Sistema indeterminado: infinitas soluciones (rectas coincidentes)
Identificar sistemas que tienen infinitas soluciones por ser la misma recta.
Introducción
Al graficarlas, dibujas la primera línea, y cuando intentas dibujar la segunda, te das cuenta de que cae exactamente encima de la primera. Son la misma recta.
Explicación
Definición formal
Un sistema $a_1x+b_1y=c_1$, $a_2x+b_2y=c_2$ es compatible indeterminado (infinitas soluciones) si y solo si sus tres razones coinciden, $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$: ambas ecuaciones describen la misma recta, por lo que todo punto de una satisface también a la otra.
Desarrollo didáctico
Al graficarlas, dibujas la primera línea, y cuando intentas dibujar la segunda, te das cuenta de que cae exactamente encima de la primera. Son la misma recta.
¿En cuántos puntos se tocan dos rectas que están montadas una sobre la otra? En todos. Tienen infinitos puntos de contacto. Por eso es 'Indeterminado', porque no puedes determinar una sola solución. Todas sirven.
Si intentas resolverlo con álgebra, las letras se eliminarán y llegarás a una verdad obvia como $0 = 0$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Observa si una ecuación es exactamente un múltiplo directo de la otra (en todos sus términos, incluyendo el resultado).
- Si es así, las rectas son coincidentes (están superpuestas).
- Concluye que el sistema tiene infinitas soluciones.
- Si lo resuelves algebraicamente, llegarás a una identidad verdadera como $0=0$ o $5=5$.
Ejemplos
1 Justifica el procedimiento adecuado para el caso $x+y=2$ y $2x+2y=4$.
- A veces, el sistema te intenta engañar. Te da dos ecuaciones, pero una es simplemente el doble de la otra (ej: $x+y=2$ y $2x+2y=4$).
- Observa si una ecuación es exactamente un múltiplo directo de la otra (en todos sus términos, incluyendo el resultado).
2 Determina qué debe hacerse en $0 = 0$ y fundamenta cada transformación.
- Si intentas resolverlo con álgebra, las letras se eliminarán y llegarás a una verdad obvia como $0 = 0$.
- Si es así, las rectas son coincidentes (están superpuestas).
3 Respecto de «Sistema indeterminado: infinitas soluciones (rectas coincidentes)»: ¿La siguiente formulación es correcta? «A veces, el sistema te intenta engañar»
- La afirmación coincide con la definición formal: A veces, el sistema te intenta engañar.
4 Respecto de «Sistema indeterminado: infinitas soluciones (rectas coincidentes)»: ¿La siguiente conclusión es correcta? «Puede omitirse esta condición sin cambiar el resultado: «Observa si una ecuación es exactamente un múltiplo directo de la otra (en todos sus términos, incluyendo el resultado)»»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: A veces, el sistema te intenta engañar.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Puede omitirse esta condición sin cambiar el resultado: «Observa si una ecuación es exactamente un múltiplo directo de la otra (en todos sus términos, incluyendo el resultado)»."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Es válido invertir el orden y dejar para el final esta acción: «Si es así, las rectas son coincidentes (están superpuestas)»."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"La definición sigue cumpliéndose aunque no se considere que a veces, el sistema te intenta engañar. Te da dos ecuaciones, pero una es simplemente el doble de la otra (ej: $x+y=2$ y $2x+2y=4$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Basta con ejecutar una parte del procedimiento; no es necesario revisar «Si lo resuelves algebraicamente, llegarás a una identidad verdadera como $0=0$ o $5=5$»."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"La comprobación del resultado vuelve innecesaria la condición «Observa si una ecuación es exactamente un múltiplo directo de la otra (en todos sus términos, incluyendo el resultado)»."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
A veces, el sistema te intenta engañar. Te da dos ecuaciones, pero una es simplemente el doble de la otra (ej: $x+y=2$ y $2x+2y=4$).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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En relación con «Sistema indeterminado: infinitas soluciones (rectas coincidentes)», evalúa la afirmación: Puede omitirse esta condición sin cambiar el resultado: «Observa si una ecuación es exactamente un múltiplo directo de la otra (en todos sus términos, incluyendo el resultado)».
['A veces, el sistema te intenta engañar. Te da dos ecuaciones, pero una es simplemente el doble de la otra (ej: $x+y=2$ y $2x+2y=4$).']
Respuesta: Falso
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En relación con «Sistema indeterminado: infinitas soluciones (rectas coincidentes)», evalúa la afirmación: A veces, el sistema te intenta engañar. Te da dos ecuaciones, pero una es simplemente el doble de la otra (ej: $x+y=2$ y $2x+2y=4$).
['A veces, el sistema te intenta engañar. Te da dos ecuaciones, pero una es simplemente el doble de la otra (ej: $x+y=2$ y $2x+2y=4$).']
Respuesta: Verdadero
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¿Cuál de las siguientes formulaciones caracteriza correctamente «Sistema indeterminado: infinitas soluciones (rectas coincidentes)»?
['A veces, el sistema te intenta engañar. Te da dos ecuaciones, pero una es simplemente el doble de la otra (ej: $x+y=2$ y $2x+2y=4$).']
Respuesta: A veces, el sistema te intenta engañar. Te da dos ecuaciones, pero una es simplemente el doble de la otra (ej: $x+y=2$ y $2x+2y=4$).
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuál de estas decisiones es coherente con la definición de «Sistema indeterminado: infinitas soluciones (rectas coincidentes)»?
['Concluye que el sistema tiene infinitas soluciones.', 'A veces, el sistema te intenta engañar. Te da dos ecuaciones, pero una es simplemente el doble de la otra (ej: $x+y=2$ y $2x+2y=4$).']
Respuesta: Concluye que el sistema tiene infinitas soluciones.
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¿Qué condición forma parte del procedimiento correcto para «Sistema indeterminado: infinitas soluciones (rectas coincidentes)»?
['Observa si una ecuación es exactamente un múltiplo directo de la otra (en todos sus términos, incluyendo el resultado).', 'A veces, el sistema te intenta engañar. Te da dos ecuaciones, pero una es simplemente el doble de la otra (ej: $x+y=2$ y $2x+2y=4$).']
Respuesta: Observa si una ecuación es exactamente un múltiplo directo de la otra (en todos sus términos, incluyendo el resultado).
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Al revisar «Sistema indeterminado: infinitas soluciones (rectas coincidentes)», ¿qué acción conserva el razonamiento matemático?
['Si es así, las rectas son coincidentes (están superpuestas).', 'A veces, el sistema te intenta engañar. Te da dos ecuaciones, pero una es simplemente el doble de la otra (ej: $x+y=2$ y $2x+2y=4$).']
Respuesta: Si es así, las rectas son coincidentes (están superpuestas).
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Durante «Sistema indeterminado: infinitas soluciones (rectas coincidentes)» se propone: Concluye que el sistema tiene infinitas soluciones.
['Concluye que el sistema tiene infinitas soluciones.', 'A veces, el sistema te intenta engañar. Te da dos ecuaciones, pero una es simplemente el doble de la otra (ej: $x+y=2$ y $2x+2y=4$).']
Respuesta: Verdadero
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Durante «Sistema indeterminado: infinitas soluciones (rectas coincidentes)» se propone: Observa si una ecuación es exactamente un múltiplo directo de la otra (en todos sus términos, incluyendo el resultado).
['Observa si una ecuación es exactamente un múltiplo directo de la otra (en todos sus términos, incluyendo el resultado).', 'A veces, el sistema te intenta engañar. Te da dos ecuaciones, pero una es simplemente el doble de la otra (ej: $x+y=2$ y $2x+2y=4$).']
Respuesta: Verdadero
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Durante «Sistema indeterminado: infinitas soluciones (rectas coincidentes)» se propone: Basta con ejecutar una parte del procedimiento; no es necesario revisar «Si lo resuelves algebraicamente, llegarás a una identidad verdadera como $0=0$ o $5=5$».
['A veces, el sistema te intenta engañar. Te da dos ecuaciones, pero una es simplemente el doble de la otra (ej: $x+y=2$ y $2x+2y=4$).', 'A veces, el sistema te intenta engañar. Te da dos ecuaciones, pero una es simplemente el doble de la otra (ej: $x+y=2$ y $2x+2y=4$).']
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Considera el siguiente caso: Justifica el procedimiento adecuado para el caso $x+y=2$ y $2x+2y=4$. ¿Qué acción inicia correctamente el análisis?
['A veces, el sistema te intenta engañar. Te da dos ecuaciones, pero una es simplemente el doble de la otra (ej: $x+y=2$ y $2x+2y=4$).', 'Observa si una ecuación es exactamente un múltiplo directo de la otra (en todos sus términos, incluyendo el resultado).']
Respuesta: Observa si una ecuación es exactamente un múltiplo directo de la otra (en todos sus términos, incluyendo el resultado).