Resolución individual de cada inecuación del sistema

Resumen inicial

El primer paso para resolver un sistema de inecuaciones es despejar y hallar el conjunto solución individual de cada inecuación por separado.

Explicación en palabras simples

Para resolver un sistema de inecuaciones, no intentamos despejar todo junto.

Tomamos la primera inecuación y la despejamos completamente para hallar su intervalo solución $S_1$.
Tomamos la segunda inecuación y la despejamos de forma independiente para hallar su intervalo solución $S_2$.
Una vez obtenidos $S_1$ y $S_2$, pasamos a comparar dónde se traslapan ambos intervalos.

Explicación formal

Dado el sistema de inecuaciones con incógnita $x \in \mathbb{R}$:

$$\begin{cases} I_1(x) \ R_1 \ 0 \implies S_1 = \{x \in \mathbb{R} \mid I_1(x) \ R_1 \ 0\} \\ I_2(x) \ R_2 \ 0 \implies S_2 = \{x \in \mathbb{R} \mid I_2(x) \ R_2 \ 0\} \end{cases}$$

Desglose de la fórmula:
- Independencia algebraica parcial: Cada subconjunto $S_i$ se calcula omitiendo temporalmente los términos de las demás inecuaciones del sistema.

Definiciones clave

Soluciones individuales ($S_1, S_2$): Intervalos de números reales resultantes de resolver cada inecuación del sistema de forma independiente.

Propiedades y relaciones importantes

Paso previo obligatorio: No es posible determinar la intersección $S_1 \cap S_2$ sin antes calcular con precisión $S_1$ y $S_2$.

Ejemplo guiado

Ejemplo Resolución individual de cada inecuación del sistema

Resuelve individualmente las inecuaciones del sistema $\begin{cases} 2x - 4 > 2 \\ -3x + 15 \ge 3 \end{cases}$ y determina los conjuntos $S_1$ y $S_2$.

Paso 1: Resolver la primera inecuación: $2x - 4 > 2 \implies 2x > 6 \implies x > 3$. Por lo tanto, $S_1 = ]3, +\infty[$.
Paso 2: Resolver la segunda inecuación: $-3x + 15 \ge 3 \implies -3x \ge -12$.
Paso 3: Dividir entre $-3$ e invertir $\ge$ a $\le$: $x \le \frac{-12}{-3} \implies x \le 4$. Por lo tanto, $S_2 = ]-\infty, 4]$.
Paso 4: Presentar las soluciones individuales: $S_1 = ]3, +\infty[$ y $S_2 = ]-\infty, 4]$.

Procedimiento

Paso 1: Aislar la primera inecuación y despejar la variable $x$ obteniendo $S_1$.
Paso 2: Aislar la segunda inecuación y despejar la variable $x$ obteniendo $S_2$.
Paso 3: Expresar ambos conjuntos $S_1$ y $S_2$ en notación de intervalo.
Paso 4: Disponer ambos resultados para el cálculo de su intersección.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Intentar sumar o restar las dos inecuaciones del sistema como si fuera un sistema de ecuaciones lineales.
Cómo corregirlo: En inecuaciones NUNCA se suman las desigualdades; cada inecuación se resuelve DE FORMA INDIVIDUAL.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Despejar inecuaciones en un sistema requiere sustituir una variable por otra como en sistemas de ecuaciones lineales."

"Al resolver individualmente la inecuación $-2x < 6$ dentro del sistema, se mantiene el operador obteniendo $x < -3$."

"La resolución de la primera inecuación altera automáticamente los coeficientes de la segunda inecuación del sistema."

"Cada inecuación del sistema conserva sus propias reglas de despeje, incluyendo el cambio de sentido al dividir por coeficientes negativos."

"El primer paso para resolver un sistema de inecuaciones consiste en despejar analíticamente cada inecuación por separado para hallar $S_1, S_2, \dots$"

"Obtener $S_1 = ]3, +\infty[$ al resolver la primera inecuación concluye inmediatamente el trabajo sin necesidad de resolver la segunda."

"Resolver un sistema de inecuaciones exige sumar algebraicamente los miembros de las dos inecuaciones para formar una sola desigualdad."

Al terminar debes poder

Resumen Resolución individual de cada inecuación del sistema

Resolver cada inecuación del sistema de manera independiente.

Despejando analíticamente la variable en cada expresión para obtener los conjuntos parciales $S_1, S_2, \dots$ antes de cruzarlos.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.RESOLUCION_INDIVIDUAL (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?
1. $2x < 10 - 0$ 2. $x < 5.0$
Respuesta: $x < 5.0$
Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.RESOLUCION_INDIVIDUAL (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?
1. $2x < 10 - 1$ 2. $x < 4.5$
Respuesta: $x < 4.5$
Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.RESOLUCION_INDIVIDUAL (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?
1. $2x < 10 - 2$ 2. $x < 4.0$
Respuesta: $x < 4.0$
Si al resolver de forma independiente las dos inecuaciones de un sistema se obtienen conjuntos solución disjuntos (que no se cruzan), ¿qué se puede afirmar sobre el sistema?
¿Qué condición es necesaria para que un número específico pertenezca a la solución de un sistema de tres inecuaciones?
En un sistema de dos inecuaciones lineales, ¿cómo se determina matemáticamente el conjunto solución final a partir de las soluciones individuales?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.RESOLUCION_INDIVIDUAL (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?
1. $2x < 10 - 3$ 2. $x < 3.5$
Respuesta: $x < 3.5$
Identifica cuál de las siguientes opciones representa el conjunto solución del sistema formado por $x > 0$ y $x < 4$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.RESOLUCION_INDIVIDUAL, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.RESOLUCION_INDIVIDUAL, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.RESOLUCION_INDIVIDUAL, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.
Si la solución de la primera inecuación es $(-\\infty, 5]$ y de la segunda es $(2, \\infty)$, entonces la intersección de ambas es el intervalo $(2, 5]$.
El sistema de inecuaciones $x \\geq 3$ y $x \\leq 3$ tiene como única solución el valor $x = 3$.
Para resolver el sistema formado por $x - 1 > 0$ y $2x < 10$, el primer paso es sumar 1 y dividir por 2 simultáneamente en ambas inecuaciones para luego unirlas.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.RESOLUCION_INDIVIDUAL (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?
1. $2x < 10 - 8$ 2. $x < 1.0$
Respuesta: $x < 1.0$
Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.RESOLUCION_INDIVIDUAL (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?
1. $2x < 10 - 9$ 2. $x < 0.5$
Respuesta: $x < 0.5$
Considera el sistema de inecuaciones dado por: $3x - 2 \\leq x + 6$ y $2x + 1 > 5$. ¿Cuál es el conjunto solución del sistema?
Para que un ascensor funcione con normalidad, el peso $P$ total de las personas (en kg) debe cumplir el sistema: $P \\geq 150$ y $P + 50 < 450$. ¿Cuál es el intervalo de pesos permitidos?
Dado el sistema de inecuaciones $1 - x \\leq 3$ y $4x - 1 < 7$, ¿cuántos números enteros satisfacen ambas inecuaciones simultáneamente?
Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.RESOLUCION_INDIVIDUAL (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?
1. $2x < 10 - 7$ 2. $x < 1.5$
Respuesta: $x < 1.5$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación