Reconocimiento de sistema de inecuaciones sin solución
Identificar y resolver sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita que no tienen solución, interpretando la intersección vacía de sus conjuntos solución.
Introducción
Al resolver un sistema de inecuaciones, buscamos los valores que satisfacen todas las desigualdades simultáneamente. Sin embargo, puede darse el caso de que las condiciones sean incompatibles, es decir, que ningún número real cumpla todas las inecuaciones al mismo tiempo. En estos casos, decimos que el sistema no tiene solución.
Explicación
Definición formal
Sea un sistema de dos inecuaciones lineales con una incógnita $x$:
$$\begin{cases} a_1 x + b_1 > 0 \\ a_2 x + b_2 < 0 \end{cases}$$
Si el conjunto solución de la primera inecuación es $S_1$ y el de la segunda es $S_2$, el conjunto solución del sistema es $S = S_1 \cap S_2$. El sistema no tiene solución si y solo si $S_1 \cap S_2 = \emptyset$.
Desarrollo didáctico
Para comprender visualmente por qué un sistema no tiene solución, resulta muy útil representar los intervalos en la recta numérica. Supongamos que, tras resolver cada inecuación por separado, obtenemos que $x > 5$ y al mismo tiempo $x < 2$.
Al dibujar la recta numérica y marcar los valores mayores a $5$ (hacia la derecha) y los valores menores a $2$ (hacia la izquierda), observamos que las regiones sombreadas no se superponen en ningún punto. No existe ningún número real que sea simultáneamente estrictamente mayor que $5$ y estrictamente menor que $2$. Como no hay elementos en común, la intersección de los intervalos es el conjunto vacío.
Cómo hacerlo paso a paso
- Resuelve cada inecuación del sistema de forma independiente para hallar sus respectivos conjuntos solución.
- Expresa el conjunto solución de cada inecuación como un intervalo o desigualdad.
- Representa gráficamente cada intervalo obtenido sobre una misma recta numérica.
- Identifica la región donde se intersecan o superponen todos los intervalos trazados.
- Si los intervalos no se superponen en ningún punto, concluye que la intersección es vacía y el sistema carece de solución.
Ejemplos
1 Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: $\begin{cases} 2x - 4 > 6 \\ -3x + 9 > 0 \end{cases}$
- Resolvemos la primera inecuación: $2x - 4 > 6 \implies 2x > 10 \implies x > 5$. El intervalo es $(5, \infty)$.
- Resolvemos la segunda inecuación: $-3x + 9 > 0 \implies -3x > -9 \implies x < 3$. El intervalo es $(-\infty, 3)$.
- Intersecamos los intervalos: Buscamos valores de $x$ que pertenezcan simultáneamente a $(5, \infty)$ y a $(-\infty, 3)$.
- Como $x > 5$ exige que los valores sean mayores a $5$, y $x < 3$ exige que sean menores a $3$, no hay traslape.
- Conclusión: La intersección es vacía, el sistema no tiene solución ($S = \emptyset$).
2 Una fábrica requiere que la temperatura $T$ (en grados Celsius) de un proceso cumpla las siguientes condiciones por motivos de seguridad y eficiencia: $\begin{cases} T - 150 \ge 20 \\ 2T \le 300 \end{cases}$ ¿Existe alguna temperatura que cumpla ambos requisitos?
- De la primera condición, tenemos: $T - 150 \ge 20 \implies T \ge 170$. Es decir, la temperatura debe ser al menos de $170^\circ C$.
- De la segunda condición, tenemos: $2T \le 300 \implies T \le 150$. Esto significa que la temperatura no puede superar los $150^\circ C$.
- Buscamos la intersección de ambos conjuntos: $[170, \infty) \cap (-\infty, 150]$.
- No existe ningún número real que sea mayor o igual a $170$ y, al mismo tiempo, menor o igual a $150$.
- Por lo tanto, el sistema no tiene solución y no existe una temperatura que satisfaga ambos requisitos.
3 ¿Es posible que un sistema con inecuaciones que apuntan en el mismo sentido carezca de solución?
- Consideremos un sistema con dos inecuaciones de la forma $x > a$ y $x > b$.
- El conjunto solución será la intersección $(a, \infty) \cap (b, \infty)$.
- Esta intersección siempre resultará en el intervalo $(\max(a, b), \infty)$, el cual nunca es vacío.
- De forma análoga ocurre para inecuaciones del tipo $x < a$ y $x < b$.
- Por lo tanto, si las desigualdades apuntan al mismo infinito (sin restricciones adicionales contrarias), el sistema siempre tendrá solución.
4 ¿El sistema formado por las inecuaciones $x \ge 4$ y $x \le 4$ carece de solución?
- El conjunto solución de la primera inecuación es $[4, \infty)$.
- El conjunto solución de la segunda inecuación es $(-\infty, 4]$.
- Al intersecar ambos intervalos, obtenemos $[4, \infty) \cap (-\infty, 4]$.
- El único elemento común en ambos conjuntos es el número $4$.
- Por lo tanto, el sistema sí tiene solución, la cual es el conjunto unitario $S = \{4\}$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Creer que si una de las inecuaciones tiene como solución todos los reales, el sistema carece de solución."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Asumir que un sistema carece de solución si los límites de los intervalos son el mismo número y uno es abierto y el otro cerrado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Afirmar que un sistema no tiene solución si ambas desigualdades involucran signos negativos en la variable principal sin resolverlas primero."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Pensar que la solución de un sistema incompatible es el número cero, confundiendo el conjunto vacío con el valor numérico cero."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Concluir equivocadamente que un sistema sin solución significa que el planteamiento algebraico es incorrecto o inválido."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Un sistema de inecuaciones no tiene solución cuando la intersección de los conjuntos solución de cada inecuación individual es vacía ($S_1 \cap S_2 = \emptyset$).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.SISTEMA_SIN_SOLUCION (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?
- $2x < 10 - 0$ 2. $x < 5.0$
Respuesta: $x < 5.0$
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Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.SISTEMA_SIN_SOLUCION (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?
- $2x < 10 - 1$ 2. $x < 4.5$
Respuesta: $x < 4.5$
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Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.SISTEMA_SIN_SOLUCION (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?
- $2x < 10 - 2$ 2. $x < 4.0$
Respuesta: $x < 4.0$
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Sean $S_1$ y $S_2$ los conjuntos solución de dos inecuaciones que conforman un sistema. ¿En qué caso el sistema tendrá como solución el conjunto vacío?
El sistema busca los valores que satisfacen ambas inecuaciones simultáneamente, lo que equivale a la intersección de sus soluciones. Si esta es vacía ($\emptyset$), el sistema no tiene solución.
Respuesta: Cuando $S_1 \cap S_2 = \emptyset$.
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Un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita no tiene solución cuando:
El conjunto solución de un sistema de inecuaciones es la intersección de las soluciones de cada una de ellas. Si no hay elementos comunes, la intersección es vacía y el sistema no tiene solución.
Respuesta: La intersección de los conjuntos solución de cada inecuación es el conjunto vacío.
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Si al representar gráficamente las soluciones de un sistema de dos inecuaciones lineales observamos que las regiones sombreadas no se superponen en ninguna sección de la recta numérica, ¿qué podemos afirmar?
Que las regiones no se superpongan significa que no comparten ningún número. Al no haber elementos en común, la intersección es nula, y el sistema carece de solución.
Respuesta: El sistema no tiene solución.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.SISTEMA_SIN_SOLUCION (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?
- $2x < 10 - 3$ 2. $x < 3.5$
Respuesta: $x < 3.5$
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¿Cuál de los siguientes sistemas de inecuaciones lineales no tiene solución?
En la primera opción, se exige que un número sea mayor que $5$ y simultáneamente menor que $3$, lo cual es imposible. La intersección de $(5, \infty)$ y $(-\infty, 3)$ es vacía.
Respuesta: $\begin{cases} x > 5 \\ x < 3 \end{cases}$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.SISTEMA_SIN_SOLUCION, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.
Al restar 4 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.SISTEMA_SIN_SOLUCION, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.
Al restar 5 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.SISTEMA_SIN_SOLUCION, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.
Al restar 6 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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El sistema de inecuaciones $\begin{cases} 2x + 1 > 7 \\ x - 4 < 0 \end{cases}$ carece de solución.
