Reconocimiento de sistema de inecuaciones sin solución

Resumen inicial

Un sistema de inecuaciones no tiene solución ($S = \emptyset$) si los intervalos individuales no tienen ningún punto en común (su intersección es vacía).

Explicación en palabras simples

Si al resolver las inecuaciones obtenemos por ejemplo $x < 2$ (números menores a 2) y $x > 5$ (números mayores a 5):
No existe ningún número real en todo el universo que sea menor que 2 y mayor que 5 al mismo tiempo.
En la recta numérica, los dos rayados van en direcciones opuestas y jamás se cruzan.
Por lo tanto, la intersección es vacía y el sistema NO TIENE SOLUCIÓN ($S = \emptyset$).

Explicación formal

Dado un sistema de inecuaciones con soluciones individuales $S_1$ y $S_2$, la condición de inconsistencia del sistema se define como:

$$S_1 \cap S_2 = \emptyset$$

Desglose de la fórmula:
- $S = \emptyset$: Conjunto vacío. Ausencia total de traslape espacial sobre la recta real.

Definiciones clave

Sistema de inecuaciones inconsistente / incompatible: Sistema cuyo conjunto solución es el conjunto vacío ($S = \emptyset$).
Intersección vacía ($S_1 \cap S_2 = \emptyset$): Situación matemática donde los intervalos no comparten ningún elemento común.

Propiedades y relaciones importantes

Disyunción de conjuntos: $S_1$ y $S_2$ son conjuntos disjuntos.

Ejemplo guiado

Ejemplo Reconocimiento de sistema de inecuaciones sin solución

Resuelve el sistema $\begin{cases} x < 1 \\ x \ge 4 \end{cases}$, grafica los intervalos y determina su conjunto solución global $S$.

Paso 1: Identificar $S_1 = ]-\infty, 1[$ (números menores que 1).Paso 2: Identificar $S_2 = [4, +\infty[$ (números mayores o iguales a 4).Paso 3: Graficar en la recta real: el primer rayado va a la izquierda de $1$ y el segundo a la derecha de $4$.Paso 4: Notar que no existe ningún punto de cruce entre ambos rayados ($S_1 \cap S_2 = \emptyset$).Paso 5: Declarar que el sistema NO TIENE SOLUCIÓN ($S = \emptyset$).

Procedimiento

Paso 1: Resolver individualmente las inecuaciones obteniendo $S_1$ y $S_2$.
Paso 2: Dibujar los rayados de $S_1$ y $S_2$ en la recta numérica.
Paso 3: Verificar si existe al menos un punto donde ambos rayados se crucen.
Paso 4: Si no hay traslape, concluir $S = \emptyset$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Inventar un intervalo arbitrario como $]1, 4]$ cuando los rayados van hacia afuera sin cruzarse.
Cómo corregirlo: Si no hay cruzamiento de líneas, NO hay intervalo solución; la respuesta correcta es el conjunto vacío $\emptyset$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"El sistema $x \le 1$ y $x \ge 4$ posee soluciones reales dentro de los números negativos."

"Un sistema de inecuaciones carece de solución ($S = \emptyset$) cuando las regiones solución de sus inecuaciones individuales no tienen ningún punto en común."

"La ausencia de solapamiento gráfico entre los tramos sombreados de las inecuaciones confirma que el conjunto solución es el conjunto vacío."

"Reconocer que un sistema no tiene solución ($S = \emptyset$) implica que el despeje algebraico individual fue erróneo."

"Un sistema formado por las inecuaciones $x < 2$ y $x > 5$ tiene como solución el intervalo $]2, 5[$."

"Si la intersección gráfica de dos inecuaciones no muestra solapamiento de líneas, la solución es el número cero ($x = 0$)."

"Un sistema de inecuaciones sin solución equivale a una inecuación con solución real total $S = \mathbb{R}$."

Al terminar debes poder

Resumen Reconocimiento de sistema de inecuaciones sin solución

Identificar sistemas de inecuaciones incompatibles sin solución ($S = \emptyset$).

Constatando que los intervalos solución individuales no tienen ningún punto en común en la recta numérica ($S_1 \cap S_2 = \emptyset$).

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.SISTEMA_SIN_SOLUCION (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?
1. $2x < 10 - 0$ 2. $x < 5.0$
Respuesta: $x < 5.0$
Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.SISTEMA_SIN_SOLUCION (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?
1. $2x < 10 - 1$ 2. $x < 4.5$
Respuesta: $x < 4.5$
Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.SISTEMA_SIN_SOLUCION (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?
1. $2x < 10 - 2$ 2. $x < 4.0$
Respuesta: $x < 4.0$
Sean $S_1$ y $S_2$ los conjuntos solución de dos inecuaciones que conforman un sistema. ¿En qué caso el sistema tendrá como solución el conjunto vacío?
El sistema busca los valores que satisfacen ambas inecuaciones simultáneamente, lo que equivale a la intersección de sus soluciones. Si esta es vacía ($\emptyset$), el sistema no tiene solución.

Respuesta: Cuando $S_1 \cap S_2 = \emptyset$.
Un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita no tiene solución cuando:
El conjunto solución de un sistema de inecuaciones es la intersección de las soluciones de cada una de ellas. Si no hay elementos comunes, la intersección es vacía y el sistema no tiene solución.

