Definición de sistema de inecuaciones lineales con una incógnita
Comprender la estructura de un sistema de inecuaciones y determinar su conjunto solución mediante intersección.
Introducción
En muchas situaciones se deben cumplir simultáneamente varias condiciones o restricciones. Esto da origen a los sistemas de inecuaciones.
Explicación
Definición formal
Un sistema de inecuaciones lineales en una variable $x$ es un conjunto de dos o más inecuaciones, como $a_1 x + b_1 < 0$ y $a_2 x + b_2 \ge 0$. La solución del sistema es la intersección de los conjuntos solución de cada una de las inecuaciones individuales.
Desarrollo didáctico
Para resolver el sistema, se resuelve cada inecuación por separado y luego se busca la región de la recta numérica que satisfaga todas las condiciones al mismo tiempo. Es muy útil graficar cada conjunto solución en una recta para visualizar dónde se superponen. Si no hay intersección, el sistema no tiene solución.
Cómo hacerlo paso a paso
- Resolver cada inecuación del sistema de manera independiente, despejando la incógnita.
- Representar el conjunto solución de cada inecuación en una misma recta numérica o utilizando notación de intervalos.
- Determinar la intersección de todos los conjuntos solución. Esta intersección es la solución final del sistema.
Ejemplos
1 Resuelva el sistema formado por $x > 2$ y $x \le 5$.
- La primera inecuación ya está resuelta: $x > 2$, que corresponde al intervalo $(2, \infty)$.
- La segunda inecuación también: $x \le 5$, que corresponde al intervalo $(-\infty, 5]$.
- La intersección de ambos intervalos es $(2, 5]$.
2 Determine el conjunto solución del sistema: $2x < 4$ y $x - 3 > 0$.
- Resolvemos la primera: $2x < 4 \implies x < 2$. El intervalo es $(-\infty, 2)$.
- Resolvemos la segunda: $x - 3 > 0 \implies x > 3$. El intervalo es $(3, \infty)$.
- No hay números que sean menores a 2 y mayores a 3 al mismo tiempo. La intersección es vacía ($\emptyset$).
3 ¿Es $x=3$ solución del sistema $x + 1 > 3$ y $2x \le 8$?
- Verificamos la primera inecuación con $x=3$: $3 + 1 = 4$. Como $4 > 3$, se cumple.
- Verificamos la segunda inecuación con $x=3$: $2(3) = 6$. Como $6 \le 8$, se cumple.
- Dado que satisface ambas inecuaciones simultáneamente, $x=3$ es solución.
4 ¿El conjunto solución del sistema $x > -1$ y $x > 2$ es $(-1, \infty)$?
- El primer intervalo es $(-1, \infty)$.
- El segundo intervalo es $(2, \infty)$.
- La intersección de ambos conjuntos es $(2, \infty)$, no $(-1, \infty)$. Por lo tanto, la afirmación es falsa.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Creer que la solución del sistema es la unión de los intervalos en lugar de su intersección."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar invertir el signo de la desigualdad al dividir o multiplicar por un número negativo en alguna de las inecuaciones."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Asumir que un sistema siempre tiene solución, ignorando el caso en que los intervalos no se intersecan."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Graficar incorrectamente los extremos (confundir intervalos abiertos con cerrados) al buscar la intersección."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Afirmar que si un número cumple con una de las inecuaciones, entonces es solución del sistema completo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Un sistema de inecuaciones lineales consiste en dos o más inecuaciones que deben cumplirse al mismo tiempo.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Si la solución de una inecuación es $(-\infty, 4]$ y la de otra es $[4, \infty)$, ¿cuál es la solución del sistema que conforman?
Respuesta: El único valor $x = 4$.
-
La solución de un sistema de inecuaciones lineales en una variable corresponde a:
Respuesta: La intersección de los conjuntos solución de cada inecuación.
-
Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.DEFINICION (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?
- $2x < 10 - 0$ 2. $x < 5.0$
Respuesta: $x < 5.0$
-
Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.DEFINICION (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?
- $2x < 10 - 1$ 2. $x < 4.5$
Respuesta: $x < 4.5$
-
Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.DEFINICION (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?
- $2x < 10 - 2$ 2. $x < 4.0$
Respuesta: $x < 4.0$
-
¿Qué ocurre si al resolver un sistema de dos inecuaciones lineales los intervalos resultantes no se superponen?
Respuesta: El sistema no tiene solución real.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.DEFINICION (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?
- $2x < 10 - 3$ 2. $x < 3.5$
Respuesta: $x < 3.5$
-
¿Cuál de las siguientes representaciones corresponde a un sistema de inecuaciones?
Respuesta: $\begin{cases} x > 2 \\ x < 5 \end{cases}$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
El conjunto solución del sistema $x > 0$ y $x > 5$ es $(0, \infty)$.
Respuesta: false
-
El número $x = -2$ pertenece al conjunto solución del sistema $x + 3 > 0$ y $x \le -1$.
Respuesta: true
-
El sistema formado por $3x \ge 12$ y $-x \ge -2$ no tiene solución.
Respuesta: true
-
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.DEFINICION, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.
Al restar 4 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
-
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.DEFINICION, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.
Al restar 5 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
-
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.DEFINICION, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.
Al restar 6 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Se busca un número entero tal que su doble sea mayor que $6$ y su triple disminuido en $1$ sea menor o igual a $14$. ¿Cuáles son los posibles valores de este número?
Respuesta: $4$ y $5$
-
Considere el sistema de inecuaciones: $4(x - 1) < 2x + 6$ y $\frac{x}{2} + 1 \ge 0$. ¿Cuál es su conjunto solución?
Respuesta: $[-2, 5)$
-
Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.DEFINICION (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?
- $2x < 10 - 8$ 2. $x < 1.0$
Respuesta: $x < 1.0$
-
Un plan de telefonía requiere que el gasto mensual ($G$, en pesos) sea de al menos $\$10000$ para mantener la tarifa plana, pero el cliente tiene un tope de gasto de $\$18000$. Sabiendo que $G = 5000 + 100m$, donde $m$ son los minutos extra, ¿cuál es el intervalo de minutos extra permitidos?
Respuesta: $[50, 130]$
-
Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.DEFINICION (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?
- $2x < 10 - 7$ 2. $x < 1.5$
Respuesta: $x < 1.5$
-
Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.DEFINICION (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?
- $2x < 10 - 9$ 2. $x < 0.5$
Respuesta: $x < 0.5$