Expresión de la solución del sistema como intervalo

M1 — PAES obligatoria Media

Resumen inicial

Expresar la solución de un sistema como intervalo consiste en escribir la intersección $S_1 \cap S_2$ en la notación formal de corchetes.

Explicación en palabras simples

Expresión de la solución del sistema como intervalo

Una vez encontrada la región común (por ejemplo $2 < x \le 6$), la traducimos al formato de intervalos:

  • El límite inferior $2$ no está incluido (desigualdad estricta $>$), por lo que lleva corchete abierto hacia afuera $]2$.
  • El límite superior $6$ sí está incluido (desigualdad no estricta $\le$), por lo que lleva corchete cerrado hacia adentro $6]$.

El resultado final escrito como intervalo es $S = ]2, 6]$.

Explicación formal

Dada la solución simultánea descrita por la doble desigualdad $a < x \le b$ con $a, b \in \mathbb{R}$, el intervalo solución del sistema se define como:

$$S = ]a, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x \le b\}$$

Desglose de la fórmula:
- $]a$: Corchete abierto indica exclusión de la cota $a$.
- $b]$: Corchete cerrado indica inclusión de la cota $b$.

Comprueba tu avance ¿Cuál es la notación de intervalo correcta para la solución simultánea $-1 < x \le 5$?

Definiciones clave

  • Notación de intervalo de sistema: Representación simbólica con corchetes de los valores continuos que satisfacen todas las inecuaciones del sistema.

Propiedades y relaciones importantes

  • Traducción de cotas: $x > a \implies ]a, +\infty[$. $x \le b \implies ]-\infty, b]$. Su intersección es $]a, b]$.

Ejemplo guiado

Ejemplo Expresión de la solución del sistema como intervalo

Expresa la solución simultánea del sistema $x > -1$ y $x \le 5$ en notación de intervalo.

  • Paso 1: Identificar la cota inferior: $x > -1 \implies -1$ (excluido, corchete $]-1$).
  • Paso 2: Identificar la cota superior: $x \le 5 \implies 5$ (incluido, corchete $5]$).
  • Paso 3: Unir ambas cotas en una condición continua: $-1 < x \le 5$.
  • Paso 4: Escribir la solución en notación de intervalo: $S = ]-1, 5]$.
Comprueba tu avance ¿Qué tipo de corchete se utiliza para el límite $-1$ en la desigualdad estricta $x > -1$?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar las cotas numéricas de la intersección.
  • Paso 2: Determinar si cada cota es abierta ($<, >$) o cerrada ($\le, \ge$).
  • Paso 3: Escribir la cota inferior a la izquierda y la cota superior a la derecha separadas por coma.
  • Paso 4: Encerrar con los corchetes adecuados.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error común: Escribir corchete cerrado en cotas strictly ($>$ o $<$).
  • Cómo corregirlo: Si la desigualdad es estricta ($>$ o $<$), el extremo NO pertenece al conjunto y el corchete debe mirar hacia afuera.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Si la solución final es $-3 < x \leq 5$, ¿cómo se escribe como intervalo?
2 Si la intersección resulta $x \geq 2$, ¿cuál es su notación de intervalo?
3 ¿Cómo se formaliza el conjunto solución cuando las inecuaciones son disjuntas?
4 ¿Cuál es la regla fundamental para el corchete en $+\infty$ o $-\infty$?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Cuando un sistema carece de intersección ($S = \emptyset$), se expresa en notación de intervalo como $[0, 0]$."
"Traducir la solución simultánea de $x \le 3$ y $x < 7$ resulta en el intervalo $]3, 7[$."
"Los límites de un intervalo de sistema pueden ordenarse colocando la cota mayor en la posición izquierda."
"El conjunto solución de un sistema se expresa como un único intervalo o combinación de intervalos mediante corchetes según las cotas de la intersección."
"Expresar la intersección $x > 4$ y $x \le 9$ en notación de intervalo produce el conjunto abierto $]4, 9[$."
"La desigualdad doble $a < x \le b$ se traduce de manera unívoca al intervalo semiabierto por la izquierda $]a, b]$."
"La solución de un sistema dada por $2 < x \le 6$ se escribe en notación de intervalo como $[2, 6[$."

Al terminar debes poder

Resumen Expresión de la solución del sistema como intervalo

🎯 QUÉ Objetivo

Formalizar la solución del sistema en notación de intervalo.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Escribiendo la región de intersección resultante mediante corchetes reales ($]a, b]$, $[a, +\infty[$ o $\emptyset$).

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Álgebra / Sistemas de Inecuaciones Lineales

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.TRADUCCION_INTERVALO (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?

  2. Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.TRADUCCION_INTERVALO (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?

  3. La notación $(-\\infty, c]$ nos indica matemáticamente que:

  4. En la recta real, la intersección de dos conjuntos es vacía cuando:

  5. Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.TRADUCCION_INTERVALO (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?

  6. Al traducir la condición simultánea $x > a$ y $x < b$, asumiendo $a < b$, a notación de intervalos, ¿qué símbolos se utilizan en los extremos $a$ y $b$?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.TRADUCCION_INTERVALO (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?

  2. Seleccione el intervalo que traduce correctamente la condición compuesta: $-3 \\le x < 5$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.TRADUCCION_INTERVALO, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.

  2. Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.TRADUCCION_INTERVALO, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.

  3. Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.TRADUCCION_INTERVALO, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.

  4. Si la solución a un sistema exige que $x > -2$ y $x \\ge 1$, el intervalo intersección resultante es $[1, \\infty)$.

  5. Al interceptar gráficamente los intervalos $(-\\infty, 4)$ y $(4, \\infty)$, el conjunto solución resultante es la totalidad de los números reales $\\mathbb{R}$.

  6. El sistema formado por $x < 0$ y $x \\le 5$ posee como conjunto solución al intervalo $(-\\infty, 0)$.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.TRADUCCION_INTERVALO (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?

  2. Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.TRADUCCION_INTERVALO (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?

  3. Dado el sistema de inecuaciones $2x + 1 > 5$ y $3 - x \\ge -1$, la notación en intervalo de su conjunto solución es:

  4. Un biólogo estudia el rango térmico en el que sobrevive una enzima, determinando dos condiciones: $T - 10 \\le 20$ y $2T + 5 > 25$. Si $T$ está medido en grados centígrados, ¿cuál intervalo representa todas las temperaturas factibles?

  5. Las soluciones para el sistema $x + 4 > 2x - 1$ y $2x + 3 \\le x + 5$ se pueden representar gráficamente en la recta real. ¿Qué intervalo modela dicho conjunto?

  6. Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.TRADUCCION_INTERVALO (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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