variable en la ecuación complementaria.
- Expresión despejada auxiliar: Expresión equivalente que relaciona las dos incógnitas y permite la eliminación temporal de una de ellas.
Propiedades y relaciones importantes
- Selección de la variable conveniente: Aislar una incógnita con coeficiente $1$ evita trabajar con fracciones algebraicas intermedias.
- Preservación del conjunto solución: Las transformaciones algebraicas por sustitución conservan exactamente la misma solución $(x_0, y_0)$.
Ejemplo guiado
Resuelve por el método de sustitución el sistema $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ 3x - 2y = 7 \end{cases}$ y evalúa el par solución $(x, y)$.
- Paso 1: Despejar la variable $y$ en la primera ecuación por tener coeficiente 1: $y = 7 - 2x$.
- Paso 2: Sustituir la expresión de $y$ entre paréntesis en la segunda ecuación: $3x - 2(7 - 2x) = 7$.
- Paso 3: Aplicar la propiedad distributiva y reducir términos semejantes: $3x - 14 + 4x = 7 \implies 7x - 14 = 7$.
- Paso 4: Trasponer $-14$ sumando y despejar $x$: $7x = 21 \implies x = 3$.
- Paso 5: Reemplazar $x = 3$ en la expresión despejada de $y$: $y = 7 - 2(3) = 7 - 6 = 1$.
- Paso 6: Concluir que el par ordenado solución es $(x, y) = (3, 1)$.
La alternativa correcta es '$(3, 1)$'.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar la variable con el coeficiente numérico más simple ($1$ o $-1$) en cualquiera de las ecuaciones.
- Paso 2: Despejar dicha variable en la ecuación elegida en función de la otra incógnita.
- Paso 3: Sustituir la expresión despejada entre paréntesis en la otra ecuación del sistema.
- Paso 4: Resolver la ecuación lineal de una sola variable para hallar la primera coordenada.
- Paso 5: Sustituir el valor hallado en la expresión despejada del Paso 2 para calcular la segunda coordenada.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Sustituir la expresión despejada en la MISMA ecuación de donde fue extraída (obteniendo una identidad no informativa como $7 = 7$). Cómo corregirlo: La expresión despejada de la Ecuación 1 DEBE SUSTITUIRSE OBLIGATORIAMENTE EN LA ECUACIÓN 2 (LA ECUACIÓN COMPLEMENTARIA).
- Error 2: Omitir paréntesis al multiplicar el coeficiente por la expresión despejada compuesta. Cómo corregirlo: Toda expresión compuesta que se sustituye DEBE ENCERRARSE ENTRE PARÉNTESIS AL SER MULTIPLICADA POR EL COEFICIENTE DE ESA VARIABLE (ESCRIBIR $-2(7 - 2x)$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Sustituir $x = y + 2$ en la segunda ecuación: $2(y + 2) + y = 10$.
- $2y + 4 + y = 10 \implies 3y = 6 \implies y = 2$.
- $x = 2 + 2 = 4$. Solución: $(4, 2)$.
- Sustituir $y = 3x$ en la segunda: $x + 3x = 12$.
- $4x = 12 \implies x = 3$.
- Sí, siempre que se sustituya en la ecuación contraria.
- Sí, asegura la correcta aplicación de la propiedad distributiva.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2 mediante el método de sustitución.
Aislando una incógnita en una de las ecuaciones, reemplazándola en la otra mediante paréntesis y resolviendo la ecuación de primer grado resultante.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
En relación con «Resolución mediante el método de sustitución», evalúa la afirmación: El método de sustitución despeja una incógnita en una ecuación y reemplaza esa expresión en la otra, reduciendo el sistema a una ecuación de una variable.
['El método de sustitución despeja una incógnita en una ecuación y reemplaza esa expresión en la otra, reduciendo el sistema a una ecuación de una variable.']
Respuesta: Verdadero
-
En relación con «Resolución mediante el método de sustitución», evalúa la afirmación: Puede omitirse esta condición sin cambiar el resultado: «Despeja una incógnita (la que parezca más fácil) de una de las ecuaciones».
