Determinación de la intersección de soluciones
Resumen inicial
La solución final de un sistema de inecuaciones es el conjunto intersección $S = S_1 \cap S_2$ formado por la zona común de ambos intervalos.
Explicación en palabras simples
Una vez que tenemos los dos intervalos individuales (por ejemplo $S_1 = ]3, +\infty[$ y $S_2 = ]-\infty, 4]$), buscamos la zona común donde se cruzan ambos conjuntos.
Los números que están a la vez en $S_1$ y en $S_2$ son los mayores que $3$ y menores o iguales que $4$.
Por lo tanto, la intersección final es el intervalo $S = ]3, 4]$.
Explicación formal
Dado el sistema con soluciones individuales $S_1$ y $S_2$, la intersección de conjuntos solución se formaliza mediante la operación de conjuntos:
$$S = S_1 \cap S_2 = \{x \in \mathbb{R} \mid x \in S_1 \quad \land \quad x \in S_2\}$$
Desglose de la fórmula:
- Conector lógico $\land$ (Y simultáneo): Exige pertenencia a ambos intervalos reales.
La alternativa correcta es '$S = ]3, 4]$'.
Definiciones clave
- Intersección de intervalos ($S_1 \cap S_2$): Operación de conjuntos que extrae la franja de números reales comunes entre $S_1$ y $S_2$.
- Simultaneidad lógica ($\land$): Condición por la cual un número real debe ser elemento de todos los subconjuntos del sistema.
Propiedades y relaciones importantes
- Conmutatividad de la intersección: $S_1 \cap S_2 = S_2 \cap S_1$.
Ejemplo guiado
Calcula la intersección de los intervalos $S_1 = ]3, +\infty[$ y $S_2 = ]-\infty, 4]$ para determinar el conjunto solución global $S$.
- Paso 1: Analizar la restricción de $S_1$: $x > 3$ (números mayores que 3).
- Paso 2: Analizar la restricción de $S_2$: $x \le 4$ (números menores o iguales a 4).
- Paso 3: Unir ambas restricciones en la condición simultánea: $3 < x \le 4$.
- Paso 4: Escribir el intervalo intersección: $S = ]3, 4]$.
La alternativa correcta es 'La conjunción lógica "Y" simultánea ($\land$).'.
Procedimiento
- Paso 1: Obtener los intervalos individuales $S_1$ y $S_2$.
- Paso 2: Graficar ambos intervalos en la misma recta numérica.
- Paso 3: Identificar el segmento donde se cruzan o superponen ambos sombreados.
- Paso 4: Escribir el intervalo resultante $S = S_1 \cap S_2$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Calcular la UNIÓN de los intervalos en lugar de la intersección.
- Cómo corregirlo: Los sistemas de inecuaciones requieren la INTERSECCIÓN (solo la zona común donde se cruzan ambos rayados).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: La zona común va desde $2$ abierto hasta $7$ cerrado.
- Paso 2: $S = ]2, 7]$.
- Paso 1: La condición más restrictiva es $x > 3$.
- Paso 2: $S = ]3, +\infty[$.
- Paso 1: $S_1$ no incluye el $4$ y $S_2$ empieza en $4$.
- Paso 2: No comparten ningún elemento: $S = \emptyset$.
- Paso 1: Ambos extremos son cerrados: $-5 \le x \le 0$.
- Paso 2: $S = [-5, 0]$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Calcular la intersección de los conjuntos solución individuales.
Identificando la región de números reales que satisface simultáneamente todas las condiciones del sistema ($S = S_1 \cap S_2$).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.INTERSECCION_SOLUCIONES (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?
- $2x < 10 - 0$ 2. $x < 5.0$
Respuesta: $x < 5.0$
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Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.INTERSECCION_SOLUCIONES (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?
- $2x < 10 - 1$ 2. $x < 4.5$
Respuesta: $x < 4.5$
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Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.INTERSECCION_SOLUCIONES (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?
- $2x < 10 - 2$ 2. $x < 4.0$
Respuesta: $x < 4.0$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.INTERSECCION_SOLUCIONES (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?
- $2x < 10 - 3$ 2. $x < 3.5$
Respuesta: $x < 3.5$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.INTERSECCION_SOLUCIONES, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.
Al restar 4 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.INTERSECCION_SOLUCIONES, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.
Al restar 5 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.INTERSECCION_SOLUCIONES, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.
Al restar 6 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.INTERSECCION_SOLUCIONES (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?
- $2x < 10 - 7$ 2. $x < 1.5$
Respuesta: $x < 1.5$
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Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.INTERSECCION_SOLUCIONES (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?
- $2x < 10 - 8$ 2. $x < 1.0$
Respuesta: $x < 1.0$
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Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.INTERSECCION_SOLUCIONES (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?
- $2x < 10 - 9$ 2. $x < 0.5$
Respuesta: $x < 0.5$
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Un ascensor tiene una capacidad máxima de $400$ kg y un mínimo de seguridad de $50$ kg para operar. Si $x$ representa la masa transportada en kg, y por motivos de mantención se impone la restricción adicional de que la masa debe ser estrictamente menor a $350$ kg, ¿cuál es el intervalo que representa las posibles masas $x$ permitidas para que el ascensor funcione?