Definición de sistema de inecuaciones lineales con una incógnita
Resumen inicial
Un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita es un conjunto de dos o más inecuaciones que deben cumplirse simultáneamente.
Explicación en palabras simples
Un sistema de inecuaciones consiste en dos o más desigualdades que comparten la misma variable (por ejemplo $x > 2$ y $x \le 7$).
Resolver el sistema significa encontrar los valores de $x$ que hacen verdaderas a TODAS las inecuaciones al mismo tiempo.
Por ello, la solución final es la intersección (la parte donde se cruzan o solapan) de las soluciones individuales.
Explicación formal
Un sistema de $m$ inecuaciones lineales con una incógnita $x \in \mathbb{R}$ se representa como:
$$\begin{cases} a_1 x + b_1 \ R_1 \ 0 \\ a_2 x + b_2 \ R_2 \ 0 \\ \vdots \\ a_m x + b_m \ R_m \ 0 \end{cases} \quad \text{con } R_i \in \{<, >, \le, \ge\}$$
Desglose de la fórmula:
- Conjunto solución global $S = S_1 \cap S_2 \cap \dots \cap S_m$, donde $S_i$ es la solución de la $i$-ésima inecuación.
La alternativa correcta es 'Como la intersección de los conjuntos solución individuales ($S = S_1 \cap S_2$).'.
Definiciones clave
- Sistema de inecuaciones lineales: Conjunto de desigualdades con la misma variable que deben satisfacerse en simultáneo.
- Intersección de soluciones ($S_1 \cap S_2$): Conjunto formado por los elementos comunes que satisfacen todas las desigualdades del sistema.
Propiedades y relaciones importantes
- Exigencia simultánea: Un número solo es solución del sistema si pertenece al conjunto solución de CADA UNA de las inecuaciones.
Ejemplo guiado
Verifica si el número $x = 4$ es solución del sistema de inecuaciones formado por $\begin{cases} x + 3 > 5 \\ 2x \le 10 \end{cases}$.
- Paso 1: Evaluar $x = 4$ en la primera inecuación: $4 + 3 = 7 > 5$ (VERDADERO $\implies 4 \in S_1$).
- Paso 2: Evaluar $x = 4$ en la segunda inecuación: $2(4) = 8 \le 10$ (VERDADERO $\implies 4 \in S_2$).
- Paso 3: Comprobar la simultaneidad: $x = 4$ satisface ambas inecuaciones.
- Paso 4: Concluir que $x = 4$ es una solución válida del sistema ($4 \in S_1 \cap S_2$).
La alternativa correcta es 'Porque satisface simultáneamente ambas inecuaciones.'.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar las inecuaciones individuales que conforman el sistema.
- Paso 2: Evaluar la variable candidato en la primera inecuación.
- Paso 3: Evaluar la variable candidato en la segunda inecuación.
- Paso 4: Confirmar la validez solo si ambas evaluaciones resultan verdaderas.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Creer que basta con que un número cumpla una sola de las inecuaciones para ser solución del sistema.
- Cómo corregirlo: En un sistema de inecuaciones, el número DEBE cumplir TODAS las inecuaciones a la vez (intersección $\cap$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: Ambas inecuaciones son lineales y contienen solo la variable $x$.
- Paso 2: La opción correcta es $2x + 1 > 5$ y $x - 3 \le 4$.
- Paso 1: Un sistema exige cumplimiento simultáneo (intersección).
- Paso 2: La solución es $]2, 8[$.
- Paso 1: Evaluar $4 \ge 0$ (V) y $4 \le 5$ (V).
- Paso 2: Como ambas se cumplen, $4 \in S$.
- Paso 1: La simultaneidad lógica $\land$ equivale a la intersección de conjuntos $\cap$.
- Paso 2: $S = S_1 \cap S_2$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Definir e identificar un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita.
Reconociendo dos o más desigualdades en la misma variable $x$ cuya solución común exige la intersección de sus respectivos conjuntos ($S = S_1 \cap S_2$).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si la solución de una inecuación es $(-\infty, 4]$ y la de otra es $[4, \infty)$, ¿cuál es la solución del sistema que conforman?
Respuesta: El único valor $x = 4$.
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La solución de un sistema de inecuaciones lineales en una variable corresponde a:
Respuesta: La intersección de los conjuntos solución de cada inecuación.
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Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.DEFINICION (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?
- $2x < 10 - 0$ 2. $x < 5.0$
Respuesta: $x < 5.0$
-
Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.DEFINICION (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?
- $2x < 10 - 1$ 2. $x < 4.5$
Respuesta: $x < 4.5$
-
Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.DEFINICION (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?
- $2x < 10 - 2$ 2. $x < 4.0$
Respuesta: $x < 4.0$
-
¿Qué ocurre si al resolver un sistema de dos inecuaciones lineales los intervalos resultantes no se superponen?
Respuesta: El sistema no tiene solución real.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.DEFINICION (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?
- $2x < 10 - 3$ 2. $x < 3.5$
Respuesta: $x < 3.5$
-
¿Cuál de las siguientes representaciones corresponde a un sistema de inecuaciones?
Respuesta: $\begin{cases} x > 2 \\ x < 5 \end{cases}$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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El conjunto solución del sistema $x > 0$ y $x > 5$ es $(0, \infty)$.
Respuesta: false
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El número $x = -2$ pertenece al conjunto solución del sistema $x + 3 > 0$ y $x \le -1$.
Respuesta: true
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El sistema formado por $3x \ge 12$ y $-x \ge -2$ no tiene solución.
Respuesta: true
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.DEFINICION, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.
Al restar 4 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.DEFINICION, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.
Al restar 5 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
-
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.DEFINICION, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.
Al restar 6 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Se busca un número entero tal que su doble sea mayor que $6$ y su triple disminuido en $1$ sea menor o igual a $14$. ¿Cuáles son los posibles valores de este número?
Respuesta: $4$ y $5$
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Considere el sistema de inecuaciones: $4(x - 1) < 2x + 6$ y $\frac{x}{2} + 1 \ge 0$. ¿Cuál es su conjunto solución?
Respuesta: $[-2, 5)$
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Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.DEFINICION (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?
- $2x < 10 - 8$ 2. $x < 1.0$
Respuesta: $x < 1.0$
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Un plan de telefonía requiere que el gasto mensual ($G$, en pesos) sea de al menos $\$10000$ para mantener la tarifa plana, pero el cliente tiene un tope de gasto de $\$18000$. Sabiendo que $G = 5000 + 100m$, donde $m$ son los minutos extra, ¿cuál es el intervalo de minutos extra permitidos?
Respuesta: $[50, 130]$
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Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.DEFINICION (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?
- $2x < 10 - 7$ 2. $x < 1.5$
Respuesta: $x < 1.5$
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Pregunta sobre MAT.ALG.SISTEMAS_INECUACIONES.DEFINICION (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?
- $2x < 10 - 9$ 2. $x < 0.5$
Respuesta: $x < 0.5$