Eliminación de denominadores en una ecuación fraccionaria
Resumen inicial
La eliminación de denominadores simplifica las expresiones fraccionarias multiplicando cada numerador por los factores complementarios del m.c.m.
Explicación en palabras simples
Al multiplicar una ecuación por el m.c.m. de sus denominadores, el denominador de cada fracción se simplifica o cancela al dividirse contra el factor correspondiente del m.c.m.
El numerador de cada término simplemente se multiplica por los factores sobrantes (complementarios) del m.c.m. que su propio denominador no poseía.
Este paso convierte expresiones fraccionarias complejas en productos sencillos entre paréntesis sobre una ecuación entera.
Explicación formal
Definición formal
Sea la fracción $\frac{N_i(x)}{D_i(x)}$ presente en una ecuación fraccionaria multiplicada por $M(x) = \operatorname{mcm}(D_1, \dots, D_k)$. La regla de simplificación de término se expresa como:
$$M(x) \cdot \frac{N_i(x)}{D_i(x)} = N_i(x) \cdot \left(\frac{M(x)}{D_i(x)}\right) = N_i(x) \cdot C_i(x)$$
Desglose de la fórmula
- $\frac{M(x)}{D_i(x)} = C_i(x)$: Factor complementario polinomial obtenido al cancelar $D_i(x)$ dentro de $M(x)$.
- $N_i(x) \cdot C_i(x)$: Producto entero resultante donde el numerador $N_i(x)$ queda protegido obligatoriamente por paréntesis.
Síntesis didáctica
El uso de paréntesis al sustituir denominadores por sus factores complementarios previene errores de signos en numeradores binomios o polinomios.
La alternativa correcta es '$3(3x - 1) = 5(2x + 4)$'.
Definiciones clave
- Factor complementario: Producto de los factores del m.c.m. que no figuran en el denominador del término considerado.
- Cancelación de denominador: División exacta del m.c.m. entre el denominador de la fracción que transforma la expresión en entera.
Propiedades y relaciones importantes
- Producto cruzado en proporciones: En proporciones de la forma $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$, la eliminación de denominadores se reduce directamente a $A \cdot D = B \cdot C$.
- Preservación de signos de resta: En términos restando $-\frac{N(x)}{D(x)}$, el signo negativo afecta a todo el producto $-(N(x) \cdot C(x))$.
Ejemplo guiado
Aplica la eliminación de denominadores en la proporción fraccionaria $\frac{3x - 1}{5} = \frac{2x + 4}{3}$ y evalúa la solución.
- Paso 1: Multiplicar en cruz aplicando el m.c.m. $15$: $3(3x - 1) = 5(2x + 4)$.
- Paso 2: Aplicar la propiedad distributiva en ambos miembros: $9x - 3 = 10x + 20$.
- Paso 3: Trasponer términos semejantes: $-3 - 20 = 10x - 9x$.
- Paso 4: Obtener la solución final: $-23 = x \implies x = -23$.
- Paso 5: Comprobar sustituyendo $x = -23$: $\frac{3(-23) - 1}{5} = \frac{-70}{5} = -14$ y $\frac{2(-23) + 4}{3} = \frac{-42}{3} = -14$, confirmando $x = -23$.
La alternativa correcta es '$x = -23$'.
Procedimiento
- Paso 1: Determinar el m.c.m. de todos los denominadores de la ecuación.
- Paso 2: Para cada fracción, dividir el m.c.m. entre su denominador para calcular su factor complementario.
- Paso 3: Escribir cada numerador entre paréntesis multiplicado por su factor complementario.
- Paso 4: Expandir los productos mediante la propiedad distributiva respetando los signos algebraicos.
- Paso 5: Resolver la ecuación lineal entera resultante.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Multiplicar el factor complementario solo por el primer término del numerador binomio (escribir $3 \cdot (3x - 1)$ como $9x - 1$). Cómo corregirlo: El factor complementario DEBE MULTIPLICAR A TODOS LOS TÉRMINOS DEL NUMERADOR MEDIANTE PROPIEDAD DISTRIBUTIVA ($3(3x - 1) = 9x - 3$).
- Error 2: Omitir el cambio de signo de los términos del numerador cuando la fracción está precedida por un signo menos ($-\frac{A - B}{D}$). Cómo corregirlo: El signo negativo precediendo a la fracción CAMBIA LOS SIGNOS DE TODOS LOS TÉRMINOS DEL NUMERADOR AL ELIMINAR EL DENOMINADOR ($-(A - B) = -A + B$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- m.c.m. de $4$ y $3$ es $12$.
- $12 \cdot \frac{x + 2}{4} = 3(x + 2)$.
- $12 \cdot \frac{x}{3} = 4x \implies 3(x + 2) = 4x$.
- Multiplicar por $2$: $-(x - 5) = 6$.
- Distribuir el signo menos: $-x + 5 = 6$.
- Sí, garantiza la correcta aplicación de la propiedad distributiva.
- Sí, por definición de mínimo común múltiplo.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Eliminar denominadores en una ecuación fraccionaria de primer grado.
Dividir el m.c.m. entre cada denominador para obtener los factores complementarios ($C_i(x) = \frac{M(x)}{D_i(x)}$), multiplicar los numeradores usando paréntesis y expandir la ecuación entera resultante.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
En relación con «Eliminación de denominadores en una ecuación fraccionaria», evalúa la afirmación: Este es el momento de la verdad, y donde la mayoría comete el error frecuente. Tienes tu MCM (ej: $x(x-2)$) y vas a multiplicar a la ecuación: $\frac{3}{x} + \frac{1}{x-2} = 2$.
