Resolución mediante el método de sustitución
Resumen inicial
El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones del sistema y reemplazar su expresión algebraica en la otra ecuación.
Explicación en palabras simples
Para resolver un sistema $2 \times 2$ mediante el método de sustitución:
- Seleccionamos la variable que resulte más sencilla de aislar en cualquiera de las dos ecuaciones.
- Despejamos esa variable expresándola en función de la otra (por ejemplo $y = 7 - 2x$).
- Reemplazamos entre paréntesis esa expresión en la otra ecuación del sistema.
- Resolvemos la ecuación lineal de una sola variable resultante y finalmente sustituimos ese valor para hallar la segunda variable.
Explicación formal
Definición formal
Dado el sistema $\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$, el algoritmo algebraico de sustitución ejecuta la secuencia:
$$\text{1. Despeje de } y \text{ en Ecuación 1: } y = \frac{c_1 - a_1 x}{b_1} \quad (b_1 \neq 0)$$
$$\text{2. Sustitución en Ecuación 2: } a_2 x + b_2 \left(\frac{c_1 - a_1 x}{b_1}\right) = c_2$$
$$\text{3. Resolución de la ecuación lineal en } x \implies x = x_0 \quad \text{y sustitución en el despeje: } y_0 = \frac{c_1 - a_1 x_0}{b_1}$$
Síntesis didáctica
Este método resulta especialmente eficiente cuando al menos uno de los coeficientes de las variables del sistema es igual a $1$ o $-1$.
La alternativa correcta es '$3x - 2(7 - 2x) = 7$'.
Definiciones clave
- Método de sustitución: Técnica algebraica de resolución basada en reemplazar el despeje de una variable en la ecuación complementaria.
- Expresión despejada auxiliar: Expresión equivalente que relaciona las dos incógnitas y permite la eliminación temporal de una de ellas.
Propiedades y relaciones importantes
- Selección de la variable conveniente: Aislar una incógnita con coeficiente $1$ evita trabajar con fracciones algebraicas intermedias.
- Preservación del conjunto solución: Las transformaciones algebraicas por sustitución conservan exactamente la misma solución $(x_0, y_0)$.
Ejemplo guiado
Resuelve por el método de sustitución el sistema $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ 3x - 2y = 7 \end{cases}$ y evalúa el par solución $(x, y)$.
- Paso 1: Despejar la variable $y$ en la primera ecuación por tener coeficiente 1: $y = 7 - 2x$.
- Paso 2: Sustituir la expresión de $y$ entre paréntesis en la segunda ecuación: $3x - 2(7 - 2x) = 7$.
- Paso 3: Aplicar la propiedad distributiva y reducir términos semejantes: $3x - 14 + 4x = 7 \implies 7x - 14 = 7$.
- Paso 4: Trasponer $-14$ sumando y despejar $x$: $7x = 21 \implies x = 3$.
- Paso 5: Reemplazar $x = 3$ en la expresión despejada de $y$: $y = 7 - 2(3) = 7 - 6 = 1$.
- Paso 6: Concluir que el par ordenado solución es $(x, y) = (3, 1)$.
La alternativa correcta es '$(3, 1)$'.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar la variable con el coeficiente numérico más simple ($1$ o $-1$) en cualquiera de las ecuaciones.
- Paso 2: Despejar dicha variable en la ecuación elegida en función de la otra incógnita.
- Paso 3: Sustituir la expresión despejada entre paréntesis en la otra ecuación del sistema.
- Paso 4: Resolver la ecuación lineal de una sola variable para hallar la primera coordenada.
- Paso 5: Sustituir el valor hallado en la expresión despejada del Paso 2 para calcular la segunda coordenada.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Sustituir la expresión despejada en la MISMA ecuación de donde fue extraída (obteniendo una identidad no informativa como $7 = 7$). Cómo corregirlo: La expresión despejada de la Ecuación 1 DEBE SUSTITUIRSE OBLIGATORIAMENTE EN LA ECUACIÓN 2 (LA ECUACIÓN COMPLEMENTARIA).
- Error 2: Omitir paréntesis al multiplicar el coeficiente por la expresión despejada compuesta. Cómo corregirlo: Toda expresión compuesta que se sustituye DEBE ENCERRARSE ENTRE PARÉNTESIS AL SER MULTIPLICADA POR EL COEFICIENTE DE ESA VARIABLE (ESCRIBIR $-2(7 - 2x)$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Sustituir $x = y + 2$ en la segunda ecuación: $2(y + 2) + y = 10$.
- $2y + 4 + y = 10 \implies 3y = 6 \implies y = 2$.
- $x = 2 + 2 = 4$. Solución: $(4, 2)$.
- Sustituir $y = 3x$ en la segunda: $x + 3x = 12$.
- $4x = 12 \implies x = 3$.
- Sí, siempre que se sustituya en la ecuación contraria.
- Sí, asegura la correcta aplicación de la propiedad distributiva.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2 mediante el método de sustitución.
