Sistema determinado: solución única (rectas secantes)

Resumen inicial

Un sistema es compatible determinado cuando posee una única solución, lo que geométricamente corresponde al cruce de dos rectas secantes en un punto del plano.

Explicación en palabras simples

Un sistema de ecuaciones lineales $2 \times 2$ se clasifica como compatible determinado cuando posee una única solución $(x, y)$.

Geométricamente, esto significa que las dos rectas asociadas en el plano cartesiano poseen pendientes distintas ($m_1 \neq m_2$).

Por lo tanto, se trata de dos rectas secantes que se cortan en exactamente un único punto del plano $xOy$.

Explicación formal

Definición formal

El sistema $\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$ es compatible determinado si y solo si la razón de sus coeficientes satisface la desigualdad:

$$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \iff a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0 \iff \Delta \neq 0$$

$$\text{Geometría: } L_1 \text{ y } L_2 \text{ son rectas secantes } \implies |L_1 \cap L_2| = 1$$

Síntesis didáctica

La no-proporcionalidad entre los coeficientes de $x$ e $y$ garantiza la existencia de un determinante del sistema no nulo ($\Delta \neq 0$).

Definiciones clave

Sistema compatible determinado (SCD): Sistema de ecuaciones lineales que posee una solución única en $\mathbb{R}^2$.
Rectas secantes: Dos rectas coplanares que se intersecan en un único punto debido a la desigualdad de sus pendientes ($m_1 \neq m_2$).

Propiedades y relaciones importantes

Desigualdad de razones de coeficientes: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ es la condición necesaria y suficiente para que exista solución única.
Determinante no nulo: La matriz de coeficientes posee determinante $\Delta = a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0$.

Ejemplo guiado

Ejemplo Sistema determinado: solución única (rectas secantes)

Clasifica el sistema $\begin{cases} 3x + 4y = 10 \\ 2x - 5y = 7 \end{cases}$ analizando la razón de sus coeficientes y determina si es un sistema compatible determinado.

Paso 1: Calcular la razón entre los coeficientes de $x$: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{2}$.
Paso 2: Calcular la razón entre los coeficientes de $y$: $\frac{b_1}{b_2} = \frac{4}{-5} = -\frac{4}{5}$.
Paso 3: Comparar ambas razones numéricas: $\frac{3}{2} \neq -\frac{4}{5}$.
Paso 4: Concluir que el sistema es **compatible determinado** (SCD) y posee una solución única representada por dos rectas secantes.

Procedimiento

Paso 1: Identificar los coeficientes $a_1, a_2$ de $x$ y $b_1, b_2$ de $y$ en el sistema canónico.
Paso 2: Construir las razones $\frac{a_1}{a_2}$ y $\frac{b_1}{b_2}$.
Paso 3: Simplificar ambas expresiones fraccionarias a su mínima expresión.
Paso 4: Si $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, clasificar el sistema como Compatible Determinado (SCD).
Paso 5: Reportar que las rectas asociadas son secantes y se cortan en un único punto.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error 1: Incluir las constantes del término independiente $c_1, c_2$ para decidir si un sistema es compatible determinado. Cómo corregirlo: La condición de solución única DEPENDE EXCLUSIVAMENTE DE LA DESIGUALDAD DE LOS COEFICIENTES DE LAS VARIABLES ($\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$); LAS CONSTANTES INDEPENDIENTES NO ALTERAN LA CONDICIÓN DE SECANTES.
Error 2: Confundir la clasificación de compatible determinado (solución única) con la de indeterminado (infinitas soluciones). Cómo corregirlo: En un sistema compatible determinado LAS RAZONES DE COEFICIENTES SON DESIGUALES ($\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$), MIENTRAS QUE EN UNO INDETERMINADO TODAS LAS RAZONES SON IGUALES.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Dos rectas secantes que se cortan en un punto fuera del primer cuadrante del plano cartesiano pierden la clasificación de sistema determinado."

"El determinante del sistema $\Delta = a_1 b_2 - a_2 b_1$ en un sistema compatible determinado debe ser estrictamente igual a cero."

"Un sistema 2x2 es compatible determinado si y solo si las razones de los coeficientes de $x$ e $y$ son distintas ($\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$)."

"Para verificar si un sistema es compatible determinado, se exige la igualdad de las constantes independientes $\frac{c_1}{c_2}$ junto a la de los coeficientes."

