Condición paramétrica para solución única en un sistema 2x2
Determinar qué valores deben tener los coeficientes para que las rectas se crucen.
Introducción
Recuerda: Para que haya solución única, las rectas deben tener pendientes diferentes (deben chocar). La forma matemática de verificar esto rápidamente es comparando las fracciones que forman los coeficientes.
Explicación
Definición formal
Dado un sistema $A_1x+B_1y=C_1$, $A_2x+B_2y=C_2$ con un coeficiente expresado como parámetro, el sistema tiene solución única exactamente para los valores del parámetro que cumplen $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$; despejar el parámetro de la igualdad $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$ determina el único valor que debe excluirse.
Desarrollo didáctico
Recuerda: Para que haya solución única, las rectas deben tener pendientes diferentes (deben chocar). La forma matemática de verificar esto rápidamente es comparando las fracciones que forman los coeficientes.
Regla: Para solución única, la proporción de las 'x' debe ser distinta a la proporción de las 'y'. Es decir: $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$.
En nuestro ejemplo: $\frac{k}{3} \neq \frac{2}{4}$. Resuelves y listo: $k \neq 1.5$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Identifica los coeficientes que acompañan a 'x' ($A_1, A_2$) y los que acompañan a 'y' ($B_1, B_2$).
- Plantea la inecuación de que la división de las 'x' sea DISTINTA a la división de las 'y': $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$.
- Despeja el parámetro desconocido ('k') como si fuera una ecuación normal.
Ejemplos
1 Justifica el procedimiento adecuado para el caso $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$ y $\frac{k}{3} \neq \frac{2}{4}$.
- Regla: Para solución única, la proporción de las 'x' debe ser distinta a la proporción de las 'y'. Es decir: $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$. En nuestro ejemplo: $\frac{k}{3} \neq \frac{2}{4}$. Resuelves y listo: $k \neq 1.5$.
- Identifica los coeficientes que acompañan a 'x' ($A_1, A_2$) y los que acompañan a 'y' ($B_1, B_2$).
2 Determina qué debe hacerse en $kx + 2y = 4$ y $3x + 4y = 8$ y fundamenta cada transformación.
- En pruebas PAES es muy común que en lugar de darte todos los números, escondan uno con una letra 'k', por ejemplo: $kx + 2y = 4$ y $3x + 4y = 8$. Y te preguntan: '¿Qué valor NO puede tomar k para que haya solución única?'.
- Plantea la inecuación de que la división de las 'x' sea DISTINTA a la división de las 'y': $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$.
3 Respecto de «Condición paramétrica para solución única en un sistema 2x2»: ¿La siguiente formulación es correcta? «En pruebas PAES es muy común que en lugar de darte todos los números, escondan uno con una letra 'k', por ejemplo: $kx + 2y = 4$ y $3x + 4y = 8$»
- La afirmación coincide con la definición formal: En pruebas PAES es muy común que en lugar de darte todos los números, escondan uno con una letra 'k', por ejemplo: $kx + 2y = 4$ y $3x + 4y = 8$.
