Resolución individual de cada inecuación del sistema
Resolver sistemas de inecuaciones lineales determinando el conjunto solución como la intersección de las soluciones individuales.
Introducción
Un sistema de inecuaciones consiste en dos o más desigualdades que deben cumplirse al mismo tiempo. Para encontrar los valores que satisfacen el sistema, resolvemos cada inecuación por separado y luego buscamos qué valores tienen en común.
Explicación
Definición formal
Un sistema de inecuaciones con una incógnita $x$ es un conjunto de inecuaciones $\\{I_1(x), I_2(x), \\dots, I_n(x)\\}$. El conjunto solución $S$ del sistema es la intersección de los conjuntos solución individuales de cada inecuación - $S = S_1 \\cap S_2 \\cap \\dots \\cap S_n$. Si la intersección es el conjunto vacío, el sistema no tiene solución.
Desarrollo didáctico
Resolver un sistema de inecuaciones es como buscar a una persona que debe cumplir varias condiciones a la vez. Por ejemplo, debe tener más de 18 años y menos de 25. Primero determinamos quiénes cumplen la primera condición, luego quiénes cumplen la segunda, y finalmente cruzamos la información para ver quiénes cumplen ambas. En matemáticas, calculamos el intervalo solución de cada inecuación de forma independiente. Una vez que tenemos los intervalos, los graficamos en la misma recta numérica. La zona donde todas las soluciones se superponen (se intersectan) es el resultado final del sistema.
Cómo hacerlo paso a paso
- Resolver la primera inecuación de forma independiente aplicando las propiedades de las desigualdades, obteniendo su conjunto solución.
- Resolver la segunda inecuación de manera similar para obtener su propio conjunto solución.
- Representar ambas soluciones en una misma recta numérica para visualizar fácilmente los valores compartidos.
- Determinar la intersección de los conjuntos, que corresponde a la solución final del sistema.
Ejemplos
1 Resuelve el sistema formado por las inecuaciones $2x - 4 < 0$ y $x + 1 \\geq 0$.
- Paso 1: Resolver la primera inecuación $2x - 4 < 0$.
- Paso 2: Sumar 4 a ambos lados para obtener $2x < 4$.
- Paso 3: Dividir por 2 para obtener $x < 2$. El conjunto solución es $(-\\infty, 2)$.
- Paso 4: Resolver la segunda inecuación $x + 1 \\geq 0$.
- Paso 5: Restar 1 a ambos lados para obtener $x \\geq -1$. El conjunto solución es $[-1, \\infty)$.
- Paso 6: Intersectar las soluciones - $(-\\infty, 2) \\cap [-1, \\infty) = [-1, 2)$.
2 Determina el conjunto solución del sistema $3x \\geq 6$ y $5 - x < 2$.
- Paso 1: Resolver la primera inecuación - $3x \\geq 6$.
- Paso 2: Dividir entre 3 para obtener $x \\geq 2$. El conjunto solución es $[2, \\infty)$.
- Paso 3: Resolver la segunda inecuación - $5 - x < 2$.
- Paso 4: Restar 5 a ambos lados obteniendo $-x < -3$.
- Paso 5: Multiplicar por $-1$, invirtiendo la desigualdad - $x > 3$. El conjunto es $(3, \\infty)$.
- Paso 6: Intersectar ambas soluciones - $[2, \\infty) \\cap (3, \\infty) = (3, \\infty)$.
3 Verificación de un valor en el sistema
- Para que $x = 3$ sea solución, debe cumplir ambas inecuaciones.
- Verificamos en la primera inecuación $x > 2$: el valor $3 > 2$ es verdadero.
- Verificamos en la segunda inecuación $2x \\leq 6$: calculamos $2(3) = 6 \\leq 6$, lo cual es verdadero.
- Como cumple ambas desigualdades simultáneamente, sí es solución.
4 ¿Tiene solución el sistema formado por $x > 5$ y $x < 2$?
- La primera inecuación indica que $x$ pertenece al intervalo $(5, \\infty)$.