La primera inecuación se reduce a $2x > 6 \implies x > 3$. La segunda a $x < 4$. La intersección de $x > 3$ y $x < 4$ es el intervalo $(3, 4)$, por lo que el sistema sí tiene solución.
Respuesta: Falso
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El sistema de inecuaciones $\begin{cases} -x + 3 < 1 \\ 2x \le 4 \end{cases}$ no tiene solución real.
La primera inecuación es $-x < -2 \implies x > 2$. La segunda inecuación es $x \le 2$. La intersección de $(2, \infty)$ y $(-\infty, 2]$ es el conjunto vacío (el $2$ no está incluido en el primer intervalo). Por lo tanto, no tiene solución.
Respuesta: Verdadero
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Al resolver $\begin{cases} 3(x - 1) \ge 6 \\ x + 2 \le 5 \end{cases}$, se obtiene que la intersección de sus intervalos solución es vacía.
Para la primera: $3x - 3 \ge 6 \implies 3x \ge 9 \implies x \ge 3$. Para la segunda: $x \le 3$. La intersección de $x \ge 3$ y $x \le 3$ es exactamente el número $3$, por lo que la intersección no es vacía.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.SISTEMA_SIN_SOLUCION (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?
- $2x < 10 - 7$ 2. $x < 1.5$
Respuesta: $x < 1.5$
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Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.SISTEMA_SIN_SOLUCION (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?
- $2x < 10 - 8$ 2. $x < 1.0$
Respuesta: $x < 1.0$
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Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.SISTEMA_SIN_SOLUCION (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?
- $2x < 10 - 9$ 2. $x < 0.5$
Respuesta: $x < 0.5$
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Considera el sistema de inecuaciones en $x$:
$\begin{cases} 4x - p \ge 0 \\ 2x - 8 < 0 \end{cases}$
Si el sistema no tiene solución, ¿cuál es la condición necesaria que debe cumplir el parámetro real $p$?
De la segunda inecuación, $2x < 8 \implies x < 4$. De la primera inecuación, $4x \ge p \implies x \ge \frac{p}{4}$. El sistema exige que $x$ esté en $[\frac{p}{4}, \infty) \cap (-\infty, 4)$. Para que no tenga solución, la intersección debe ser vacía, lo cual sucede si el límite inferior del primer intervalo es mayor o igual al límite superior del segundo: $\frac{p}{4} \ge 4$. Resolviendo, $p \ge 16$.
Respuesta: $p \ge 16$
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Se tiene el siguiente sistema de inecuaciones con la variable real $x$, donde $k$ es una constante real:
$\begin{cases} x - 2 > 4 \\ x + k < 0 \end{cases}$
¿Para qué conjunto de valores de $k$ el sistema NO tiene solución?
La primera inecuación es $x > 6$. La segunda es $x < -k$. Para que el sistema no tenga solución, la intersección de $(6, \infty)$ y $(-\infty, -k)$ debe ser vacía. Esto ocurre si el extremo superior del segundo intervalo es menor o igual al extremo inferior del primer intervalo, es decir, $-k \le 6$. Multiplicando por $-1$ y cambiando el sentido, obtenemos $k \ge -6$.
Respuesta: $k \ge -6$
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Un agricultor planea cercar un terreno rectangular. El perímetro debe ser estrictamente menor que $60$ metros, y al mismo tiempo, el lado mayor (cuya longitud excede al lado menor en $5$ metros) debe ser de al menos $25$ metros. ¿Es posible construir este terreno?
Sea $x$ el lado menor. El lado mayor es $x + 5$. El perímetro es $2(x + x + 5) = 4x + 10$. Las condiciones son:
1) Perímetro $< 60 \implies 4x + 10 < 60 \implies 4x < 50 \implies x < 12.5$.
2) Lado mayor $\ge 25 \implies x + 5 \ge 25 \implies x \ge 20$.
El sistema es $\begin{cases} x < 12.5 \\ x \ge 20 \end{cases}$. Este sistema no tiene solución, por lo que es imposible construir el terreno.Respuesta: No, porque las inecuaciones generan un sistema sin solución.