Representación de la solución de un sistema en la recta numérica
Graficar e intersectar conjuntos solución de inecuaciones lineales en una misma recta numérica para determinar la solución del sistema.
Introducción
Un sistema de inecuaciones lineales se compone de varias inecuaciones que deben cumplirse simultáneamente. Su resolución requiere encontrar los valores comunes que satisfacen todas las condiciones, siendo la recta numérica la herramienta gráfica ideal para visualizar esta intersección.
Explicación
Definición formal
Dado un sistema formado por inecuaciones $\\{ I_1, I_2, \\dots, I_n \\}$ con conjuntos solución respectivos $S_1, S_2, \\dots, S_n$, el conjunto solución del sistema $S$ es la intersección de estos conjuntos - $S = S_1 \\cap S_2 \\cap \\dots \\cap S_n$. Gráficamente, esto equivale al segmento de la recta real que está sombreado simultáneamente por todos los intervalos involucrados.
Desarrollo didáctico
Para visualizar un sistema, dibujamos una única recta real. Asignamos a cada inecuación una representación gráfica sobre ella, utilizando un círculo vacío para desigualdades estrictas ($<$ o $>$) y un círculo relleno para aquellas que incluyen la igualdad ($\\leq$ o $\\geq$). A partir de cada punto crítico, extendemos una línea o zona sombreada hacia la dirección que indique la desigualdad. La solución final del sistema corresponde exclusivamente a aquella parte de la recta donde todas las líneas coinciden o se superponen. Si no existe ninguna zona de superposición total, el sistema no tiene solución (conjunto vacío).
Cómo hacerlo paso a paso
- Resolver cada inecuación del sistema por separado hasta obtener su intervalo solución.
- Trazar una recta numérica marcando los valores críticos obtenidos.
- Graficar sobre la recta cada intervalo con distintos trazos o alturas, prestando atención al uso de puntos abiertos (sin incluir) y cerrados (incluidos).
- Identificar visualmente la región de la recta que está cubierta por las gráficas de todas las inecuaciones.
- Escribir el intervalo correspondiente a esa región común como el conjunto solución del sistema.
Ejemplos
1 Resuelve gráficamente el sistema formado por $x > 2$ y $x \\leq 5$.
- En la recta numérica, marcamos un círculo abierto en $2$ y sombreamos hacia la derecha.
- Marcamos un círculo cerrado en $5$ y sombreamos hacia la izquierda.
- La zona donde ambos sombreados coinciden es desde el $2$ (sin incluir) hasta el $5$ (incluido).
- El conjunto solución es $(2, 5]$.
2 Representa y resuelve el sistema dado por $x < -1$ y $x \\geq 3$.
- Dibujamos la recta numérica. Desde $-1$, con círculo abierto, sombreamos hacia la izquierda.
- Desde $3$, con círculo cerrado, sombreamos hacia la derecha.
- Observamos que no existe ninguna región superpuesta entre ambos gráficos.
- El sistema no tiene solución (conjunto vacío $\\emptyset$).
3 ¿Corresponde el intervalo a la intersección?
- Analizamos el sistema $2x \\geq 4$ y $x < 6$.
- Resolvemos la primera - $x \\geq 2$. La segunda ya está despejada - $x < 6$.
- La representación visual de $x \\geq 2$ y $x < 6$ se solapa entre el $2$ y el $6$.
- La intersección es correcta - $[2, 6)$.
4 ¿Es correcto el gráfico resultante?
- Sistema - $x > 0$ y $x > 4$. Se afirma que la solución es el intervalo $(0, 4)$.
- Trazamos $x > 0$ (derecha desde $0$) y $x > 4$ (derecha desde $4$).
- La región donde ambos coinciden inicia en $4$ y continúa hasta el infinito.
- El conjunto solución real es $(4, \\infty)$, no $(0, 4)$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Unir (sumar) los intervalos en lugar de buscar la zona de intersección."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir los puntos abiertos y cerrados al leer la intersección gráfica en los extremos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Asumir erróneamente que un sistema siempre tiene solución."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar resolver las inecuaciones previamente y tratar de graficar directamente expresiones sin despejar."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Identificar como solución una zona donde se cumple solo una inecuación de un sistema de tres o más."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La solución gráfica de un sistema de inecuaciones de una variable se obtiene trazando los intervalos solución de cada inecuación sobre una misma recta y determinando la región donde se solapan (intersección).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Qué ocurre si, al graficar dos inecuaciones en la recta numérica, sus respectivos trazos apuntan en direcciones opuestas y no se cruzan en ningún punto?
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Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.REPRESENTACION_RECTA (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?
- $2x < 10 - 1$ 2. $x < 4.5$
Respuesta: $x < 4.5$
-
Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.REPRESENTACION_RECTA (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?
- $2x < 10 - 2$ 2. $x < 4.0$
Respuesta: $x < 4.0$
-
Para graficar la intersección en un punto crítico donde una inecuación usa $<$ y otra usa $\leq$, ¿qué símbolo representa correctamente ese extremo en el intervalo solución si la zona sombreada cubre desde ese punto hacia el mismo lado?
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En la representación gráfica de un sistema de inecuaciones lineales, la solución del sistema se determina buscando:
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Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.REPRESENTACION_RECTA (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?
- $2x < 10 - 0$ 2. $x < 5.0$
Respuesta: $x < 5.0$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.REPRESENTACION_RECTA (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?
- $2x < 10 - 3$ 2. $x < 3.5$
Respuesta: $x < 3.5$
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Se grafican en la recta numérica las regiones $x > 1$ y $x \leq 4$. ¿Cuál es el conjunto solución que se observa en la intersección?
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.REPRESENTACION_RECTA, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.
Al restar 4 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.REPRESENTACION_RECTA, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.
Al restar 5 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
-
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.REPRESENTACION_RECTA, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.
Al restar 6 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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El sistema formado por $x \geq -2$ y $x \geq 3$ tiene como solución gráfica el intervalo $[-2, 3]$.
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Al representar el sistema de inecuaciones $-x < 5$ y $2x \leq 12$, la intersección en la recta determina la solución $(-5, 6]$.
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Si graficamos $x < 0$, $x > -4$ y $x \leq 2$, la solución común corresponde al intervalo $(-4, 0)$.
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.REPRESENTACION_RECTA (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?
- $2x < 10 - 7$ 2. $x < 1.5$
Respuesta: $x < 1.5$
-
Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.REPRESENTACION_RECTA (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?
- $2x < 10 - 8$ 2. $x < 1.0$
Respuesta: $x < 1.0$
-
Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.REPRESENTACION_RECTA (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?
- $2x < 10 - 9$ 2. $x < 0.5$
Respuesta: $x < 0.5$
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Un sistema de inecuaciones en la variable $x$ se grafica sobre una recta obteniendo que la primera inecuación cubre $[a, \infty)$ y la segunda cubre $(-\infty, b]$. Si se sabe que el sistema carece de solución real, ¿qué relación existe necesariamente entre $a$ y $b$?
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Considera el sistema de inecuaciones:\n1) $3(x - 1) < 2x + 4$\n2) $\frac{x+2}{2} \geq x - 1$\n¿Cuál de las siguientes representaciones en notación de intervalo corresponde a la gráfica de su conjunto solución?
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Se requiere que un rectángulo tenga un perímetro inferior a $30$ cm y que su longitud sea al menos de $8$ cm. Si el ancho se denota por $y$, ¿cuál es el gráfico en la recta numérica que define los posibles valores de $y$ (considerando que el ancho debe ser positivo)?