['Este es el momento de la verdad, y donde la mayoría comete el error frecuente. Tienes tu MCM (ej: $x(x-2)$) y vas a multiplicar a la ecuación: $\\frac{3}{x} + \\frac{1}{x-2} = 2$.']
Respuesta: Verdadero
-
En relación con «Eliminación de denominadores en una ecuación fraccionaria», evalúa la afirmación: Puede omitirse esta condición sin cambiar el resultado: «Escribe el MCM al lado de cada término (fracción o número entero)».
['Este es el momento de la verdad, y donde la mayoría comete el error frecuente. Tienes tu MCM (ej: $x(x-2)$) y vas a multiplicar a la ecuación: $\\frac{3}{x} + \\frac{1}{x-2} = 2$.']
Respuesta: Falso
-
¿Cuál de las siguientes formulaciones caracteriza correctamente «Eliminación de denominadores en una ecuación fraccionaria»?
['Este es el momento de la verdad, y donde la mayoría comete el error frecuente. Tienes tu MCM (ej: $x(x-2)$) y vas a multiplicar a la ecuación: $\\frac{3}{x} + \\frac{1}{x-2} = 2$.']
Respuesta: Este es el momento de la verdad, y donde la mayoría comete el error frecuente. Tienes tu MCM (ej: $x(x-2)$) y vas a multiplicar a la ecuación: $\frac{3}{x} + \frac{1}{x-2} = 2$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Al revisar «Eliminación de denominadores en una ecuación fraccionaria», ¿qué acción conserva el razonamiento matemático?
['Simplifica el denominador de la fracción tachándolo con su parte correspondiente en el MCM.', 'Este es el momento de la verdad, y donde la mayoría comete el error frecuente. Tienes tu MCM (ej: $x(x-2)$) y vas a multiplicar a la ecuación: $\\frac{3}{x} + \\frac{1}{x-2} = 2$.']
Respuesta: Simplifica el denominador de la fracción tachándolo con su parte correspondiente en el MCM.
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¿Qué condición forma parte del procedimiento correcto para «Eliminación de denominadores en una ecuación fraccionaria»?
['Escribe el MCM al lado de cada término (fracción o número entero).', 'Este es el momento de la verdad, y donde la mayoría comete el error frecuente. Tienes tu MCM (ej: $x(x-2)$) y vas a multiplicar a la ecuación: $\\frac{3}{x} + \\frac{1}{x-2} = 2$.']
Respuesta: Escribe el MCM al lado de cada término (fracción o número entero).
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¿Cuál de estas decisiones es coherente con la definición de «Eliminación de denominadores en una ecuación fraccionaria»?
['Multiplica lo que sobrevivió del MCM por el numerador.', 'Este es el momento de la verdad, y donde la mayoría comete el error frecuente. Tienes tu MCM (ej: $x(x-2)$) y vas a multiplicar a la ecuación: $\\frac{3}{x} + \\frac{1}{x-2} = 2$.']
Respuesta: Multiplica lo que sobrevivió del MCM por el numerador.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Durante «Eliminación de denominadores en una ecuación fraccionaria» se propone: Basta con ejecutar una parte del procedimiento; no es necesario revisar «Mantén los paréntesis al reescribir la nueva ecuación aplanada».
['Este es el momento de la verdad, y donde la mayoría comete el error frecuente. Tienes tu MCM (ej: $x(x-2)$) y vas a multiplicar a la ecuación: $\\frac{3}{x} + \\frac{1}{x-2} = 2$.', 'Este es el momento de la verdad, y donde la mayoría comete el error frecuente. Tienes tu MCM (ej: $x(x-2)$) y vas a multiplicar a la ecuación: $\\frac{3}{x} + \\frac{1}{x-2} = 2$.']
Respuesta: Falso
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Durante «Eliminación de denominadores en una ecuación fraccionaria» se propone: Escribe el MCM al lado de cada término (fracción o número entero).
['Escribe el MCM al lado de cada término (fracción o número entero).', 'Este es el momento de la verdad, y donde la mayoría comete el error frecuente. Tienes tu MCM (ej: $x(x-2)$) y vas a multiplicar a la ecuación: $\\frac{3}{x} + \\frac{1}{x-2} = 2$.']
Respuesta: Verdadero
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Durante «Eliminación de denominadores en una ecuación fraccionaria» se propone: Multiplica lo que sobrevivió del MCM por el numerador.
['Multiplica lo que sobrevivió del MCM por el numerador.', 'Este es el momento de la verdad, y donde la mayoría comete el error frecuente. Tienes tu MCM (ej: $x(x-2)$) y vas a multiplicar a la ecuación: $\\frac{3}{x} + \\frac{1}{x-2} = 2$.']
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Considera el siguiente caso: Justifica el procedimiento adecuado para el caso $\frac{3}{x}$ y $3(x-2)$. ¿Qué acción inicia correctamente el análisis?
["El MCM debe visitar a cada término de la ecuación (cada término, incluso los que no tienen fracción).\n- Al visitar $\\frac{3}{x}$, la 'x' se cancela y queda $3(x-2)$.\n- Al visitar $\\frac{1}{x-2}$, el $(x-2)$ se cancela y queda $1(x)$.\n- Al visitar el 2 (no lo olvides.), no se cancela nada, queda $2x(x-2)$.", 'Escribe el MCM al lado de cada término (fracción o número entero).']
Respuesta: Escribe el MCM al lado de cada término (fracción o número entero).