Determinación de la intersección de soluciones
Determinar el conjunto solución de un sistema de inecuaciones lineales mediante la intersección de las soluciones individuales.
Introducción
Un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita agrupa dos o más inecuaciones que deben cumplirse de manera simultánea. La solución del sistema corresponde a los valores que satisfacen todas las inecuaciones al mismo tiempo, lo que geométricamente representa la intersección de los intervalos solución de cada inecuación en la recta real.
Explicación
Definición formal
Sea un sistema de $n$ inecuaciones lineales con una incógnita $x$, cuyos conjuntos solución individuales son $S_1, S_2, \dots, S_n$. El conjunto solución del sistema, denotado como $S_{total}$, está dado por la intersección de todos los conjuntos solución individuales - $S_{total} = S_1 \cap S_2 \cap \dots \cap S_n$. Si la intersección es vacía ($S_{total} = \emptyset$), el sistema no tiene solución en los números reales.
Desarrollo didáctico
Para comprender la solución de un sistema de inecuaciones, es fundamental visualizar cada inecuación como una condición independiente. Al graficar el conjunto solución de cada inecuación en una misma recta numérica, se observan zonas donde los intervalos se superponen. Esta región de superposición contiene los valores que cumplen con todas las condiciones impuestas simultáneamente. Es posible que los intervalos no se superpongan en absoluto; en tal situación, no existe ningún número real que satisfaga el sistema completo, concluyendo que el conjunto solución es el conjunto vacío.
Cómo hacerlo paso a paso
- Resolver cada inecuación del sistema de forma independiente, despejando la incógnita.
- Expresar el conjunto solución de cada inecuación en forma de intervalo o mediante representación gráfica en la recta numérica real.
- Determinar la intersección de todos los intervalos obtenidos, identificando la región donde se superponen todos los conjuntos solución.
- Expresar el resultado final como un único intervalo, unión de intervalos, o indicar que es el conjunto vacío si no hay superposición.
Ejemplos
1 Resuelva el sistema compuesto por las inecuaciones $2x - 4 < 0$ y $x + 1 \\geq 0$.
- Para la primera inecuación - $2x < 4 \\implies x < 2$. Su solución es $S_1 = ]-\\infty, 2[$.
- Para la segunda inecuación - $x \\geq -1$. Su solución es $S_2 = [-1, +\\infty[$.
- La intersección de ambos conjuntos es $S_1 \\cap S_2 = ]-\\infty, 2[ \\cap [-1, +\\infty[ = [-1, 2[$.
- El conjunto solución del sistema es el intervalo $[-1, 2[$.
2 Determine el conjunto solución del sistema formado por $3x + 6 \\leq 0$ y $2x - 2 > 4$.
- Resolviendo la primera inecuación - $3x \\leq -6 \\implies x \\leq -2$. Solución - $S_1 = ]-\\infty, -2]$.
- Resolviendo la segunda inecuación - $2x > 6 \\implies x > 3$. Solución - $S_2 = ]3, +\\infty[$.
- La intersección es $S_1 \\cap S_2 = ]-\\infty, -2] \\cap ]3, +\\infty[ = \\emptyset$.
- Como no hay superposición, el sistema no tiene solución real.
3 ¿El número $0$ pertenece al conjunto solución del sistema compuesto por $x > -2$ y $x < 1$?
- Se evalúa $x = 0$ en la primera inecuación - $0 > -2$, lo cual es verdadero.
- Se evalúa $x = 0$ en la segunda inecuación - $0 < 1$, lo cual es verdadero.
- Dado que el valor satisface ambas inecuaciones simultáneamente, pertenece al conjunto solución.
4 ¿El conjunto solución del sistema $x > 5$ y $x > 8$ es el intervalo $]5, 8[$?
- La solución de la primera inecuación es el intervalo $]5, +\\infty[$.
- La solución de la segunda inecuación es el intervalo $]8, +\\infty[$.
- La intersección de ambos intervalos es la región donde ambos se superponen, es decir, los valores mayores que $8$.
- Por lo tanto, la solución correcta es el intervalo $]8, +\\infty[$, no $]5, 8[$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Unir los conjuntos solución de cada inecuación en lugar de intersectarlos para encontrar la solución del sistema."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Considerar que si una de las inecuaciones no tiene solución, el sistema aún puede tener solución basándose en las demás inecuaciones."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Incluir los extremos de los intervalos en la solución final del sistema cuando provienen de inecuaciones con desigualdades estrictas ($<$ o $>$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Asumir que un sistema de dos inecuaciones siempre tendrá como solución un intervalo cerrado y acotado."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Multiplicar o dividir una inecuación por un número negativo sin invertir el sentido de la desigualdad, afectando el intervalo a intersectar."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La solución de un sistema de inecuaciones se encuentra resolviendo cada inecuación por separado y luego determinando la intersección de los conjuntos solución resultantes.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.INTERSECCION_SOLUCIONES (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?
- $2x < 10 - 0$ 2. $x < 5.0$
Respuesta: $x < 5.0$
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Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.INTERSECCION_SOLUCIONES (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?
- $2x < 10 - 1$ 2. $x < 4.5$
Respuesta: $x < 4.5$
-
Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.INTERSECCION_SOLUCIONES (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?
- $2x < 10 - 2$ 2. $x < 4.0$
Respuesta: $x < 4.0$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.INTERSECCION_SOLUCIONES (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?
- $2x < 10 - 3$ 2. $x < 3.5$
Respuesta: $x < 3.5$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.INTERSECCION_SOLUCIONES, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.
Al restar 4 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.INTERSECCION_SOLUCIONES, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.
Al restar 5 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.INTERSECCION_SOLUCIONES, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.
Al restar 6 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.INTERSECCION_SOLUCIONES (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?
- $2x < 10 - 7$ 2. $x < 1.5$
Respuesta: $x < 1.5$
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Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.INTERSECCION_SOLUCIONES (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?
- $2x < 10 - 8$ 2. $x < 1.0$
Respuesta: $x < 1.0$
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Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.INTERSECCION_SOLUCIONES (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?
- $2x < 10 - 9$ 2. $x < 0.5$
Respuesta: $x < 0.5$
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Un ascensor tiene una capacidad máxima de $400$ kg y un mínimo de seguridad de $50$ kg para operar. Si $x$ representa la masa transportada en kg, y por motivos de mantención se impone la restricción adicional de que la masa debe ser estrictamente menor a $350$ kg, ¿cuál es el intervalo que representa las posibles masas $x$ permitidas para que el ascensor funcione?