- La segunda inecuación indica que $x$ pertenece al intervalo $(-\\infty, 2)$.
- Al graficar en la recta, observamos que los intervalos no se cruzan en ningún punto.
- La intersección es vacía, por lo tanto, el sistema no tiene solución.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Creer que la solución del sistema se obtiene sumando o restando las inecuaciones como si fuera un sistema de ecuaciones."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Considerar que la solución final es la unión de los conjuntos, en lugar de su intersección."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar invertir el signo de la desigualdad en una de las inecuaciones al dividir por un negativo, afectando toda la intersección final."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Concluir que si la primera inecuación incluye al extremo, la intersección siempre incluirá ese mismo extremo sin importar la segunda inecuación."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Asumir que si una inecuación da como solución todos los números reales, el sistema no tiene solución."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La solución de un sistema de inecuaciones se encuentra resolviendo cada desigualdad individualmente y luego intersectando los conjuntos solución resultantes.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.RESOLUCION_INDIVIDUAL (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?
- $2x < 10 - 0$ 2. $x < 5.0$
Respuesta: $x < 5.0$
-
Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.RESOLUCION_INDIVIDUAL (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?
- $2x < 10 - 1$ 2. $x < 4.5$
Respuesta: $x < 4.5$
-
Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.RESOLUCION_INDIVIDUAL (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?
- $2x < 10 - 2$ 2. $x < 4.0$
Respuesta: $x < 4.0$
-
Si al resolver de forma independiente las dos inecuaciones de un sistema se obtienen conjuntos solución disjuntos (que no se cruzan), ¿qué se puede afirmar sobre el sistema?
-
¿Qué condición es necesaria para que un número específico pertenezca a la solución de un sistema de tres inecuaciones?
-
En un sistema de dos inecuaciones lineales, ¿cómo se determina matemáticamente el conjunto solución final a partir de las soluciones individuales?
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.RESOLUCION_INDIVIDUAL (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?
- $2x < 10 - 3$ 2. $x < 3.5$
Respuesta: $x < 3.5$
-
Identifica cuál de las siguientes opciones representa el conjunto solución del sistema formado por $x > 0$ y $x < 4$.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.RESOLUCION_INDIVIDUAL, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.
Al restar 4 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
-
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.RESOLUCION_INDIVIDUAL, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.
Al restar 5 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
-
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.RESOLUCION_INDIVIDUAL, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.
Al restar 6 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
-
Si la solución de la primera inecuación es $(-\\infty, 5]$ y de la segunda es $(2, \\infty)$, entonces la intersección de ambas es el intervalo $(2, 5]$.
-
El sistema de inecuaciones $x \\geq 3$ y $x \\leq 3$ tiene como única solución el valor $x = 3$.
-
Para resolver el sistema formado por $x - 1 > 0$ y $2x < 10$, el primer paso es sumar 1 y dividir por 2 simultáneamente en ambas inecuaciones para luego unirlas.
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.RESOLUCION_INDIVIDUAL (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?
- $2x < 10 - 8$ 2. $x < 1.0$
Respuesta: $x < 1.0$
-
Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.RESOLUCION_INDIVIDUAL (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?
- $2x < 10 - 9$ 2. $x < 0.5$
Respuesta: $x < 0.5$
-
Considera el sistema de inecuaciones dado por: $3x - 2 \\leq x + 6$ y $2x + 1 > 5$. ¿Cuál es el conjunto solución del sistema?
-
Para que un ascensor funcione con normalidad, el peso $P$ total de las personas (en kg) debe cumplir el sistema: $P \\geq 150$ y $P + 50 < 450$. ¿Cuál es el intervalo de pesos permitidos?
-
Dado el sistema de inecuaciones $1 - x \\leq 3$ y $4x - 1 < 7$, ¿cuántos números enteros satisfacen ambas inecuaciones simultáneamente?
-
Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.RESOLUCION_INDIVIDUAL (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?
- $2x < 10 - 7$ 2. $x < 1.5$
Respuesta: $x < 1.5$