"La representación gráfica de un sistema compatible determinado consiste en dos rectas secantes que se cortan en un único punto del plano."

"En un sistema compatible determinado, las rectas asociadas en el plano cartesiano son paralelas disjuntas que jamás se intersecan."

"La condición de solución única en un sistema $2 \times 2$ requiere que las razones de coeficientes sean iguales $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$."

Al terminar debes poder

Resumen Sistema determinado: solución única (rectas secantes)

Identificar y clasificar un sistema compatible determinado (SCD).

Comprobando que los coeficientes de las variables no son proporcionales ($\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$), lo que genera rectas secantes con solución única.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

En relación con «Sistema determinado: solución única (rectas secantes)», evalúa la afirmación: La inmensa mayoría de los sistemas que resuelves son de este tipo. 'Compatible' significa que SÍ tiene solución. 'Determinado' significa que puedes determinar cuál es con exactitud (es única).
En relación con «Sistema determinado: solución única (rectas secantes)», evalúa la afirmación: Puede omitirse esta condición sin cambiar el resultado: «Compara las pendientes (inclinaciones) de ambas rectas (el coeficiente que acompaña a la 'x' al despejar la 'y')».
¿Cuál de las siguientes formulaciones caracteriza correctamente «Sistema determinado: solución única (rectas secantes)»?
["La inmensa mayoría de los sistemas que resuelves son de este tipo. 'Compatible' significa que SÍ tiene solución. 'Determinado' significa que puedes determinar cuál es con exactitud (es única)."]

Respuesta: La inmensa mayoría de los sistemas que resuelves son de este tipo. 'Compatible' significa que SÍ tiene solución. 'Determinado' significa que puedes determinar cuál es con exactitud (es única).

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

¿Cuál de estas decisiones es coherente con la definición de «Sistema determinado: solución única (rectas secantes)»?
['Tendrá exactamente una sola solución (un punto de intersección).', "La inmensa mayoría de los sistemas que resuelves son de este tipo. 'Compatible' significa que SÍ tiene solución. 'Determinado' significa que puedes determinar cuál es con exactitud (es única)."]

Respuesta: Tendrá exactamente una sola solución (un punto de intersección).
¿Qué condición forma parte del procedimiento correcto para «Sistema determinado: solución única (rectas secantes)»?
["Compara las pendientes (inclinaciones) de ambas rectas (el coeficiente que acompaña a la 'x' al despejar la 'y').", "La inmensa mayoría de los sistemas que resuelves son de este tipo. 'Compatible' significa que SÍ tiene solución. 'Determinado' significa que puedes determinar cuál es con exactitud (es única)."]

Respuesta: Compara las pendientes (inclinaciones) de ambas rectas (el coeficiente que acompaña a la 'x' al despejar la 'y').
Al revisar «Sistema determinado: solución única (rectas secantes)», ¿qué acción conserva el razonamiento matemático?
['Si las pendientes son diferentes, el sistema es Determinado.', "La inmensa mayoría de los sistemas que resuelves son de este tipo. 'Compatible' significa que SÍ tiene solución. 'Determinado' significa que puedes determinar cuál es con exactitud (es única)."]

Respuesta: Si las pendientes son diferentes, el sistema es Determinado.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Durante «Sistema determinado: solución única (rectas secantes)» se propone: Compara las pendientes (inclinaciones) de ambas rectas (el coeficiente que acompaña a la 'x' al despejar la 'y').
Durante «Sistema determinado: solución única (rectas secantes)» se propone: Basta con ejecutar una parte del procedimiento; no es necesario revisar «Compara las pendientes (inclinaciones) de ambas rectas (el coeficiente que acompaña a la 'x' al despejar la 'y')».
Durante «Sistema determinado: solución única (rectas secantes)» se propone: Tendrá exactamente una sola solución (un punto de intersección).

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Considera el siguiente caso: Determina qué debe hacerse en $x=3$ y fundamenta cada transformación. ¿Qué acción inicia correctamente el análisis?
["Algebraicamente, te das cuenta de que es determinado porque al aplicar tus métodos, llegas felizmente a algo como '$x=3$, $y=4$'.", "Compara las pendientes (inclinaciones) de ambas rectas (el coeficiente que acompaña a la 'x' al despejar la 'y')."]

Respuesta: Compara las pendientes (inclinaciones) de ambas rectas (el coeficiente que acompaña a la 'x' al despejar la 'y').

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación