Verificación de una solución particular en una inecuación
comprobar si un valor numérico específico pertenece al conjunto solución de una inecuación lineal evaluando la desigualdad
Introducción
Verificar si un número es solución de una inecuación consiste en sustituir la variable por dicho número y comprobar si la desigualdad resultante es matemáticamente correcta.
Explicación
Definición formal
Dada una inecuación lineal $P(x) \\diamond Q(x)$, donde $P(x)$ y $Q(x)$ son expresiones algebraicas de primer grado y $\\diamond \\in \\{<, >, \\leq, \\geq\\}$, un número real $a$ pertenece al conjunto solución de la inecuación si y solo si la proposición $P(a) \\diamond Q(a)$ es verdadera.
La evaluación requiere el reemplazo de la variable $x$ por el escalar $a$, seguido de la simplificación aritmética estricta de ambos miembros de la desigualdad.
Desarrollo didáctico
A diferencia de una ecuación, donde la solución suele ser un único número, una inecuación tiene un conjunto infinito de soluciones. A veces necesitamos saber si un número en particular sirve o no para una inecuación.
Para saberlo, hacemos una prueba simple:
En el lugar de la incógnita, colocamos el número que queremos probar. Luego realizamos todas las operaciones aritméticas que haya a cada lado del símbolo de desigualdad.
Al final, nos quedará una comparación entre dos números, por ejemplo, $7 > 2$ o $4 \\leq 1$. Si lo que leemos es verdad, entonces el número que probamos sí es una solución. Si lo que leemos es mentira, entonces el número no es una solución.
Cómo hacerlo paso a paso
- Sustituir la variable de la inecuación por el valor numérico a evaluar.
- Resolver las operaciones matemáticas en ambos lados de la desigualdad, respetando la jerarquía de las operaciones.
- Comparar los resultados finales utilizando el símbolo de la desigualdad original.
- Concluir que el número es solución si la afirmación es cierta, o que no lo es si es falsa.
Ejemplos
1 Verifica si $x = 4$ es solución de la inecuación $3x - 2 > 7$.
- Sustituimos $x = 4$ en la inecuación - $3(4) - 2 > 7$.
- Multiplicamos - $12 - 2 > 7$.
- Restamos - $10 > 7$.
- Como $10$ es mayor que $7$, la desigualdad es verdadera. Por lo tanto, $x = 4$ sí es solución.
2 Determina si $x = -1$ es solución de $5x + 3 < -2$.
- Sustituimos $x = -1$ en la inecuación - $5(-1) + 3 < -2$.
- Multiplicamos - $-5 + 3 < -2$.
- Sumamos - $-2 < -2$.
- Como $-2$ no es estrictamente menor que $-2$, la afirmación es falsa. Por lo tanto, $x = -1$ no es solución.
3 ¿Se incluye el límite en la igualdad?
- La inecuación evaluada es $2x \leq 6$ y el valor a verificar es $x = 3$.
- Sustituimos $x = 3$ obteniendo - $2(3) \leq 6$.
- Obtenemos $6 \leq 6$. Dado que $6$ es igual a $6$, la condición se cumple.
- El número $x = 3$ efectivamente es solución de la inecuación.
4 ¿Cualquier número positivo es solución?
- Dada la inecuación $-2x < -10$, se evalúa si $x = 2$ la cumple.
- Sustituyendo $x=2$ se obtiene - $-2(2) < -10$.
- Obtenemos $-4 < -10$. Esto es falso, ya que $-4$ es mayor que $-10$.
- No todos los números positivos son soluciones. En este caso, el valor no es solución.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Creer que si se obtiene la igualdad en una desigualdad estricta, el número evaluado es solución."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Resolver mal las operaciones aritméticas por errores de signos al evaluar el número."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Concluir erróneamente asumiendo que un número negativo mayor en valor absoluto es mayor matemáticamente."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Evaluar solo uno de los lados cuando la inecuación tiene variables en ambos miembros."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar la jerarquía de las operaciones al sustituir el valor numérico en la expresión."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La verificación consiste en reemplazar la incógnita por el valor dado y operar aritméticamente ambos lados de la desigualdad. Si se obtiene una afirmación verdadera el número es solución; de lo contrario, no lo es.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.VERIFICACION_SOLUCION (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?
- $2x < 10 - 0$ 2. $x < 5.0$
Respuesta: $x < 5.0$
-
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.VERIFICACION_SOLUCION (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?
- $2x < 10 - 1$ 2. $x < 4.5$
Respuesta: $x < 4.5$
-
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.VERIFICACION_SOLUCION (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?
- $2x < 10 - 2$ 2. $x < 4.0$
Respuesta: $x < 4.0$
-
Si al evaluar un número en una inecuación que usa el signo $\\leq$ se obtiene el resultado $5 \\leq 5$, ¿el número evaluado es solución?
El símbolo $\\leq$ incluye la condición de igualdad. Como $5 = 5$ es verdadero, el número evaluado cumple la inecuación.
-
¿Qué significa que un número verifique una inecuación?
Verificar una inecuación significa comprobar que el valor reemplazado hace que la relación matemática indicada por el signo de desigualdad sea cierta.
-
Al sustituir un número en una inecuación de la forma $P(x) > Q(x)$ y resolver, se obtiene $-3 > 1$. ¿Cuál es la conclusión correcta?
La afirmación $-3 > 1$ es falsa porque un número negativo no es mayor que un positivo. Por lo tanto, el número no forma parte del conjunto solución.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.VERIFICACION_SOLUCION (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?
- $2x < 10 - 3$ 2. $x < 3.5$
Respuesta: $x < 3.5$
-
¿Cuál de los siguientes valores es solución de la inecuación $x + 2 < 0$?
Al sustituir $x = -3$, obtenemos $-3 + 2 < 0$, es decir, $-1 < 0$, lo cual es verdadero.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
El valor $x = 0$ es solución de la inecuación $4x - 5 \\geq -3$.
Falso. Al evaluar $x = 0$, queda $4(0) - 5 \\geq -3 \\Rightarrow -5 \\geq -3$. Esto es falso, ya que $-5$ es menor que $-3$.
-
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.VERIFICACION_SOLUCION, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.
Al restar 6 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
-
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.VERIFICACION_SOLUCION, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.
Al restar 4 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
-
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.VERIFICACION_SOLUCION, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.
Al restar 5 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
-
Si evaluamos $x = 2$ en la inecuación $x + 4 > 2x$, obtenemos una desigualdad verdadera, por lo que $2$ es solución.
Verdadero. Al sustituir: $2 + 4 > 2(2) \\Rightarrow 6 > 4$. Como $6$ es mayor que $4$, la desigualdad es verdadera y $x = 2$ es solución.
-
Para la inecuación $3 - 2x < 7$, el valor $x = -1$ es una de sus soluciones.
Verdadero. Evaluando $x = -1$: $3 - 2(-1) < 7 \\Rightarrow 3 + 2 < 7 \\Rightarrow 5 < 7$. Esto es verdadero.
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Si $m$ es un número negativo, ¿qué valor(es) de $x$ satisface(n) siempre la inecuación $mx > m$?
Al dividir la inecuación $mx > m$ por $m$, que es negativo, el sentido de la desigualdad se invierte obteniendo $x < 1$. Por lo tanto, cualquier número menor que $1$ verifica la inecuación.
-
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.VERIFICACION_SOLUCION (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?
- $2x < 10 - 8$ 2. $x < 1.0$
Respuesta: $x < 1.0$
-
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.VERIFICACION_SOLUCION (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?
- $2x < 10 - 9$ 2. $x < 0.5$
Respuesta: $x < 0.5$
-
Dada la inecuación $2(x - 3) \\leq 5x + 3$, ¿cuál de los siguientes conjuntos contiene SOLO valores que son soluciones?
Resolviendo la inecuación: $2x - 6 \\leq 5x + 3 \\Rightarrow -9 \\leq 3x \\Rightarrow x \\geq -3$. Solo el conjunto $\\{-3, 0, 5\\}$ contiene únicamente valores mayores o iguales a $-3$.
-
María afirma que $x = \\frac{1}{2}$ es solución de la inecuación $4x - 1 < x + \\frac{3}{2}$. ¿Es correcta la afirmación de María y por qué?
Al evaluar $x = \\frac{1}{2}$ queda $4(\\frac{1}{2}) - 1 = 2 - 1 = 1$. Y $x + \\frac{3}{2} = \\frac{1}{2} + \\frac{3}{2} = 2$. Por lo tanto queda $1 < 2$, que es verdadero.
-
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.VERIFICACION_SOLUCION (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?
- $2x < 10 - 7$ 2. $x < 1.5$
Respuesta: $x < 1.5$