Aislando una incógnita en una de las ecuaciones, reemplazándola en la otra mediante paréntesis y resolviendo la ecuación de primer grado resultante.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuál de las siguientes formulaciones caracteriza correctamente «Resolución mediante el método de sustitución»?
['El método de sustitución despeja una incógnita en una ecuación y reemplaza esa expresión en la otra, reduciendo el sistema a una ecuación de una variable.']
Respuesta: El método de sustitución despeja una incógnita en una ecuación y reemplaza esa expresión en la otra, reduciendo el sistema a una ecuación de una variable.
-
En relación con «Resolución mediante el método de sustitución», evalúa la afirmación: El método de sustitución despeja una incógnita en una ecuación y reemplaza esa expresión en la otra, reduciendo el sistema a una ecuación de una variable.
['El método de sustitución despeja una incógnita en una ecuación y reemplaza esa expresión en la otra, reduciendo el sistema a una ecuación de una variable.']
Respuesta: Verdadero
-
En relación con «Resolución mediante el método de sustitución», evalúa la afirmación: Puede omitirse esta condición sin cambiar el resultado: «Despeja una incógnita (la que parezca más fácil) de una de las ecuaciones».
['El método de sustitución despeja una incógnita en una ecuación y reemplaza esa expresión en la otra, reduciendo el sistema a una ecuación de una variable.']
Respuesta: Falso
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
¿Cuál de estas decisiones es coherente con la definición de «Resolución mediante el método de sustitución»?
['Resuelve la segunda ecuación (que ahora tiene una sola incógnita).', 'El método de sustitución despeja una incógnita en una ecuación y reemplaza esa expresión en la otra, reduciendo el sistema a una ecuación de una variable.']
Respuesta: Resuelve la segunda ecuación (que ahora tiene una sola incógnita).
-
Al revisar «Resolución mediante el método de sustitución», ¿qué acción conserva el razonamiento matemático?
['Sustituye la expresión obtenida en el lugar de esa misma incógnita en la SEGUNDA ecuación.', 'El método de sustitución despeja una incógnita en una ecuación y reemplaza esa expresión en la otra, reduciendo el sistema a una ecuación de una variable.']
Respuesta: Sustituye la expresión obtenida en el lugar de esa misma incógnita en la SEGUNDA ecuación.
-
¿Qué condición forma parte del procedimiento correcto para «Resolución mediante el método de sustitución»?
['Despeja una incógnita (la que parezca más fácil) de una de las ecuaciones.', 'El método de sustitución despeja una incógnita en una ecuación y reemplaza esa expresión en la otra, reduciendo el sistema a una ecuación de una variable.']
Respuesta: Despeja una incógnita (la que parezca más fácil) de una de las ecuaciones.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Durante «Resolución mediante el método de sustitución» se propone: Despeja una incógnita (la que parezca más fácil) de una de las ecuaciones.
['Despeja una incógnita (la que parezca más fácil) de una de las ecuaciones.', 'El método de sustitución despeja una incógnita en una ecuación y reemplaza esa expresión en la otra, reduciendo el sistema a una ecuación de una variable.']
Respuesta: Verdadero
-
Durante «Resolución mediante el método de sustitución» se propone: Resuelve la segunda ecuación (que ahora tiene una sola incógnita).
['Resuelve la segunda ecuación (que ahora tiene una sola incógnita).', 'El método de sustitución despeja una incógnita en una ecuación y reemplaza esa expresión en la otra, reduciendo el sistema a una ecuación de una variable.']
Respuesta: Verdadero
-
Durante «Resolución mediante el método de sustitución» se propone: Basta con ejecutar una parte del procedimiento; no es necesario revisar «Reemplaza el valor obtenido en el despeje del paso 1 para hallar la otra incógnita».
['El método de sustitución despeja una incógnita en una ecuación y reemplaza esa expresión en la otra, reduciendo el sistema a una ecuación de una variable.', 'El método de sustitución despeja una incógnita en una ecuación y reemplaza esa expresión en la otra, reduciendo el sistema a una ecuación de una variable.']
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Considera el siguiente caso: Resuelve o interpreta $y = 5 - 2x$ y $(5 - 2x)$ usando las condiciones de este recurso. ¿Qué acción inicia correctamente el análisis?
["El método de sustitución es como jugar a los valores sustituidos. \nTienes dos ecuaciones (Ecuación A y Ecuación B).\n1. Tomas la Ecuación A y despejas una letra (digamos, la 'y'). Descubres su 'identidad secreta' (ej: $y = 5 - 2x$).\n2. Te infiltras en la Ecuación B. Donde sea que veas una 'y', la borras y escribes la identidad secreta $(5 - 2x)$.", 'Despeja una incógnita (la que parezca más fácil) de una de las ecuaciones.']
Respuesta: Despeja una incógnita (la que parezca más fácil) de una de las ecuaciones.