Resolución de inecuaciones lineales con incógnita en ambos lados

Resumen inicial

Cuando la incógnita figura en ambos lados, se agrupan las variables en un miembro y las constantes en el otro.

Explicación en palabras simples

Si la variable $x$ aparece a la izquierda y a la derecha del símbolo (como $5x - 3 > 2x + 9$):
Reunimos todas las $x$ en un solo lado (conviene moverlas al lado donde el coeficiente resultante quede positivo) y movemos todos los números al lado opuesto.

Explicación formal

Dada la inecuación bilateral $a x + b > c x + d$, el agrupamiento algebraico establece:

$$a x - c x > d - b \implies (a - c)x > d - b$$

$$x > \frac{d - b}{a - c} \quad \text{si } a - c > 0$$
$$x < \frac{d - b}{a - c} \quad \text{si } a - c < 0$$

Definiciones clave

Inecuación lineal bilateral: Inecuación con términos algebraicos dependientes de la incógnita en ambos miembros.

Propiedades y relaciones importantes

Independencia del miembro seleccionado: Agrupar a la izquierda o a la derecha da exactamente el mismo intervalo solución.

Ejemplo guiado

Ejemplo Resolución de inecuaciones lineales con incógnita en ambos lados

Resuelve la inecuación $5x - 3 > 2x + 9$ agrupando la incógnita en el primer miembro y determina el conjunto solución $S$.

Paso 1: Trasponer $2x$ restando al primer miembro: $5x - 2x - 3 > 9$.Paso 2: Trasponer $-3$ sumando al segundo miembro: $5x - 2x > 9 + 3$.Paso 3: Reducir ambos miembros: $3x > 12$.Paso 4: Trasponer el coeficiente positivo $3$ dividiendo: $x > \frac{12}{3} \implies x > 4$.Paso 5: Escribir la solución en intervalo: $S = ]4, +\infty[$.

Procedimiento

Paso 1: Identificar los términos con la variable $x$ en ambos miembros.
Paso 2: Trasponer las $x$ al miembro deseado invirtiendo sus signos.
Paso 3: Trasponer las constantes numéricas al miembro opuesto invirtiendo sus signos.
Paso 4: Reducir términos semejantes y dividir entre el coeficiente principal.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Trasponer $2x$ al otro lado sin cambiarle el signo (escribir $5x + 2x > 12$).
Cómo corregirlo: Los términos que suman pasan RESTANDO al cruzar el símbolo de inecuación.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Al resolver $5x - 3 < 2x + 9$, se pueden sumar directamente los términos $5x$ y $2x$ en el lado izquierdo obteniendo $7x$."

"Tener incógnitas en ambos miembros exige resolver dos inecuaciones independientes por separado."

"Al restar $5x$ en ambos lados de $3x + 1 \ge 5x - 7$, el resultado es $-2x + 1 \ge -7$ con inversión obligatoria inmediata del operador."

"Agrupar incógnitas en el miembro derecho de una inecuación invalida el procedimiento de resolución."

"Para resolver inecuaciones con incógnita en ambos lados, se agrupan los términos algebraicos en un miembro y las constantes en el otro mediante adición/sustracción."

"Transponer el término $2x$ al lado izquierdo en $5x - 3 < 2x + 9$ exige invertir la dirección de la desigualdad."

"Agrupar términos semejantes mediante adición o sustracción mantiene siempre la dirección original del operador de orden."

Al terminar debes poder

Resumen Resolución de inecuaciones lineales con incógnita en ambos lados

Resolver inecuaciones lineales con presencia de la variable en ambos miembros.

Agrupando todos los términos con incógnita en un miembro y los términos constantes en el miembro contrario.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

En la inecuación $ax + b < cx + d$, si pasamos $cx$ al lado izquierdo y resulta $(a-c)x + b < d$, ¿qué operación hicimos realmente en ambos miembros?
Por las propiedades aditivas, mover un término sumando a través del símbolo de desigualdad equivale a restarlo en ambos miembros.

Respuesta: Restar $cx$ a ambos lados de la inecuación.
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.INCOGNITA_AMBOS_LADOS (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?
1. $2x < 10 - 1$ 2. $x < 4.5$
Respuesta: $x < 4.5$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.INCOGNITA_AMBOS_LADOS (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?
1. $2x < 10 - 0$ 2. $x < 5.0$
Respuesta: $x < 5.0$
Si al agrupar términos en una inecuación el coeficiente de la variable resulta ser negativo, al momento de dividir por dicho coeficiente para despejar, ¿qué regla debe aplicarse?
Una propiedad fundamental de las desigualdades dicta que multiplicar o dividir ambos miembros por un número negativo requiere invertir el símbolo de la desigualdad para conservar la relación correcta.

