Resolución de ecuaciones fraccionarias mediante m.c.m.
Encontrar el MCM cuando los denominadores contienen polinomios con la incógnita.
Introducción
Funciona como un mínimo común múltiplo. Factorizas todos los denominadores primero (ej: $x^2-1$ se vuelve $(x-1)(x+1)$).
Explicación
Definición formal
Cuando los denominadores de una ecuación fraccionaria son polinomios $q_1(x), q_2(x), \dots$, su Mínimo Común Múltiplo algebraico se construye factorizando cada $q_i(x)$ y tomando cada factor irreducible distinto elevado a su mayor exponente entre todas las factorizaciones; multiplicar la ecuación por ese MCM elimina todos los denominadores simultáneamente.
Desarrollo didáctico
Funciona como un mínimo común múltiplo. Factorizas todos los denominadores primero (ej: $x^2-1$ se vuelve $(x-1)(x+1)$).
Luego, construyes tu mínimo común múltiplo (el MCM) tomando todos los fcantidades involucradas que aparecen, a su mayor exponente. Al inyectar (multiplicar) este mínimo común múltiplo en toda la ecuación, eliminarás todos los denominadores de un solo golpe, dejándote una ecuación lineal amigable en el numerador.
Cómo hacerlo paso a paso
- Factoriza completamente todos los denominadores de la ecuación.
- Construye el MCM tomando los fcantidades involucradas comunes y no comunes al mayor exponente.
- Multiplica cada término de la ecuación por el MCM. Los denominadores se cancelarán con partes del MCM.
Ejemplos
1 Justifica el procedimiento adecuado para el caso $x^2-1$ y $(x-1)(x+1)$.
- Funciona como un mínimo común múltiplo. Factorizas todos los denominadores primero (ej: $x^2-1$ se vuelve $(x-1)(x+1)$). Luego, construyes tu mínimo común múltiplo (el MCM) tomando todos los fcantidades involucradas que aparecen, a su mayor exponente. Al inyectar (multiplicar) este mínimo común múltiplo en toda la ecuación, eliminarás todos los denominadores de un solo golpe, dejándote una ecuación lineal amigable en el numerador.
- Factoriza completamente todos los denominadores de la ecuación.
2 Determina qué debe hacerse en $(x-1)$ y $(x^2-1)$ y fundamenta cada transformación.
- Cuando los denominadores son expresiones como $(x-1)$ y $(x^2-1)$, multiplicarlos entre sí crearía un expresión algebraica compleja. Necesitas usar el MCM algebraico.
- Construye el MCM tomando los fcantidades involucradas comunes y no comunes al mayor exponente.
3 Respecto de «Resolución de ecuaciones fraccionarias mediante m.c.m.»: ¿La siguiente formulación es correcta? «El mínimo común múltiplo de los denominadores permite transformar una ecuación fraccionaria en otra equivalente sin denominadores, siempre que se respeten sus restricciones»
- La afirmación coincide con la definición formal: El mínimo común múltiplo de los denominadores permite transformar una ecuación fraccionaria en otra equivalente sin denominadores, siempre que se respeten sus restricciones.
4 Respecto de «Resolución de ecuaciones fraccionarias mediante m.c.m.»: ¿La siguiente conclusión es correcta? «Puede omitirse esta condición sin cambiar el resultado: «Factoriza completamente todos los denominadores de la ecuación»»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: El mínimo común múltiplo de los denominadores permite transformar una ecuación fraccionaria en otra equivalente sin denominadores, siempre que se respeten sus restricciones.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Puede omitirse esta condición sin cambiar el resultado: «Factoriza completamente todos los denominadores de la ecuación»."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Es válido invertir el orden y dejar para el final esta acción: «Construye el MCM tomando los fcantidades involucradas comunes y no comunes al mayor exponente»."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"La definición sigue cumpliéndose aunque no se considere que cuando los denominadores son expresiones como $(x-1)$ y $(x^2-1)$, multiplicarlos entre sí crearía un expresión algebraica compleja. Necesitas usar el MCM algebraico."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Basta con ejecutar una parte del procedimiento; no es necesario revisar «Factoriza completamente todos los denominadores de la ecuación»."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"La comprobación del resultado vuelve innecesaria la condición «Construye el MCM tomando los fcantidades involucradas comunes y no comunes al mayor exponente»."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El mínimo común múltiplo de los denominadores permite transformar una ecuación fraccionaria en otra equivalente sin denominadores, siempre que se respeten sus restricciones.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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En relación con «Resolución de ecuaciones fraccionarias mediante m.c.m.», evalúa la afirmación: El mínimo común múltiplo de los denominadores permite transformar una ecuación fraccionaria en otra equivalente sin denominadores, siempre que se respeten sus restricciones.
['El mínimo común múltiplo de los denominadores permite transformar una ecuación fraccionaria en otra equivalente sin denominadores, siempre que se respeten sus restricciones.']
Respuesta: Verdadero
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En relación con «Resolución de ecuaciones fraccionarias mediante m.c.m.», evalúa la afirmación: Puede omitirse esta condición sin cambiar el resultado: «Factoriza completamente todos los denominadores de la ecuación».
['El mínimo común múltiplo de los denominadores permite transformar una ecuación fraccionaria en otra equivalente sin denominadores, siempre que se respeten sus restricciones.']
Respuesta: Falso
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¿Cuál de las siguientes formulaciones caracteriza correctamente «Resolución de ecuaciones fraccionarias mediante m.c.m.»?
['El mínimo común múltiplo de los denominadores permite transformar una ecuación fraccionaria en otra equivalente sin denominadores, siempre que se respeten sus restricciones.']
Respuesta: El mínimo común múltiplo de los denominadores permite transformar una ecuación fraccionaria en otra equivalente sin denominadores, siempre que se respeten sus restricciones.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Qué condición forma parte del procedimiento correcto para «Resolución de ecuaciones fraccionarias mediante m.c.m.»?
['Factoriza completamente todos los denominadores de la ecuación.', 'El mínimo común múltiplo de los denominadores permite transformar una ecuación fraccionaria en otra equivalente sin denominadores, siempre que se respeten sus restricciones.']
Respuesta: Factoriza completamente todos los denominadores de la ecuación.
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Al revisar «Resolución de ecuaciones fraccionarias mediante m.c.m.», ¿qué acción conserva el razonamiento matemático?
['Construye el MCM tomando los fcantidades involucradas comunes y no comunes al mayor exponente.', 'El mínimo común múltiplo de los denominadores permite transformar una ecuación fraccionaria en otra equivalente sin denominadores, siempre que se respeten sus restricciones.']
Respuesta: Construye el MCM tomando los fcantidades involucradas comunes y no comunes al mayor exponente.
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¿Cuál de estas decisiones es coherente con la definición de «Resolución de ecuaciones fraccionarias mediante m.c.m.»?
['Multiplica cada término de la ecuación por el MCM. Los denominadores se cancelarán con partes del MCM.', 'El mínimo común múltiplo de los denominadores permite transformar una ecuación fraccionaria en otra equivalente sin denominadores, siempre que se respeten sus restricciones.']
Respuesta: Multiplica cada término de la ecuación por el MCM. Los denominadores se cancelarán con partes del MCM.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Durante «Resolución de ecuaciones fraccionarias mediante m.c.m.» se propone: Factoriza completamente todos los denominadores de la ecuación.
['Factoriza completamente todos los denominadores de la ecuación.', 'El mínimo común múltiplo de los denominadores permite transformar una ecuación fraccionaria en otra equivalente sin denominadores, siempre que se respeten sus restricciones.']
Respuesta: Verdadero
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Durante «Resolución de ecuaciones fraccionarias mediante m.c.m.» se propone: Basta con ejecutar una parte del procedimiento; no es necesario revisar «Factoriza completamente todos los denominadores de la ecuación».
['El mínimo común múltiplo de los denominadores permite transformar una ecuación fraccionaria en otra equivalente sin denominadores, siempre que se respeten sus restricciones.', 'El mínimo común múltiplo de los denominadores permite transformar una ecuación fraccionaria en otra equivalente sin denominadores, siempre que se respeten sus restricciones.']
Respuesta: Falso
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Durante «Resolución de ecuaciones fraccionarias mediante m.c.m.» se propone: Multiplica cada término de la ecuación por el MCM. Los denominadores se cancelarán con partes del MCM.
['Multiplica cada término de la ecuación por el MCM. Los denominadores se cancelarán con partes del MCM.', 'El mínimo común múltiplo de los denominadores permite transformar una ecuación fraccionaria en otra equivalente sin denominadores, siempre que se respeten sus restricciones.']
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Considera el siguiente caso: Justifica el procedimiento adecuado para el caso $x^2-1$ y $(x-1)(x+1)$. ¿Qué acción inicia correctamente el análisis?
['Funciona como un mínimo común múltiplo. Factorizas todos los denominadores primero (ej: $x^2-1$ se vuelve $(x-1)(x+1)$).\nLuego, construyes tu mínimo común múltiplo (el MCM) tomando todos los fcantidades involucradas que aparecen, a su mayor exponente. Al inyectar (multiplicar) este mínimo común múltiplo en toda la ecuación, eliminarás todos los denominadores de un solo golpe, dejándote una ecuación lineal amigable en el numerador.', 'Factoriza completamente todos los denominadores de la ecuación.']
Respuesta: Factoriza completamente todos los denominadores de la ecuación.