Uso de la propiedad multiplicativa de la igualdad (multiplicar o dividir ambos miembros por un número no nulo)
Entender y aplicar la regla de multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por la misma cantidad.
Introducción
Si podemos añadir pesas a la balanza, también podemos duplicar todo su peso o reducirlo a la mitad, siempre y cuando lo hagamos parejo. Esta es la segunda gran regla de las ecuaciones.
Explicación
Definición formal
Al multiplicar ambos lados, el número de la división en la izquierda se cancela, y aparece multiplicando en la derecha.
Desarrollo didáctico
Situación común: $3x = 12$.
Significa 'El triple de mi incógnita pesa 12'.
¿Cómo descubro el peso de una sola $x$? Dividiendo ambas partes entre 3.
$\frac{3x}{3} = \frac{12}{3}$
Los tres de la izquierda se simplifican (dan $1x$, que es $x$).
$x = 4$.
Esto es lo que conoces como 'si está multiplicando, pasa dividiendo'.
OJO (Advertencia Letal): Cuando divides o multiplicas, afecta a TODO EL MIEMBRO.
Si la ecuación fuera $3x + 1 = 12$, y decides dividir por 3, debes dividir todo: $\frac{3x + 1}{3} = \frac{12}{3}$. Por eso siempre se recomienda hacer sumas/restas PRIMERO, y dejar esta regla de multiplicar/dividir para el final, cuando la $x$ esté sola con su coeficiente.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Asegúrate de que el término que tiene la incógnita esté aislado (ya aplicaste sumas y restas).
- Paso 2: Identifica el coeficiente (el número que multiplica a la incógnita).
- Paso 3: Divide a ambos lados de la ecuación por ese mismo coeficiente.
- Paso 4: Simplifica las fracciones para obtener tu 'x' desnuda.
Ejemplos
1 Despeja aplicando la propiedad: $5y = 35$.
- El 5 está multiplicando a la 'y'.
- Dividimos ambos lados entre 5: $\frac{5y}{5} = \frac{35}{5}$.
- Simplificamos: $1y = 7$.
- Respuesta: $y = 7$.
2 Si tengo $\frac{x}{2} = 8$, ¿qué operación aplico?
- Multiplicar por 2 elimina la división por 2 del lado izquierdo.
3 Respecto de «Uso de la propiedad multiplicativa de la igualdad (multiplicar o dividir ambos miembros por un número no nulo)»: ¿Es correcta esta caracterización? «Si multiplicas o divides TODO el Primer Miembro y TODO el Segundo Miembro de una ecuación por la misma cantidad (distinta de cero), la igualdad se mantiene»
- La afirmación coincide con la definición formal: Si multiplicas o divides TODO el Primer Miembro y TODO el Segundo Miembro de una ecuación por la misma cantidad (distinta de cero), la igualdad se mantiene.
4 Respecto de «Uso de la propiedad multiplicativa de la igualdad (multiplicar o dividir ambos miembros por un número no nulo)»: ¿Es válida esta afirmación? «Dividir por 0 (matemáticamente imposible y explota el universo)»
- La afirmación es falsa. El criterio correcto es: Si multiplicas o divides TODO el Primer Miembro y TODO el Segundo Miembro de una ecuación por la misma cantidad (distinta de cero), la igualdad se mantiene.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Dividir por 0 (matemáticamente imposible y explota el universo)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"En un lado dividir por 3 y en el otro por -3 (arruina el signo final)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Moviste físicamente el número por arte de magia."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Sumaste ese número repetidas veces."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cambiaste el signo de la división."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Si multiplicas o divides TODO el Primer Miembro y TODO el Segundo Miembro de una ecuación por la misma cantidad (distinta de cero), la igualdad se mantiene.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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El atajo 'si está dividiendo, pasa multiplicando al otro lado' funciona gracias a la propiedad multiplicativa. ¿Qué hiciste realmente?
Al multiplicar ambos lados, el número de la división en la izquierda se cancela, y aparece multiplicando en la derecha.
Respuesta: B) Multiplicaste ambos miembros completos de la ecuación por ese mismo número.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Para despejar la incógnita en la ecuación $-4x = 24$, ¿por qué número EXACTO debes dividir a ambos lados?
Debes dividir exactamente por el coeficiente con su signo para que quede '1x' positivo. -4 / -4 = 1.
Respuesta: C) Por $-4$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Si en la ecuación $x + 2 = 10$ decido multiplicar todo por 2, la igualdad verdadera resultante sería $2x + 4 = 20$.
Sí. Al multiplicar TODOS los términos de AMBOS miembros por 2, la igualdad matemática se conserva intacta.
Respuesta: Verdadero