Sistema determinado: solución única (rectas secantes)
Reconocer gráfica y algebraicamente un sistema con solución única.
Introducción
En el mundo de los dibujos, esto ocurre cuando las dos rectas tienen inclinaciones (pendientes) diferentes. Tarde o temprano, como si fueran dos espadas cruzadas, chocarán en un único punto.
Explicación
Definición formal
Un sistema $a_1x+b_1y=c_1$, $a_2x+b_2y=c_2$ es compatible determinado (tiene exactamente una solución) si y solo si sus pendientes son distintas, $\frac{a_1}{b_1} \neq \frac{a_2}{b_2}$; geométricamente, las rectas asociadas son secantes y se cruzan en un único punto.
Desarrollo didáctico
En el mundo de los dibujos, esto ocurre cuando las dos rectas tienen inclinaciones (pendientes) diferentes. Tarde o temprano, como si fueran dos espadas cruzadas, chocarán en un único punto.
Algebraicamente, te das cuenta de que es determinado porque al aplicar tus métodos, llegas felizmente a algo como '$x=3$, $y=4$'.
Cómo hacerlo paso a paso
- Compara las pendientes (inclinaciones) de ambas rectas (el coeficiente que acompaña a la 'x' al despejar la 'y').
- Si las pendientes son diferentes, el sistema es Determinado.
- Tendrá exactamente una sola solución (un punto de intersección).
Ejemplos
1 Determina qué debe hacerse en $x=3$ y fundamenta cada transformación.
- Algebraicamente, te das cuenta de que es determinado porque al aplicar tus métodos, llegas felizmente a algo como '$x=3$, $y=4$'.
- Compara las pendientes (inclinaciones) de ambas rectas (el coeficiente que acompaña a la 'x' al despejar la 'y').
2 Analiza el caso $x=3$ y explica cómo se aplica el criterio estudiado.
- Algebraicamente, te das cuenta de que es determinado porque al aplicar tus métodos, llegas felizmente a algo como '$x=3$, $y=4$'.
- Si las pendientes son diferentes, el sistema es Determinado.
3 Respecto de «Sistema determinado: solución única (rectas secantes)»: ¿Se ajusta a la definición esta afirmación? «La inmensa mayoría de los sistemas que resuelves son de este tipo»
- La afirmación coincide con la definición formal: La inmensa mayoría de los sistemas que resuelves son de este tipo.
4 Respecto de «Sistema determinado: solución única (rectas secantes)»: ¿Es compatible con el procedimiento esta afirmación? «Puede omitirse esta condición sin cambiar el resultado: «Compara las pendientes (inclinaciones) de ambas rectas (el coeficiente que acompaña a la 'x' al despejar la 'y')»»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: La inmensa mayoría de los sistemas que resuelves son de este tipo.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Puede omitirse esta condición sin cambiar el resultado: «Compara las pendientes (inclinaciones) de ambas rectas (el coeficiente que acompaña a la 'x' al despejar la 'y')»."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Es válido invertir el orden y dejar para el final esta acción: «Si las pendientes son diferentes, el sistema es Determinado»."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"La definición sigue cumpliéndose aunque no se considere que la inmensa mayoría de los sistemas que resuelves son de este tipo. 'Compatible' significa que SÍ tiene solución. 'Determinado' significa que puedes determinar cuál es con exactitud (es única)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Basta con ejecutar una parte del procedimiento; no es necesario revisar «Compara las pendientes (inclinaciones) de ambas rectas (el coeficiente que acompaña a la 'x' al despejar la 'y')»."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"La comprobación del resultado vuelve innecesaria la condición «Si las pendientes son diferentes, el sistema es Determinado»."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La inmensa mayoría de los sistemas que resuelves son de este tipo. 'Compatible' significa que SÍ tiene solución. 'Determinado' significa que puedes determinar cuál es con exactitud (es única).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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En relación con «Sistema determinado: solución única (rectas secantes)», evalúa la afirmación: La inmensa mayoría de los sistemas que resuelves son de este tipo. 'Compatible' significa que SÍ tiene solución. 'Determinado' significa que puedes determinar cuál es con exactitud (es única).
["La inmensa mayoría de los sistemas que resuelves son de este tipo. 'Compatible' significa que SÍ tiene solución. 'Determinado' significa que puedes determinar cuál es con exactitud (es única)."]
Respuesta: Verdadero
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En relación con «Sistema determinado: solución única (rectas secantes)», evalúa la afirmación: Puede omitirse esta condición sin cambiar el resultado: «Compara las pendientes (inclinaciones) de ambas rectas (el coeficiente que acompaña a la 'x' al despejar la 'y')».
