Expresión de la solución del sistema como intervalo

M1 — PAES obligatoria Media

Resumen inicial

Expresar la solución de un sistema como intervalo consiste en escribir la intersección $S_1 \cap S_2$ en la notación formal de corchetes.

Explicación en palabras simples

Expresión de la solución del sistema como intervalo

Una vez encontrada la región común (por ejemplo $2 < x \le 6$), la traducimos al formato de intervalos:

  • El límite inferior $2$ no está incluido (desigualdad estricta $>$), por lo que lleva corchete abierto hacia afuera $]2$.
  • El límite superior $6$ sí está incluido (desigualdad no estricta $\le$), por lo que lleva corchete cerrado hacia adentro $6]$.

El resultado final escrito como intervalo es $S = ]2, 6]$.

Explicación formal

Dada la solución simultánea descrita por la doble desigualdad $a < x \le b$ con $a, b \in \mathbb{R}$, el intervalo solución del sistema se define como:

$$S = ]a, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x \le b\}$$

Desglose de la fórmula:
- $]a$: Corchete abierto indica exclusión de la cota $a$.
- $b]$: Corchete cerrado indica inclusión de la cota $b$.

Comprueba tu avance ¿Cuál es la notación de intervalo correcta para la solución simultánea $-1 < x \le 5$?

Definiciones clave

  • Notación de intervalo de sistema: Representación simbólica con corchetes de los valores continuos que satisfacen todas las inecuaciones del sistema.

Propiedades y relaciones importantes

  • Traducción de cotas: $x > a \implies ]a, +\infty[$. $x \le b \implies ]-\infty, b]$. Su intersección es $]a, b]$.

Ejemplo guiado

Ejemplo Expresión de la solución del sistema como intervalo

Expresa la solución simultánea del sistema $x > -1$ y $x \le 5$ en notación de intervalo.

  • Paso 1: Identificar la cota inferior: $x > -1 \implies -1$ (excluido, corchete $]-1$).
  • Paso 2: Identificar la cota superior: $x \le 5 \implies 5$ (incluido, corchete $5]$).
  • Paso 3: Unir ambas cotas en una condición continua: $-1 < x \le 5$.
  • Paso 4: Escribir la solución en notación de intervalo: $S = ]-1, 5]$.
Comprueba tu avance ¿Qué tipo de corchete se utiliza para el límite $-1$ en la desigualdad estricta $x > -1$?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar las cotas numéricas de la intersección.
  • Paso 2: Determinar si cada cota es abierta ($<, >$) o cerrada ($\le, \ge$).
  • Paso 3: Escribir la cota inferior a la izquierda y la cota superior a la derecha separadas por coma.
  • Paso 4: Encerrar con los corchetes adecuados.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error común: Escribir corchete cerrado en cotas strictly ($>$ o $<$).
  • Cómo corregirlo: Si la desigualdad es estricta ($>$ o $<$), el extremo NO pertenece al conjunto y el corchete debe mirar hacia afuera.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Si la solución final es $-3 < x \leq 5$, ¿cómo se escribe como intervalo?
2 Si la intersección resulta $x \geq 2$, ¿cuál es su notación de intervalo?
3 ¿Cómo se formaliza el conjunto solución cuando las inecuaciones son disjuntas?
4 ¿Cuál es la regla fundamental para el corchete en $+\infty$ o $-\infty$?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"El conjunto solución de un sistema se expresa como un único intervalo o combinación de intervalos mediante corchetes según las cotas de la intersección."
"Los límites de un intervalo de sistema pueden ordenarse colocando la cota mayor en la posición izquierda."
"La solución de un sistema dada por $2 < x \le 6$ se escribe en notación de intervalo como $[2, 6[$."
"Traducir la solución simultánea de $x \le 3$ y $x < 7$ resulta en el intervalo $]3, 7[$."
"La desigualdad doble $a < x \le b$ se traduce de manera unívoca al intervalo semiabierto por la izquierda $]a, b]$."
"Cuando un sistema carece de intersección ($S = \emptyset$), se expresa en notación de intervalo como $[0, 0]$."
"Expresar la intersección $x > 4$ y $x \le 9$ en notación de intervalo produce el conjunto abierto $]4, 9[$."

Al terminar debes poder

Resumen Expresión de la solución del sistema como intervalo

🎯 QUÉ Objetivo

Formalizar la solución del sistema en notación de intervalo.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Escribiendo la región de intersección resultante mediante corchetes reales ($]a, b]$, $[a, +\infty[$ o $\emptyset$).

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Álgebra / Sistemas de Inecuaciones Lineales

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.TRADUCCION_INTERVALO (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?

  2. Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.TRADUCCION_INTERVALO (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?

  3. La notación $(-\\infty, c]$ nos indica matemáticamente que:

  4. En la recta real, la intersección de dos conjuntos es vacía cuando:

  5. Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.TRADUCCION_INTERVALO (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?

  6. Al traducir la condición simultánea $x > a$ y $x < b$, asumiendo $a < b$, a notación de intervalos, ¿qué símbolos se utilizan en los extremos $a$ y $b$?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.TRADUCCION_INTERVALO (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?

  2. Seleccione el intervalo que traduce correctamente la condición compuesta: $-3 \\le x < 5$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.TRADUCCION_INTERVALO, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.

  2. Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.TRADUCCION_INTERVALO, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.

  3. Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.TRADUCCION_INTERVALO, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.

  4. Si la solución a un sistema exige que $x > -2$ y $x \\ge 1$, el intervalo intersección resultante es $[1, \\infty)$.

  5. Al interceptar gráficamente los intervalos $(-\\infty, 4)$ y $(4, \\infty)$, el conjunto solución resultante es la totalidad de los números reales $\\mathbb{R}$.

  6. El sistema formado por $x < 0$ y $x \\le 5$ posee como conjunto solución al intervalo $(-\\infty, 0)$.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.TRADUCCION_INTERVALO (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?

  2. Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.TRADUCCION_INTERVALO (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?

  3. Dado el sistema de inecuaciones $2x + 1 > 5$ y $3 - x \\ge -1$, la notación en intervalo de su conjunto solución es:

  4. Un biólogo estudia el rango térmico en el que sobrevive una enzima, determinando dos condiciones: $T - 10 \\le 20$ y $2T + 5 > 25$. Si $T$ está medido en grados centígrados, ¿cuál intervalo representa todas las temperaturas factibles?

  5. Las soluciones para el sistema $x + 4 > 2x - 1$ y $2x + 3 \\le x + 5$ se pueden representar gráficamente en la recta real. ¿Qué intervalo modela dicho conjunto?

  6. Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.TRADUCCION_INTERVALO (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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