Resolución de inecuaciones lineales con coeficientes fraccionarios
Resumen inicial
Las inecuaciones con coeficientes fraccionarios se simplifican multiplicando por el m.c.m. positivo de los denominadores.
Explicación en palabras simples
Para resolver inecuaciones que contienen fracciones numéricas (como $\frac{x}{2} - \frac{x}{3} \ge 1$):
1. Calculamos el m.c.m. de los denominadores (que siempre es un número positivo).
2. Multiplicamos TODOS los términos de la inecuación por este m.c.m. positivo.
3. Como el m.c.m. es positivo, el símbolo de la inecuación NO cambia de sentido.
4. Resolvemos la inecuación entera obtenida.
Explicación formal
Dada la inecuación con coeficientes fraccionarios $\frac{a_1}{d_1} x + \frac{a_2}{d_2} \ R \ \frac{a_3}{d_3}$, sea $M = \operatorname{lcm}(d_1, d_2, d_3) > 0$. La enterización conservativa establece:
$$M \cdot \left(\frac{a_1}{d_1} x + \frac{a_2}{d_2}\right) \ R \ M \cdot \left(\frac{a_3}{d_3}\right) \implies A_1 x + A_2 \ R \ A_3$$
Desglose de la fórmula:
- $M > 0$: Como el m.c.m. de números positivos es siempre positivo, el operador de orden $R$ conserva su orientación original.
La alternativa correcta es '$3x - 2x > 12$'.
Definiciones clave
- Enterización de inecuación: Multiplicación por el m.c.m. positivo para eliminar fracciones sin alterar el sentido de orden.
Propiedades y relaciones importantes
- Preservación del sentido por $M > 0$: Garantiza que la estructura entera resultante sea totalmente equivalente.
Ejemplo guiado
Resuelve la inecuación con coeficientes fraccionarios $\frac{x}{2} - \frac{x}{3} > 2$ multiplicando por el m.c.m. de los denominadores y evalúa la solución.
- Paso 1: Hallar el m.c.m. de $2$ y $3$: $\operatorname{lcm}(2, 3) = 6 > 0$.Paso 2: Multiplicar cada término por $6$: $6 \cdot \frac{x}{2} - 6 \cdot \frac{x}{3} > 6 \cdot 2$.Paso 3: Simplificar: $3x - 2x > 12$.Paso 4: Reducir términos semejantes: $x > 12$.Paso 5: Escribir el conjunto solución: $S = ]12, +\infty[$.
La alternativa correcta es '$S = ]12, +\infty[$'.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar los denominadores numéricos de las fracciones.
- Paso 2: Calcular el m.c.m. positivo $M$.
- Paso 3: Multiplicar TODOS los términos de ambos miembros por $M$.
- Paso 4: Mantener el mismo símbolo de inecuación.
- Paso 5: Resolver la inecuación de coeficientes enteros resultante.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Multiplicar por el m.c.m. los términos fraccionarios pero olvidar multiplicarlo por los términos enteros del segundo miembro (ejemplo: escribir $3x - 2x > 2$ en vez de $12$).
- Cómo corregirlo: La multiplicación por el m.c.m. DEBE realizarse sobre TODOS los términos de la inecuación.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Pasos de solución.
- Pasos de solución.
- Sí, a diferencia de las ecuaciones que tienen soluciones puntuales.
- Sí, es la regla de oro del despeje en inecuaciones.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Resolver inecuaciones lineales con coeficientes fraccionarios.
Multiplicando todos los términos por el mínimo común múltiplo (mcm) positivo de los denominadores para transformar la inecuación a coeficientes enteros.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.COEFICIENTES_FRACCIONARIOS (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?
- $2x < 10 - 0$ 2. $x < 5.0$
Respuesta: $x < 5.0$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.COEFICIENTES_FRACCIONARIOS (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?
- $2x < 10 - 1$ 2. $x < 4.5$
Respuesta: $x < 4.5$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.COEFICIENTES_FRACCIONARIOS (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?
- $2x < 10 - 2$ 2. $x < 4.0$
Respuesta: $x < 4.0$
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Para eliminar los denominadores en la inecuación $\frac{x}{4} + \frac{1}{6} < 2$, ¿por qué número es más conveniente multiplicar ambos lados de la desigualdad?
Para eliminar las fracciones con el menor factor posible y sin alterar los números enteros, se debe multiplicar por el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores $4$ y $6$, que es $12$.
Respuesta: 2
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¿Qué es incorrecto hacer al transformar la inecuación $\frac{x-2}{3} + 1 \ge \frac{x}{2}$?
Al aplicar la propiedad de multiplicación, esta afecta a TODOS los términos de la desigualdad. Ignorar los términos que no son fraccionarios, como el $+1$, altera el valor de la expresión y produce resultados erróneos.