Respuesta: La intersección de los conjuntos solución de cada inecuación es el conjunto vacío.
Si al representar gráficamente las soluciones de un sistema de dos inecuaciones lineales observamos que las regiones sombreadas no se superponen en ninguna sección de la recta numérica, ¿qué podemos afirmar?
Que las regiones no se superpongan significa que no comparten ningún número. Al no haber elementos en común, la intersección es nula, y el sistema carece de solución.

Respuesta: El sistema no tiene solución.

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.SISTEMA_SIN_SOLUCION (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?
1. $2x < 10 - 3$ 2. $x < 3.5$
Respuesta: $x < 3.5$
¿Cuál de los siguientes sistemas de inecuaciones lineales no tiene solución?
En la primera opción, se exige que un número sea mayor que $5$ y simultáneamente menor que $3$, lo cual es imposible. La intersección de $(5, \infty)$ y $(-\infty, 3)$ es vacía.

Respuesta: $\begin{cases} x > 5 \\ x < 3 \end{cases}$

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.SISTEMA_SIN_SOLUCION, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.SISTEMA_SIN_SOLUCION, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.SISTEMA_SIN_SOLUCION, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.
El sistema de inecuaciones $\begin{cases} 2x + 1 > 7 \\ x - 4 < 0 \end{cases}$ carece de solución.
La primera inecuación se reduce a $2x > 6 \implies x > 3$. La segunda a $x < 4$. La intersección de $x > 3$ y $x < 4$ es el intervalo $(3, 4)$, por lo que el sistema sí tiene solución.

Respuesta: Falso
El sistema de inecuaciones $\begin{cases} -x + 3 < 1 \\ 2x \le 4 \end{cases}$ no tiene solución real.
La primera inecuación es $-x < -2 \implies x > 2$. La segunda inecuación es $x \le 2$. La intersección de $(2, \infty)$ y $(-\infty, 2]$ es el conjunto vacío (el $2$ no está incluido en el primer intervalo). Por lo tanto, no tiene solución.

Respuesta: Verdadero
Al resolver $\begin{cases} 3(x - 1) \ge 6 \\ x + 2 \le 5 \end{cases}$, se obtiene que la intersección de sus intervalos solución es vacía.
Para la primera: $3x - 3 \ge 6 \implies 3x \ge 9 \implies x \ge 3$. Para la segunda: $x \le 3$. La intersección de $x \ge 3$ y $x \le 3$ es exactamente el número $3$, por lo que la intersección no es vacía.

Respuesta: Falso

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.SISTEMA_SIN_SOLUCION (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?
1. $2x < 10 - 7$ 2. $x < 1.5$
Respuesta: $x < 1.5$
Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.SISTEMA_SIN_SOLUCION (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?
1. $2x < 10 - 8$ 2. $x < 1.0$
Respuesta: $x < 1.0$
Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.SISTEMA_SIN_SOLUCION (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?
1. $2x < 10 - 9$ 2. $x < 0.5$
Respuesta: $x < 0.5$
Considera el sistema de inecuaciones en $x$:

$\begin{cases} 4x - p \ge 0 \\ 2x - 8 < 0 \end{cases}$

Si el sistema no tiene solución, ¿cuál es la condición necesaria que debe cumplir el parámetro real $p$?
De la segunda inecuación, $2x < 8 \implies x < 4$. De la primera inecuación, $4x \ge p \implies x \ge \frac{p}{4}$. El sistema exige que $x$ esté en $[\frac{p}{4}, \infty) \cap (-\infty, 4)$. Para que no tenga solución, la intersección debe ser vacía, lo cual sucede si el límite inferior del primer intervalo es mayor o igual al límite superior del segundo: $\frac{p}{4} \ge 4$. Resolviendo, $p \ge 16$.

Respuesta: $p \ge 16$
Se tiene el siguiente sistema de inecuaciones con la variable real $x$, donde $k$ es una constante real:

$\begin{cases} x - 2 > 4 \\ x + k < 0 \end{cases}$

¿Para qué conjunto de valores de $k$ el sistema NO tiene solución?
La primera inecuación es $x > 6$. La segunda es $x < -k$. Para que el sistema no tenga solución, la intersección de $(6, \infty)$ y $(-\infty, -k)$ debe ser vacía. Esto ocurre si el extremo superior del segundo intervalo es menor o igual al extremo inferior del primer intervalo, es decir, $-k \le 6$. Multiplicando por $-1$ y cambiando el sentido, obtenemos $k \ge -6$.

Respuesta: $k \ge -6$
Un agricultor planea cercar un terreno rectangular. El perímetro debe ser estrictamente menor que $60$ metros, y al mismo tiempo, el lado mayor (cuya longitud excede al lado menor en $5$ metros) debe ser de al menos $25$ metros. ¿Es posible construir este terreno?
Sea $x$ el lado menor. El lado mayor es $x + 5$. El perímetro es $2(x + x + 5) = 4x + 10$. Las condiciones son:
1) Perímetro $< 60 \implies 4x + 10 < 60 \implies 4x < 50 \implies x < 12.5$.
2) Lado mayor $\ge 25 \implies x + 5 \ge 25 \implies x \ge 20$.
El sistema es $\begin{cases} x < 12.5 \\ x \ge 20 \end{cases}$. Este sistema no tiene solución, por lo que es imposible construir el terreno.

Respuesta: No, porque las inecuaciones generan un sistema sin solución.

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación