Resolución de ecuaciones lineales con coeficientes fraccionarios
Resolver ecuaciones lineales que tienen números fraccionarios como coeficientes.
Introducción
El secreto del éxito aquí es el 'multiplicación por el mínimo común múltiplo': multiplicar toda la balanza (ambos miembros) por el MCM numérico de los denominadores.
Explicación
Definición formal
Una ecuación lineal con coeficientes fraccionarios $\frac{a_1}{b_1}x + \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}x + \dots$ se reduce a una ecuación de coeficientes enteros multiplicando ambos miembros por el Mínimo Común Múltiplo de los denominadores $b_1, b_2, b_3, \dots$, pues ese producto es divisible exactamente por cada uno de ellos.
Desarrollo didáctico
El secreto del éxito aquí es el 'multiplicación por el mínimo común múltiplo': multiplicar toda la balanza (ambos miembros) por el MCM numérico de los denominadores.
Ejemplo: Denominadores 2, 4 y 3. El MCM es 12. Si multiplicas cada término de la ecuación por 12, de manera directa todas las fracciones se convertirán en números enteros, porque el 12 se dividirá exactamente por el 2, el 4 y el 3.
Cómo hacerlo paso a paso
- Calcula el MCM de todos los números que están en los denominadores.
- Multiplica TODA la ecuación (cada término, a la izquierda y derecha) por el MCM.
- Simplifica cruzado cada término. La ecuación ahora será plana (sin fracciones).
- Resuelve la ecuación lineal normal resultante.
Ejemplos
1 Justifica el procedimiento adecuado para el caso $x$ y $\frac{1}{2}x + \frac{3}{4} = \frac{x}{3}$.
- Estas son ecuaciones donde la $x$ permanece en el numerador o a un lado, pero está acompañada de fracciones numéricas molestas, como $\frac{1}{2}x + \frac{3}{4} = \frac{x}{3}$.
- Calcula el MCM de todos los números que están en los denominadores.
2 Determina qué debe hacerse en $x$ y $\frac{1}{2}x + \frac{3}{4} = \frac{x}{3}$ y fundamenta cada transformación.
- Estas son ecuaciones donde la $x$ permanece en el numerador o a un lado, pero está acompañada de fracciones numéricas molestas, como $\frac{1}{2}x + \frac{3}{4} = \frac{x}{3}$.
- Multiplica TODA la ecuación (cada término, a la izquierda y derecha) por el MCM.
3 Respecto de «Resolución de ecuaciones lineales con coeficientes fraccionarios»: ¿La siguiente formulación es correcta? «Estas son ecuaciones donde la $x$ permanece en el numerador o a un lado, pero está acompañada de fracciones numéricas molestas, como $\frac{1}{2}x + \frac{3}{4} = \frac{x}{3}$»
- La afirmación coincide con la definición formal: Estas son ecuaciones donde la $x$ permanece en el numerador o a un lado, pero está acompañada de fracciones numéricas molestas, como $\frac{1}{2}x + \frac{3}{4} = \frac{x}{3}$.
4 Respecto de «Resolución de ecuaciones lineales con coeficientes fraccionarios»: ¿La siguiente conclusión es correcta? «Puede omitirse esta condición sin cambiar el resultado: «Calcula el MCM de todos los números que están en los denominadores»»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: Estas son ecuaciones donde la $x$ permanece en el numerador o a un lado, pero está acompañada de fracciones numéricas molestas, como $\frac{1}{2}x + \frac{3}{4} = \frac{x}{3}$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Puede omitirse esta condición sin cambiar el resultado: «Calcula el MCM de todos los números que están en los denominadores»."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Es válido invertir el orden y dejar para el final esta acción: «Multiplica TODA la ecuación (cada término, a la izquierda y derecha) por el MCM»."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"La definición sigue cumpliéndose aunque no se considere que estas son ecuaciones donde la $x$ permanece en el numerador o a un lado, pero está acompañada de fracciones numéricas molestas, como $\frac{1}{2}x + \frac{3}{4} = \frac{x}{3}$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Basta con ejecutar una parte del procedimiento; no es necesario revisar «Resuelve la ecuación lineal normal resultante»."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"La comprobación del resultado vuelve innecesaria la condición «Calcula el MCM de todos los números que están en los denominadores»."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Estas son ecuaciones donde la $x$ permanece en el numerador o a un lado, pero está acompañada de fracciones numéricas molestas, como $\frac{1}{2}x + \frac{3}{4} = \frac{x}{3}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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En relación con «Resolución de ecuaciones lineales con coeficientes fraccionarios», evalúa la afirmación: Puede omitirse esta condición sin cambiar el resultado: «Calcula el MCM de todos los números que están en los denominadores».
['Estas son ecuaciones donde la $x$ permanece en el numerador o a un lado, pero está acompañada de fracciones numéricas molestas, como $\\frac{1}{2}x + \\frac{3}{4} = \\frac{x}{3}$.']