["La inmensa mayoría de los sistemas que resuelves son de este tipo. 'Compatible' significa que SÍ tiene solución. 'Determinado' significa que puedes determinar cuál es con exactitud (es única)."]
Respuesta: Falso
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¿Cuál de las siguientes formulaciones caracteriza correctamente «Sistema determinado: solución única (rectas secantes)»?
["La inmensa mayoría de los sistemas que resuelves son de este tipo. 'Compatible' significa que SÍ tiene solución. 'Determinado' significa que puedes determinar cuál es con exactitud (es única)."]
Respuesta: La inmensa mayoría de los sistemas que resuelves son de este tipo. 'Compatible' significa que SÍ tiene solución. 'Determinado' significa que puedes determinar cuál es con exactitud (es única).
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Qué condición forma parte del procedimiento correcto para «Sistema determinado: solución única (rectas secantes)»?
["Compara las pendientes (inclinaciones) de ambas rectas (el coeficiente que acompaña a la 'x' al despejar la 'y').", "La inmensa mayoría de los sistemas que resuelves son de este tipo. 'Compatible' significa que SÍ tiene solución. 'Determinado' significa que puedes determinar cuál es con exactitud (es única)."]
Respuesta: Compara las pendientes (inclinaciones) de ambas rectas (el coeficiente que acompaña a la 'x' al despejar la 'y').
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¿Cuál de estas decisiones es coherente con la definición de «Sistema determinado: solución única (rectas secantes)»?
['Tendrá exactamente una sola solución (un punto de intersección).', "La inmensa mayoría de los sistemas que resuelves son de este tipo. 'Compatible' significa que SÍ tiene solución. 'Determinado' significa que puedes determinar cuál es con exactitud (es única)."]
Respuesta: Tendrá exactamente una sola solución (un punto de intersección).
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Al revisar «Sistema determinado: solución única (rectas secantes)», ¿qué acción conserva el razonamiento matemático?
['Si las pendientes son diferentes, el sistema es Determinado.', "La inmensa mayoría de los sistemas que resuelves son de este tipo. 'Compatible' significa que SÍ tiene solución. 'Determinado' significa que puedes determinar cuál es con exactitud (es única)."]
Respuesta: Si las pendientes son diferentes, el sistema es Determinado.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Durante «Sistema determinado: solución única (rectas secantes)» se propone: Compara las pendientes (inclinaciones) de ambas rectas (el coeficiente que acompaña a la 'x' al despejar la 'y').
["Compara las pendientes (inclinaciones) de ambas rectas (el coeficiente que acompaña a la 'x' al despejar la 'y').", "La inmensa mayoría de los sistemas que resuelves son de este tipo. 'Compatible' significa que SÍ tiene solución. 'Determinado' significa que puedes determinar cuál es con exactitud (es única)."]
Respuesta: Verdadero
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Durante «Sistema determinado: solución única (rectas secantes)» se propone: Basta con ejecutar una parte del procedimiento; no es necesario revisar «Compara las pendientes (inclinaciones) de ambas rectas (el coeficiente que acompaña a la 'x' al despejar la 'y')».
["La inmensa mayoría de los sistemas que resuelves son de este tipo. 'Compatible' significa que SÍ tiene solución. 'Determinado' significa que puedes determinar cuál es con exactitud (es única).", "La inmensa mayoría de los sistemas que resuelves son de este tipo. 'Compatible' significa que SÍ tiene solución. 'Determinado' significa que puedes determinar cuál es con exactitud (es única)."]
Respuesta: Falso
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Durante «Sistema determinado: solución única (rectas secantes)» se propone: Tendrá exactamente una sola solución (un punto de intersección).
['Tendrá exactamente una sola solución (un punto de intersección).', "La inmensa mayoría de los sistemas que resuelves son de este tipo. 'Compatible' significa que SÍ tiene solución. 'Determinado' significa que puedes determinar cuál es con exactitud (es única)."]
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Considera el siguiente caso: Determina qué debe hacerse en $x=3$ y fundamenta cada transformación. ¿Qué acción inicia correctamente el análisis?
["Algebraicamente, te das cuenta de que es determinado porque al aplicar tus métodos, llegas felizmente a algo como '$x=3$, $y=4$'.", "Compara las pendientes (inclinaciones) de ambas rectas (el coeficiente que acompaña a la 'x' al despejar la 'y')."]
Respuesta: Compara las pendientes (inclinaciones) de ambas rectas (el coeficiente que acompaña a la 'x' al despejar la 'y').