['El método de sustitución despeja una incógnita en una ecuación y reemplaza esa expresión en la otra, reduciendo el sistema a una ecuación de una variable.']
Respuesta: Falso
-
¿Cuál de las siguientes formulaciones caracteriza correctamente «Resolución mediante el método de sustitución»?
['El método de sustitución despeja una incógnita en una ecuación y reemplaza esa expresión en la otra, reduciendo el sistema a una ecuación de una variable.']
Respuesta: El método de sustitución despeja una incógnita en una ecuación y reemplaza esa expresión en la otra, reduciendo el sistema a una ecuación de una variable.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
¿Qué condición forma parte del procedimiento correcto para «Resolución mediante el método de sustitución»?
['Despeja una incógnita (la que parezca más fácil) de una de las ecuaciones.', 'El método de sustitución despeja una incógnita en una ecuación y reemplaza esa expresión en la otra, reduciendo el sistema a una ecuación de una variable.']
Respuesta: Despeja una incógnita (la que parezca más fácil) de una de las ecuaciones.
-
¿Cuál de estas decisiones es coherente con la definición de «Resolución mediante el método de sustitución»?
['Resuelve la segunda ecuación (que ahora tiene una sola incógnita).', 'El método de sustitución despeja una incógnita en una ecuación y reemplaza esa expresión en la otra, reduciendo el sistema a una ecuación de una variable.']
Respuesta: Resuelve la segunda ecuación (que ahora tiene una sola incógnita).
-
Al revisar «Resolución mediante el método de sustitución», ¿qué acción conserva el razonamiento matemático?
['Sustituye la expresión obtenida en el lugar de esa misma incógnita en la SEGUNDA ecuación.', 'El método de sustitución despeja una incógnita en una ecuación y reemplaza esa expresión en la otra, reduciendo el sistema a una ecuación de una variable.']
Respuesta: Sustituye la expresión obtenida en el lugar de esa misma incógnita en la SEGUNDA ecuación.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Durante «Resolución mediante el método de sustitución» se propone: Despeja una incógnita (la que parezca más fácil) de una de las ecuaciones.
['Despeja una incógnita (la que parezca más fácil) de una de las ecuaciones.', 'El método de sustitución despeja una incógnita en una ecuación y reemplaza esa expresión en la otra, reduciendo el sistema a una ecuación de una variable.']
Respuesta: Verdadero
-
Durante «Resolución mediante el método de sustitución» se propone: Resuelve la segunda ecuación (que ahora tiene una sola incógnita).
['Resuelve la segunda ecuación (que ahora tiene una sola incógnita).', 'El método de sustitución despeja una incógnita en una ecuación y reemplaza esa expresión en la otra, reduciendo el sistema a una ecuación de una variable.']
Respuesta: Verdadero
-
Durante «Resolución mediante el método de sustitución» se propone: Basta con ejecutar una parte del procedimiento; no es necesario revisar «Reemplaza el valor obtenido en el despeje del paso 1 para hallar la otra incógnita».
['El método de sustitución despeja una incógnita en una ecuación y reemplaza esa expresión en la otra, reduciendo el sistema a una ecuación de una variable.', 'El método de sustitución despeja una incógnita en una ecuación y reemplaza esa expresión en la otra, reduciendo el sistema a una ecuación de una variable.']
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Considera el siguiente caso: Resuelve o interpreta $y = 5 - 2x$ y $(5 - 2x)$ usando las condiciones de este recurso. ¿Qué acción inicia correctamente el análisis?
["El método de sustitución es como jugar a los valores sustituidos. \nTienes dos ecuaciones (Ecuación A y Ecuación B).\n1. Tomas la Ecuación A y despejas una letra (digamos, la 'y'). Descubres su 'identidad secreta' (ej: $y = 5 - 2x$).\n2. Te infiltras en la Ecuación B. Donde sea que veas una 'y', la borras y escribes la identidad secreta $(5 - 2x)$.", 'Despeja una incógnita (la que parezca más fácil) de una de las ecuaciones.']
Respuesta: Despeja una incógnita (la que parezca más fácil) de una de las ecuaciones.