Respuesta: Se debe invertir el sentido de la desigualdad.
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.INCOGNITA_AMBOS_LADOS (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?
1. $2x < 10 - 2$ 2. $x < 4.0$
Respuesta: $x < 4.0$
¿Cuál es el objetivo principal al resolver una inecuación lineal con incógnitas en ambos lados?
El principio de resolución es reducir la inecuación agrupando los términos semejantes (variables por un lado, constantes por otro) hasta dejar la incógnita despejada.

Respuesta: Aislar la incógnita en uno de los lados y agrupar las constantes en el otro.

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

¿Qué expresión representa correctamente el siguiente paso tras restar $3x$ a ambos lados de la inecuación $7x - 2 > 3x + 10$?
Al restar $3x$ a $7x$ nos queda $4x$. El término constante $-2$ y el $10$ se mantienen inalterados en esta etapa inicial.

Respuesta: $4x - 2 > 10$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.INCOGNITA_AMBOS_LADOS (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?
1. $2x < 10 - 3$ 2. $x < 3.5$
Respuesta: $x < 3.5$

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.INCOGNITA_AMBOS_LADOS, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.INCOGNITA_AMBOS_LADOS, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.INCOGNITA_AMBOS_LADOS, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.
La inecuación $5x - 3 \leq 2x + 9$ se resuelve como $x \leq 4$.
Agrupamos restando $2x$ y sumando $3$: $3x \leq 12$. Al dividir por $3$, obtenemos $x \leq 4$.

Respuesta: Verdadero
El conjunto solución de $-3x + 5 > -5x + 1$ es $x > -2$.
Sumando $5x$ a ambos lados da $2x + 5 > 1$. Restando $5$, obtenemos $2x > -4$. Dividiendo por $2$, queda $x > -2$.

Respuesta: Verdadero
Al resolver $x + 8 < 4x - 1$, la solución correcta es $x < 3$.
Restando $x$ en ambos lados y sumando $1$ resulta $9 < 3x$, o sea $3 < x$, que equivale a $x > 3$, no $x < 3$.

Respuesta: Falso

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.INCOGNITA_AMBOS_LADOS (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?
1. $2x < 10 - 9$ 2. $x < 0.5$
Respuesta: $x < 0.5$
Una empresa fabrica dos productos A y B. El costo en dólares de producir $x$ unidades de A es $C_A = 12x + 50$, y el costo para B es $C_B = 15x - 10$. ¿Para qué cantidad mínima de unidades $x$ (con $x \in \mathbb{Z}^{+}$) el costo del producto B supera al costo del producto A?
Buscamos cuando $C_B > C_A$, es decir, $15x - 10 > 12x + 50$. Agrupamos las $x$ restando $12x$: $3x - 10 > 50$. Sumamos $10$: $3x > 60$. Dividimos por $3$: $x > 20$. Dado que $x$ debe ser un número entero y estrictamente mayor que $20$, la cantidad mínima es $21$ unidades.

Respuesta: $21$ unidades
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.INCOGNITA_AMBOS_LADOS (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?
1. $2x < 10 - 7$ 2. $x < 1.5$
Respuesta: $x < 1.5$
Para qué conjunto de números reales se satisface que la mitad del número más $4$ es estrictamente mayor que el triple del número disminuido en $1$?
Planteamos la inecuación: $\frac{x}{2} + 4 > 3x - 1$. Multiplicamos por $2$ para eliminar fracciones: $x + 8 > 6x - 2$. Restamos $x$ a ambos lados: $8 > 5x - 2$. Sumamos $2$: $10 > 5x$. Dividiendo por $5$, se obtiene $2 > x$, lo que es equivalente a $x < 2$.

Respuesta: $x < 2$
Si $m$ y $n$ son constantes positivas con $m > n$, ¿cuál es la solución de la inecuación $mx - p < nx + q$?
Restamos $nx$ a ambos lados: $mx - nx - p < q$. Factorizamos: $x(m - n) - p < q$. Sumamos $p$: $x(m - n) < q + p$. Ya que nos indican que $m > n$, el factor $(m - n)$ es positivo. Al dividir ambos miembros por un número positivo, la desigualdad no se invierte. El resultado final es $x < \frac{q + p}{m - n}$.

Respuesta: $x < \frac{q + p}{m - n}$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.INCOGNITA_AMBOS_LADOS (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?
1. $2x < 10 - 8$ 2. $x < 1.0$
Respuesta: $x < 1.0$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación