Concepto de sistemas de ecuaciones equivalentes
Identificar cuándo multiplicar una ecuación por una constante mantiene el sistema inalterado.
Introducción
Es exactamente la misma información, solo amplificada. A esto se le llama una ecuación equivalente.
Explicación
Definición formal
Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen exactamente el mismo conjunto solución. En símbolos, si $S$ y $S'$ son sistemas, entonces
$$S\equiv S' \iff \operatorname{Sol}(S)=\operatorname{Sol}(S').$$
Cualquier transformación que conserve todas y solo las soluciones del sistema original produce un sistema equivalente. Entre ellas están reordenar ecuaciones, multiplicar una ecuación por una constante no nula o reemplazar una ecuación por una combinación lineal equivalente de las ecuaciones del sistema.
Desarrollo didáctico
Es exactamente la misma información, solo amplificada. A esto se le llama una ecuación equivalente.
En los sistemas de ecuaciones, puedes tomar cualquiera de las ecuaciones, multiplicar todos sus términos por cualquier número (distinto de cero), y el sistema no cambiará sus soluciones. Esta es la base de casi todos los métodos de resolución.
Cómo hacerlo paso a paso
- Elige una ecuación del sistema.
- Multiplica cada término (lado izquierdo y lado derecho) por la misma constante.
- La nueva ecuación es matemáticamente equivalente a la original y puedes usarla para reemplazarla en el sistema.
Ejemplos
1 Justifica el procedimiento adecuado para el caso $2x + y = 5$ y $6x + 3y = 15$.
- Imagina una ecuación como una receta: '2 manzanas y 1 pera cuestan 5 dólares' ($2x + y = 5$). Si multiplicas toda la receta por 3: '6 manzanas y 3 peras cuestan 15 dólares' ($6x + 3y = 15$).
- Elige una ecuación del sistema.
2 Determina qué debe hacerse en $2x + y = 5$ y $6x + 3y = 15$ y fundamenta cada transformación.
- Imagina una ecuación como una receta: '2 manzanas y 1 pera cuestan 5 dólares' ($2x + y = 5$). Si multiplicas toda la receta por 3: '6 manzanas y 3 peras cuestan 15 dólares' ($6x + 3y = 15$).
- Multiplica cada término (lado izquierdo y lado derecho) por la misma constante.
3 Respecto de «Concepto de sistemas de ecuaciones equivalentes»: ¿La siguiente formulación es correcta? «Dos sistemas son equivalentes cuando poseen el mismo conjunto solución, aunque sus ecuaciones tengan una forma distinta»
- La afirmación coincide con la definición formal: Dos sistemas son equivalentes cuando poseen el mismo conjunto solución, aunque sus ecuaciones tengan una forma distinta.
4 Respecto de «Concepto de sistemas de ecuaciones equivalentes»: ¿La siguiente conclusión es correcta? «Puede omitirse esta condición sin cambiar el resultado: «Elige una ecuación del sistema»»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: Dos sistemas son equivalentes cuando poseen el mismo conjunto solución, aunque sus ecuaciones tengan una forma distinta.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Puede omitirse esta condición sin cambiar el resultado: «Elige una ecuación del sistema»."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Es válido invertir el orden y dejar para el final esta acción: «Multiplica cada término (lado izquierdo y lado derecho) por la misma constante»."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"La definición sigue cumpliéndose aunque no se considere que imagina una ecuación como una receta: '2 manzanas y 1 pera cuestan 5 dólares' ($2x + y = 5$). Si multiplicas toda la receta por 3: '6 manzanas y 3 peras cuestan 15 dólares' ($6x + 3y = 15$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Basta con ejecutar una parte del procedimiento; no es necesario revisar «Elige una ecuación del sistema»."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"La comprobación del resultado vuelve innecesaria la condición «Multiplica cada término (lado izquierdo y lado derecho) por la misma constante»."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Dos sistemas son equivalentes cuando poseen el mismo conjunto solución, aunque sus ecuaciones tengan una forma distinta.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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En relación con «Concepto de sistemas de ecuaciones equivalentes», evalúa la afirmación: Dos sistemas son equivalentes cuando poseen el mismo conjunto solución, aunque sus ecuaciones tengan una forma distinta.