Respuesta: Falso
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En relación con «Resolución de ecuaciones lineales con coeficientes fraccionarios», evalúa la afirmación: Estas son ecuaciones donde la $x$ permanece en el numerador o a un lado, pero está acompañada de fracciones numéricas molestas, como $\frac{1}{2}x + \frac{3}{4} = \frac{x}{3}$.
['Estas son ecuaciones donde la $x$ permanece en el numerador o a un lado, pero está acompañada de fracciones numéricas molestas, como $\\frac{1}{2}x + \\frac{3}{4} = \\frac{x}{3}$.']
Respuesta: Verdadero
-
¿Cuál de las siguientes formulaciones caracteriza correctamente «Resolución de ecuaciones lineales con coeficientes fraccionarios»?
['Estas son ecuaciones donde la $x$ permanece en el numerador o a un lado, pero está acompañada de fracciones numéricas molestas, como $\\frac{1}{2}x + \\frac{3}{4} = \\frac{x}{3}$.']
Respuesta: Estas son ecuaciones donde la $x$ permanece en el numerador o a un lado, pero está acompañada de fracciones numéricas molestas, como $\frac{1}{2}x + \frac{3}{4} = \frac{x}{3}$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Al revisar «Resolución de ecuaciones lineales con coeficientes fraccionarios», ¿qué acción conserva el razonamiento matemático?
['Multiplica TODA la ecuación (cada término, a la izquierda y derecha) por el MCM.', 'Estas son ecuaciones donde la $x$ permanece en el numerador o a un lado, pero está acompañada de fracciones numéricas molestas, como $\\frac{1}{2}x + \\frac{3}{4} = \\frac{x}{3}$.']
Respuesta: Multiplica TODA la ecuación (cada término, a la izquierda y derecha) por el MCM.
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¿Qué condición forma parte del procedimiento correcto para «Resolución de ecuaciones lineales con coeficientes fraccionarios»?
['Calcula el MCM de todos los números que están en los denominadores.', 'Estas son ecuaciones donde la $x$ permanece en el numerador o a un lado, pero está acompañada de fracciones numéricas molestas, como $\\frac{1}{2}x + \\frac{3}{4} = \\frac{x}{3}$.']
Respuesta: Calcula el MCM de todos los números que están en los denominadores.
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¿Cuál de estas decisiones es coherente con la definición de «Resolución de ecuaciones lineales con coeficientes fraccionarios»?
['Simplifica cruzado cada término. La ecuación ahora será plana (sin fracciones).', 'Estas son ecuaciones donde la $x$ permanece en el numerador o a un lado, pero está acompañada de fracciones numéricas molestas, como $\\frac{1}{2}x + \\frac{3}{4} = \\frac{x}{3}$.']
Respuesta: Simplifica cruzado cada término. La ecuación ahora será plana (sin fracciones).
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Durante «Resolución de ecuaciones lineales con coeficientes fraccionarios» se propone: Calcula el MCM de todos los números que están en los denominadores.
['Calcula el MCM de todos los números que están en los denominadores.', 'Estas son ecuaciones donde la $x$ permanece en el numerador o a un lado, pero está acompañada de fracciones numéricas molestas, como $\\frac{1}{2}x + \\frac{3}{4} = \\frac{x}{3}$.']
Respuesta: Verdadero
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Durante «Resolución de ecuaciones lineales con coeficientes fraccionarios» se propone: Basta con ejecutar una parte del procedimiento; no es necesario revisar «Resuelve la ecuación lineal normal resultante».
['Estas son ecuaciones donde la $x$ permanece en el numerador o a un lado, pero está acompañada de fracciones numéricas molestas, como $\\frac{1}{2}x + \\frac{3}{4} = \\frac{x}{3}$.', 'Estas son ecuaciones donde la $x$ permanece en el numerador o a un lado, pero está acompañada de fracciones numéricas molestas, como $\\frac{1}{2}x + \\frac{3}{4} = \\frac{x}{3}$.']
Respuesta: Falso
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Durante «Resolución de ecuaciones lineales con coeficientes fraccionarios» se propone: Simplifica cruzado cada término. La ecuación ahora será plana (sin fracciones).
['Simplifica cruzado cada término. La ecuación ahora será plana (sin fracciones).', 'Estas son ecuaciones donde la $x$ permanece en el numerador o a un lado, pero está acompañada de fracciones numéricas molestas, como $\\frac{1}{2}x + \\frac{3}{4} = \\frac{x}{3}$.']
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Considera el siguiente caso: Justifica el procedimiento adecuado para el caso $x$ y $\frac{1}{2}x + \frac{3}{4} = \frac{x}{3}$. ¿Qué acción inicia correctamente el análisis?
['Estas son ecuaciones donde la $x$ permanece en el numerador o a un lado, pero está acompañada de fracciones numéricas molestas, como $\\frac{1}{2}x + \\frac{3}{4} = \\frac{x}{3}$.', 'Calcula el MCM de todos los números que están en los denominadores.']
Respuesta: Calcula el MCM de todos los números que están en los denominadores.