4 Respecto de «Condición paramétrica para solución única en un sistema 2x2»: ¿La siguiente conclusión es correcta? «Puede omitirse esta condición sin cambiar el resultado: «Identifica los coeficientes que acompañan a 'x' ($A_1, A_2$) y los que acompañan a 'y' ($B_1, B_2$)»»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: En pruebas PAES es muy común que en lugar de darte todos los números, escondan uno con una letra 'k', por ejemplo: $kx + 2y = 4$ y $3x + 4y = 8$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Puede omitirse esta condición sin cambiar el resultado: «Identifica los coeficientes que acompañan a 'x' ($A_1, A_2$) y los que acompañan a 'y' ($B_1, B_2$)»."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Es válido invertir el orden y dejar para el final esta acción: «Plantea la inecuación de que la división de las 'x' sea DISTINTA a la división de las 'y': $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$»."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"La definición sigue cumpliéndose aunque no se considere que en pruebas PAES es muy común que en lugar de darte todos los números, escondan uno con una letra 'k', por ejemplo: $kx + 2y = 4$ y $3x + 4y = 8$. Y te preguntan: '¿Qué valor NO puede tomar k para que haya solución única?'."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Basta con ejecutar una parte del procedimiento; no es necesario revisar «Identifica los coeficientes que acompañan a 'x' ($A_1, A_2$) y los que acompañan a 'y' ($B_1, B_2$)»."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"La comprobación del resultado vuelve innecesaria la condición «Plantea la inecuación de que la división de las 'x' sea DISTINTA a la división de las 'y': $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$»."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
En pruebas PAES es muy común que en lugar de darte todos los números, escondan uno con una letra 'k', por ejemplo: $kx + 2y = 4$ y $3x + 4y = 8$. Y te preguntan: '¿Qué valor NO puede tomar k para que haya solución única?'.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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En relación con «Condición paramétrica para solución única en un sistema 2x2», evalúa la afirmación: Puede omitirse esta condición sin cambiar el resultado: «Identifica los coeficientes que acompañan a 'x' ($A_1, A_2$) y los que acompañan a 'y' ($B_1, B_2$)».
["En pruebas PAES es muy común que en lugar de darte todos los números, escondan uno con una letra 'k', por ejemplo: $kx + 2y = 4$ y $3x + 4y = 8$. Y te preguntan: '¿Qué valor NO puede tomar k para que haya solución única?'."]
Respuesta: Falso
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En relación con «Condición paramétrica para solución única en un sistema 2x2», evalúa la afirmación: En pruebas PAES es muy común que en lugar de darte todos los números, escondan uno con una letra 'k', por ejemplo: $kx + 2y = 4$ y $3x + 4y = 8$. Y te preguntan: '¿Qué valor NO puede tomar k para que haya solución única?'.
["En pruebas PAES es muy común que en lugar de darte todos los números, escondan uno con una letra 'k', por ejemplo: $kx + 2y = 4$ y $3x + 4y = 8$. Y te preguntan: '¿Qué valor NO puede tomar k para que haya solución única?'."]
Respuesta: Verdadero
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¿Cuál de las siguientes formulaciones caracteriza correctamente «Condición paramétrica para solución única en un sistema 2x2»?
["En pruebas PAES es muy común que en lugar de darte todos los números, escondan uno con una letra 'k', por ejemplo: $kx + 2y = 4$ y $3x + 4y = 8$. Y te preguntan: '¿Qué valor NO puede tomar k para que haya solución única?'."]
Respuesta: En pruebas PAES es muy común que en lugar de darte todos los números, escondan uno con una letra 'k', por ejemplo: $kx + 2y = 4$ y $3x + 4y = 8$. Y te preguntan: '¿Qué valor NO puede tomar k para que haya solución única?'.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuál de estas decisiones es coherente con la definición de «Condición paramétrica para solución única en un sistema 2x2»?
["Despeja el parámetro desconocido ('k') como si fuera una ecuación normal.", "En pruebas PAES es muy común que en lugar de darte todos los números, escondan uno con una letra 'k', por ejemplo: $kx + 2y = 4$ y $3x + 4y = 8$. Y te preguntan: '¿Qué valor NO puede tomar k para que haya solución única?'."]
Respuesta: Despeja el parámetro desconocido ('k') como si fuera una ecuación normal.
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Al revisar «Condición paramétrica para solución única en un sistema 2x2», ¿qué acción conserva el razonamiento matemático?
["Plantea la inecuación de que la división de las 'x' sea DISTINTA a la división de las 'y': $\\frac{A_1}{A_2} \\neq \\frac{B_1}{B_2}$.", "En pruebas PAES es muy común que en lugar de darte todos los números, escondan uno con una letra 'k', por ejemplo: $kx + 2y = 4$ y $3x + 4y = 8$. Y te preguntan: '¿Qué valor NO puede tomar k para que haya solución única?'."]
Respuesta: Plantea la inecuación de que la división de las 'x' sea DISTINTA a la división de las 'y': $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$.
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¿Qué condición forma parte del procedimiento correcto para «Condición paramétrica para solución única en un sistema 2x2»?
["Identifica los coeficientes que acompañan a 'x' ($A_1, A_2$) y los que acompañan a 'y' ($B_1, B_2$).", "En pruebas PAES es muy común que en lugar de darte todos los números, escondan uno con una letra 'k', por ejemplo: $kx + 2y = 4$ y $3x + 4y = 8$. Y te preguntan: '¿Qué valor NO puede tomar k para que haya solución única?'."]
Respuesta: Identifica los coeficientes que acompañan a 'x' ($A_1, A_2$) y los que acompañan a 'y' ($B_1, B_2$).
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Durante «Condición paramétrica para solución única en un sistema 2x2» se propone: Identifica los coeficientes que acompañan a 'x' ($A_1, A_2$) y los que acompañan a 'y' ($B_1, B_2$).
["Identifica los coeficientes que acompañan a 'x' ($A_1, A_2$) y los que acompañan a 'y' ($B_1, B_2$).", "En pruebas PAES es muy común que en lugar de darte todos los números, escondan uno con una letra 'k', por ejemplo: $kx + 2y = 4$ y $3x + 4y = 8$. Y te preguntan: '¿Qué valor NO puede tomar k para que haya solución única?'."]
Respuesta: Verdadero
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Durante «Condición paramétrica para solución única en un sistema 2x2» se propone: Despeja el parámetro desconocido ('k') como si fuera una ecuación normal.
["Despeja el parámetro desconocido ('k') como si fuera una ecuación normal.", "En pruebas PAES es muy común que en lugar de darte todos los números, escondan uno con una letra 'k', por ejemplo: $kx + 2y = 4$ y $3x + 4y = 8$. Y te preguntan: '¿Qué valor NO puede tomar k para que haya solución única?'."]
Respuesta: Verdadero
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Durante «Condición paramétrica para solución única en un sistema 2x2» se propone: Basta con ejecutar una parte del procedimiento; no es necesario revisar «Identifica los coeficientes que acompañan a 'x' ($A_1, A_2$) y los que acompañan a 'y' ($B_1, B_2$)».
["En pruebas PAES es muy común que en lugar de darte todos los números, escondan uno con una letra 'k', por ejemplo: $kx + 2y = 4$ y $3x + 4y = 8$. Y te preguntan: '¿Qué valor NO puede tomar k para que haya solución única?'.", "En pruebas PAES es muy común que en lugar de darte todos los números, escondan uno con una letra 'k', por ejemplo: $kx + 2y = 4$ y $3x + 4y = 8$. Y te preguntan: '¿Qué valor NO puede tomar k para que haya solución única?'."]
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Considera el siguiente caso: Justifica el procedimiento adecuado para el caso $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$ y $\frac{k}{3} \neq \frac{2}{4}$. ¿Qué acción inicia correctamente el análisis?
["Regla: Para solución única, la proporción de las 'x' debe ser distinta a la proporción de las 'y'. Es decir: $\\frac{A_1}{A_2} \\neq \\frac{B_1}{B_2}$.\nEn nuestro ejemplo: $\\frac{k}{3} \\neq \\frac{2}{4}$. Resuelves y listo: $k \\neq 1.5$.", "Identifica los coeficientes que acompañan a 'x' ($A_1, A_2$) y los que acompañan a 'y' ($B_1, B_2$)."]
Respuesta: Identifica los coeficientes que acompañan a 'x' ($A_1, A_2$) y los que acompañan a 'y' ($B_1, B_2$).