['Dos sistemas son equivalentes cuando poseen el mismo conjunto solución, aunque sus ecuaciones tengan una forma distinta.']
Respuesta: Verdadero
-
En relación con «Concepto de sistemas de ecuaciones equivalentes», evalúa la afirmación: Puede omitirse esta condición sin cambiar el resultado: «Elige una ecuación del sistema».
['Dos sistemas son equivalentes cuando poseen el mismo conjunto solución, aunque sus ecuaciones tengan una forma distinta.']
Respuesta: Falso
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¿Cuál de las siguientes formulaciones caracteriza correctamente «Concepto de sistemas de ecuaciones equivalentes»?
['Dos sistemas son equivalentes cuando poseen el mismo conjunto solución, aunque sus ecuaciones tengan una forma distinta.']
Respuesta: Dos sistemas son equivalentes cuando poseen el mismo conjunto solución, aunque sus ecuaciones tengan una forma distinta.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Al revisar «Concepto de sistemas de ecuaciones equivalentes», ¿qué acción conserva el razonamiento matemático?
['Multiplica cada término (lado izquierdo y lado derecho) por la misma constante.', 'Dos sistemas son equivalentes cuando poseen el mismo conjunto solución, aunque sus ecuaciones tengan una forma distinta.']
Respuesta: Multiplica cada término (lado izquierdo y lado derecho) por la misma constante.
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¿Cuál de estas decisiones es coherente con la definición de «Concepto de sistemas de ecuaciones equivalentes»?
['La nueva ecuación es matemáticamente equivalente a la original y puedes usarla para reemplazarla en el sistema.', 'Dos sistemas son equivalentes cuando poseen el mismo conjunto solución, aunque sus ecuaciones tengan una forma distinta.']
Respuesta: La nueva ecuación es matemáticamente equivalente a la original y puedes usarla para reemplazarla en el sistema.
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¿Qué condición forma parte del procedimiento correcto para «Concepto de sistemas de ecuaciones equivalentes»?
['Elige una ecuación del sistema.', 'Dos sistemas son equivalentes cuando poseen el mismo conjunto solución, aunque sus ecuaciones tengan una forma distinta.']
Respuesta: Elige una ecuación del sistema.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Durante «Concepto de sistemas de ecuaciones equivalentes» se propone: Basta con ejecutar una parte del procedimiento; no es necesario revisar «Elige una ecuación del sistema».
['Dos sistemas son equivalentes cuando poseen el mismo conjunto solución, aunque sus ecuaciones tengan una forma distinta.', 'Dos sistemas son equivalentes cuando poseen el mismo conjunto solución, aunque sus ecuaciones tengan una forma distinta.']
Respuesta: Falso
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Durante «Concepto de sistemas de ecuaciones equivalentes» se propone: Elige una ecuación del sistema.
['Elige una ecuación del sistema.', 'Dos sistemas son equivalentes cuando poseen el mismo conjunto solución, aunque sus ecuaciones tengan una forma distinta.']
Respuesta: Verdadero
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Durante «Concepto de sistemas de ecuaciones equivalentes» se propone: La nueva ecuación es matemáticamente equivalente a la original y puedes usarla para reemplazarla en el sistema.
['La nueva ecuación es matemáticamente equivalente a la original y puedes usarla para reemplazarla en el sistema.', 'Dos sistemas son equivalentes cuando poseen el mismo conjunto solución, aunque sus ecuaciones tengan una forma distinta.']
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Considera el siguiente caso: Justifica el procedimiento adecuado para el caso $2x + y = 5$ y $6x + 3y = 15$. ¿Qué acción inicia correctamente el análisis?
["Imagina una ecuación como una receta: '2 manzanas y 1 pera cuestan 5 dólares' ($2x + y = 5$).\nSi multiplicas toda la receta por 3: '6 manzanas y 3 peras cuestan 15 dólares' ($6x + 3y = 15$).", 'Elige una ecuación del sistema.']
Respuesta: Elige una ecuación del sistema.