Resolución de ecuaciones con incógnita en ambos miembros
Agrupar todas las incógnitas en un lado de la ecuación y los números en el otro.
Introducción
A veces, las manzanas están repartidas en ambos platillos de la balanza. Para saber cuánto pesa una, primero debemos juntarlas todas en un solo platillo.
Explicación
Definición formal
Cuando la incógnita aparece en ambos miembros, se suma o resta el mismo término algebraico en los dos lados hasta reunir todos los términos con incógnita en un solo miembro.
Desarrollo didáctico
Observa: $5x - 4 = 2x + 11$
Hay 'x' a la izquierda y a la derecha. ¿Qué hacemos? Organizar.
1. Decidimos un lado para las 'x'. Generalmente se elige el izquierdo.
2. Traemos el $2x$ del lado derecho hacia el izquierdo. Como el $2x$ es positivo, se resta $2x$ en ambos miembros.
3. Llevamos el $-4$ del lado izquierdo hacia el derecho de los números. Cruzará sumando ($+4$).
Nuestra ecuación se convierte en:
$5x - 2x = 11 + 4$
Ahora, el problema es súper fácil. Reducimos:
$3x = 15$
$x = \frac{15}{3} = 5$.
Tip pro: Siempre conviene pasar la incógnita menor hacia el lado donde está la incógnita mayor. Así evitas trabajar con números negativos, y menos signos negativos significan menos probabilidad de error.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica los términos que tienen letra en ambos miembros.
- Paso 2: Transpón el término con letra de menor coeficiente hacia el otro miembro (cambiando su signo).
- Paso 3: Transpón los términos independientes (números) hacia el miembro opuesto.
- Paso 4: Reduce términos semejantes en ambos miembros.
- Paso 5: Despeja dividiendo.
- El 2x es positivo y está sumando en su miembro. Al transponerlo al miembro izquierdo, debe cruzar restando.
Ejemplos
1 Resuelve: $8x + 2 = 5x + 14$
- El 5x es menor, lo movemos a la izquierda restando.
- $8x - 5x + 2 = 14$
- El +2 lo movemos a la derecha restando.
- $8x - 5x = 14 - 2$
- Reducimos: $3x = 12$
- Dividimos: $x = 4$.
2 Resuelve $x - 7 = 3x - 19$
- Movemos la x: -7 = 2x - 19
- Movemos -19: 12 = 2x
- x = 6
3 Respecto de «Resolución de ecuaciones con incógnita en ambos miembros»: ¿Describe adecuadamente el concepto esta frase? «Cuando una ecuación tiene la incógnita (la misma letra) en el primer y en el segundo miembro, se deben transponer los términos para que todas las letras queden de un lado (usualmente a la izquierda) y los números del otro (a la derecha)»
- La afirmación coincide con la definición formal: Cuando una ecuación tiene la incógnita (la misma letra) en el primer y en el segundo miembro, se deben transponer los términos para que todas las letras queden de un lado (usualmente a la izquierda) y los números del otro (a la derecha).
4 Respecto de «Resolución de ecuaciones con incógnita en ambos miembros»: ¿Se puede aceptar esta afirmación? «Sumar las 'x' de ambos lados como si estuvieran en el mismo miembro (ej. en $3x = 2x + 5$, sumar $3x+2x = 5x$). Deben cruzarse cambiando el signo primero»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: Cuando una ecuación tiene la incógnita (la misma letra) en el primer y en el segundo miembro, se deben transponer los términos para que todas las letras queden de un lado (usualmente a la izquierda) y los números del otro (a la derecha).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Sumar las 'x' de ambos lados como si estuvieran en el mismo miembro (ej. en $3x = 2x + 5$, sumar $3x+2x = 5x$). Deben cruzarse cambiando el signo primero."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"$+2x$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Si en la ecuación $6x + 5 = 2x + 17$ decides agrupar las incógnitas en el lado izquierdo, el término $2x$ del lado derecho debe moverse como:», la respuesta correcta es Dividiendo por $2$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Si en la ecuación $6x + 5 = 2x + 17$ decides agrupar las incógnitas en el lado izquierdo, el término $2x$ del lado derecho debe moverse como:», la respuesta correcta es Multiplicando por $2$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Para «Para evitar trabajar con coeficientes negativos en la ecuación $2x + 10 = 7x - 5$, el paso más astuto sería mover:», la respuesta correcta es El $7x$ hacia la izquierda."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Cuando una ecuación tiene la incógnita (la misma letra) en el primer y en el segundo miembro, se deben transponer los términos para que todas las letras queden de un lado (usualmente a la izquierda) y los números del otro (a la derecha).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si en la ecuación $6x + 5 = 2x + 17$ decides agrupar las incógnitas en el lado izquierdo, el término $2x$ del lado derecho debe moverse como:
El 2x es positivo y está sumando en su miembro. Al transponerlo al miembro izquierdo, debe cruzar restando.
Respuesta: B) $-2x$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Para evitar trabajar con coeficientes negativos en la ecuación $2x + 10 = 7x - 5$, el paso más astuto sería mover:
Si mueves el 2x a la derecha quedará 7x - 2x = 5x positivo. Si mueves el 7x a la izquierda, quedará 2x - 7x = -5x negativo.
Respuesta: B) El $2x$ hacia la derecha.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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En una ecuación, es estrictamente obligatorio agrupar las incógnitas siempre en el lado izquierdo.
La igualdad es simétrica. Puedes agrupar las letras en el lado derecho si resulta más conveniente. Decir x=5 es idéntico a decir 5=x.
Respuesta: Falso