Resolución mediante el método de reducción
eliminar una variable sumando o restando las ecuaciones verticalmente.
Introducción
Para que se se eliminen, debes tener exactamente la misma cantidad de una letra, pero con signos opuestos (ej: $+3y$ arriba y $-3y$ abajo).
Explicación
Definición formal
El método de reducción elimina una incógnita mediante combinaciones lineales equivalentes de las ecuaciones del sistema. Dado
$$\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1,\\ a_2x+b_2y=c_2, \end{cases}$$
se multiplican, si es necesario, una o ambas ecuaciones por constantes no nulas para obtener coeficientes opuestos o iguales en una misma incógnita. Al sumar o restar las ecuaciones resultantes, dicha incógnita desaparece y el sistema se reduce a una ecuación lineal en una sola variable.
Desarrollo didáctico
Para que se se eliminen, debes tener exactamente la misma cantidad de una letra, pero con signos opuestos (ej: $+3y$ arriba y $-3y$ abajo).
Si no los tienes, los creas. Multiplicas una (o ambas) ecuaciones por un número estratégico para forzar esa situación.
Una vez forzada, sumas hacia abajo: las 'y' desaparecen ($3y - 3y = 0$), las 'x' se suman, los números se suman, y te queda una micro-ecuación rapidísima de resolver.
Cómo hacerlo paso a paso
- Elige qué incógnita quieres eliminar.
- Multiplica las ecuaciones por números convenientes para que los coeficientes de esa incógnita sean iguales pero de signo contrario.
- Suma ambas ecuaciones columna por columna (las x con las x, las y con las y, los números con los números).
- Resuelve la ecuación resultante de una sola incógnita.
- Reemplaza el valor en una ecuación original para hallar la otra.
Ejemplos
1 Determina qué debe hacerse en $+3y$ y $3y - 3y = 0$ y fundamenta cada transformación.
- Para que se se eliminen, debes tener exactamente la misma cantidad de una letra, pero con signos opuestos (ej: $+3y$ arriba y $-3y$ abajo). Si no los tienes, los creas. Multiplicas una (o ambas) ecuaciones por un número estratégico para forzar esa situación. Una vez forzada, sumas hacia abajo: las 'y' desaparecen ($3y - 3y = 0$), las 'x' se suman, los números se suman, y te queda una micro-ecuación rapidísima de resolver.
- Elige qué incógnita quieres eliminar.
2 Analiza el caso $+3y$ y $3y - 3y = 0$ y explica cómo se aplica el criterio estudiado.
- Para que se se eliminen, debes tener exactamente la misma cantidad de una letra, pero con signos opuestos (ej: $+3y$ arriba y $-3y$ abajo). Si no los tienes, los creas. Multiplicas una (o ambas) ecuaciones por un número estratégico para forzar esa situación. Una vez forzada, sumas hacia abajo: las 'y' desaparecen ($3y - 3y = 0$), las 'x' se suman, los números se suman, y te queda una micro-ecuación rapidísima de resolver.
- Multiplica las ecuaciones por números convenientes para que los coeficientes de esa incógnita sean iguales pero de signo contrario.
3 Respecto de «Resolución mediante el método de reducción»: ¿Se ajusta a la definición esta afirmación? «El método de reducción combina ecuaciones equivalentes para eliminar una incógnita»
- La afirmación coincide con la definición formal: El método de reducción combina ecuaciones equivalentes para eliminar una incógnita.
4 Respecto de «Resolución mediante el método de reducción»: ¿Es compatible con el procedimiento esta afirmación? «Puede omitirse esta condición sin cambiar el resultado: «Elige qué incógnita quieres eliminar»»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: El método de reducción combina ecuaciones equivalentes para eliminar una incógnita.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Puede omitirse esta condición sin cambiar el resultado: «Elige qué incógnita quieres eliminar»."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Es válido invertir el orden y dejar para el final esta acción: «Multiplica las ecuaciones por números convenientes para que los coeficientes de esa incógnita sean iguales pero de signo contrario»."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"La definición sigue cumpliéndose aunque no se considere que el método de reducción es el más rápido, poderoso y elegante (y el favorito en pruebas PAES). Se trata de sumar las dos ecuaciones verticalmente para que una de las letras se 'aniquile'."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Basta con ejecutar una parte del procedimiento; no es necesario revisar «Resuelve la ecuación resultante de una sola incógnita»."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"La comprobación del resultado vuelve innecesaria la condición «Reemplaza el valor en una ecuación original para hallar la otra»."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El método de reducción combina ecuaciones equivalentes para eliminar una incógnita. Después se resuelve la ecuación resultante y se recupera la variable restante.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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En relación con «Resolución mediante el método de reducción», evalúa la afirmación: El método de reducción combina ecuaciones equivalentes para eliminar una incógnita. Después se resuelve la ecuación resultante y se recupera la variable restante.
['El método de reducción combina ecuaciones equivalentes para eliminar una incógnita. Después se resuelve la ecuación resultante y se recupera la variable restante.']
Respuesta: Verdadero
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En relación con «Resolución mediante el método de reducción», evalúa la afirmación: Puede omitirse esta condición sin cambiar el resultado: «Elige qué incógnita quieres eliminar».
['El método de reducción combina ecuaciones equivalentes para eliminar una incógnita. Después se resuelve la ecuación resultante y se recupera la variable restante.']
Respuesta: Falso
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¿Cuál de las siguientes formulaciones caracteriza correctamente «Resolución mediante el método de reducción»?
['El método de reducción combina ecuaciones equivalentes para eliminar una incógnita. Después se resuelve la ecuación resultante y se recupera la variable restante.']
Respuesta: El método de reducción combina ecuaciones equivalentes para eliminar una incógnita. Después se resuelve la ecuación resultante y se recupera la variable restante.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Al revisar «Resolución mediante el método de reducción», ¿qué acción conserva el razonamiento matemático?
['Multiplica las ecuaciones por números convenientes para que los coeficientes de esa incógnita sean iguales pero de signo contrario.', 'El método de reducción combina ecuaciones equivalentes para eliminar una incógnita. Después se resuelve la ecuación resultante y se recupera la variable restante.']
Respuesta: Multiplica las ecuaciones por números convenientes para que los coeficientes de esa incógnita sean iguales pero de signo contrario.
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¿Cuál de estas decisiones es coherente con la definición de «Resolución mediante el método de reducción»?
['Suma ambas ecuaciones columna por columna (las x con las x, las y con las y, los números con los números).', 'El método de reducción combina ecuaciones equivalentes para eliminar una incógnita. Después se resuelve la ecuación resultante y se recupera la variable restante.']
Respuesta: Suma ambas ecuaciones columna por columna (las x con las x, las y con las y, los números con los números).
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¿Qué condición forma parte del procedimiento correcto para «Resolución mediante el método de reducción»?
['Elige qué incógnita quieres eliminar.', 'El método de reducción combina ecuaciones equivalentes para eliminar una incógnita. Después se resuelve la ecuación resultante y se recupera la variable restante.']
Respuesta: Elige qué incógnita quieres eliminar.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Durante «Resolución mediante el método de reducción» se propone: Elige qué incógnita quieres eliminar.
['Elige qué incógnita quieres eliminar.', 'El método de reducción combina ecuaciones equivalentes para eliminar una incógnita. Después se resuelve la ecuación resultante y se recupera la variable restante.']
Respuesta: Verdadero
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Durante «Resolución mediante el método de reducción» se propone: Suma ambas ecuaciones columna por columna (las x con las x, las y con las y, los números con los números).
['Suma ambas ecuaciones columna por columna (las x con las x, las y con las y, los números con los números).', 'El método de reducción combina ecuaciones equivalentes para eliminar una incógnita. Después se resuelve la ecuación resultante y se recupera la variable restante.']
Respuesta: Verdadero
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Durante «Resolución mediante el método de reducción» se propone: Basta con ejecutar una parte del procedimiento; no es necesario revisar «Resuelve la ecuación resultante de una sola incógnita».
['El método de reducción combina ecuaciones equivalentes para eliminar una incógnita. Después se resuelve la ecuación resultante y se recupera la variable restante.', 'El método de reducción combina ecuaciones equivalentes para eliminar una incógnita. Después se resuelve la ecuación resultante y se recupera la variable restante.']
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Considera el siguiente caso: Determina qué debe hacerse en $+3y$ y $3y - 3y = 0$ y fundamenta cada transformación. ¿Qué acción inicia correctamente el análisis?
["Para que se se eliminen, debes tener exactamente la misma cantidad de una letra, pero con signos opuestos (ej: $+3y$ arriba y $-3y$ abajo).\nSi no los tienes, los creas. Multiplicas una (o ambas) ecuaciones por un número estratégico para forzar esa situación.\nUna vez forzada, sumas hacia abajo: las 'y' desaparecen ($3y - 3y = 0$), las 'x' se suman, los números se suman, y te queda una micro-ecuación rapidísima de resolver.", 'Elige qué incógnita quieres eliminar.']
Respuesta: Elige qué incógnita quieres eliminar.