Respuesta: 1
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Si multiplicamos todos los términos de una inecuación lineal por el Mínimo Común Múltiplo de sus denominadores (el cual es positivo), ¿qué sucede con el signo de la desigualdad?
Una propiedad fundamental de las desigualdades indica que multiplicar o dividir todos los miembros de una inecuación por un número positivo preserva el sentido de la desigualdad original.
Respuesta: 1
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.COEFICIENTES_FRACCIONARIOS (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?
- $2x < 10 - 3$ 2. $x < 3.5$
Respuesta: $x < 3.5$
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Dada la inecuación $\frac{x}{5} - \frac{3}{10} > x$, ¿cuál es la ecuación equivalente correcta después de multiplicar por el MCM de los denominadores?
El MCM de $5$ y $10$ es $10$. Al multiplicar cada término por $10$, resulta $10(\frac{x}{5}) - 10(\frac{3}{10}) > 10(x) \implies 2x - 3 > 10x$. El sentido no se invierte.
Respuesta: 1
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.COEFICIENTES_FRACCIONARIOS, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.
Al restar 4 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.COEFICIENTES_FRACCIONARIOS, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.
Al restar 5 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.COEFICIENTES_FRACCIONARIOS, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.
Al restar 6 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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La inecuación $\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \le 0$ tiene como conjunto solución el intervalo $(-\infty, \frac{1}{2}]$.
Multiplicamos por el MCM, que es $4$: $4(\frac{x}{2}) - 4(\frac{1}{4}) \le 4(0) \implies 2x - 1 \le 0 \implies 2x \le 1 \implies x \le \frac{1}{2}$, que se corresponde con el intervalo dado.
Respuesta: True
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El conjunto solución de la inecuación $\frac{3x - 1}{2} < x$ es $x > 1$.
Al multiplicar por $2$: $3x - 1 < 2x$. Restando $2x$ y sumando $1$: $x < 1$. El sentido era menor que, por lo que la afirmación de $x > 1$ es falsa.
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Si $\frac{x}{3} + 2 \ge \frac{x}{2}$, entonces $x \le 12$.
Multiplicando todos los términos por $6$ (el MCM de $3$ y $2$): $2x + 12 \ge 3x$. Restamos $2x$ en ambos lados: $12 \ge x$, lo cual es equivalente a $x \le 12$.
Respuesta: True
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.COEFICIENTES_FRACCIONARIOS (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?
- $2x < 10 - 7$ 2. $x < 1.5$
Respuesta: $x < 1.5$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.COEFICIENTES_FRACCIONARIOS (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?
- $2x < 10 - 8$ 2. $x < 1.0$
Respuesta: $x < 1.0$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.COEFICIENTES_FRACCIONARIOS (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?
- $2x < 10 - 9$ 2. $x < 0.5$
Respuesta: $x < 0.5$
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Un estudiante tiene una nota $x$ en su primer control. Sabe que si suma la mitad de su nota con la tercera parte de esta, el resultado es menor o igual a $5$. ¿Cuál de los siguientes intervalos representa correctamente los valores posibles de su nota, sabiendo que $x > 0$?
Planteamos la inecuación: $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} \le 5$. El MCM es $6$. Multiplicamos por $6$: $3x + 2x \le 30 \implies 5x \le 30 \implies x \le 6$. Como la nota debe ser mayor a $0$, el intervalo correcto es $(0, 6]$.
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Si el triple de un número disminuido en su cuarta parte es mayor que la suma de sus dos terceras partes y $25$, ¿cuál es el menor entero que cumple dicha condición?
La inecuación es: $3x - \frac{x}{4} > \frac{2x}{3} + 25$. El MCM de $4$ y $3$ es $12$. Multiplicamos por $12$: $36x - 3x > 8x + 300$. Simplificamos: $33x > 8x + 300 \implies 25x > 300 \implies x > 12$. El menor entero que es estrictamente mayor que $12$ es $13$.
Respuesta: 3
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Dado el sistema de restricciones para el presupuesto de un proyecto, se requiere que $\frac{P - 1000}{5} \le \frac{P}{7} + 200$. ¿Cuál es el presupuesto máximo posible $P$ en miles de pesos?
Multiplicamos la inecuación $\frac{P - 1000}{5} \le \frac{P}{7} + 200$ por el MCM que es $35$. Obtenemos $7(P - 1000) \le 5P + 35(200) \implies 7P - 7000 \le 5P + 7000$. Restamos $5P$ y sumamos $7000$: $2P \le 14000 \implies P \le 7000$. El presupuesto máximo es de $7000$ miles de pesos.