Reconocimiento de inecuación lineal sin solución

Resumen inicial

Una inecuación no tiene solución ($S = \emptyset$) cuando las variables se cancelan y se obtiene una contradicción numérica falsa.

Explicación en palabras simples

A veces, al resolver una inecuación (como $2x + 5 < 2x + 1$), las $x$ de ambos lados se cancelan por completo ($2x - 2x = 0$).
Al reducir los números nos queda una mentira matemática como $5 < 1$.
Como $5 < 1$ es una contradicción imposible, concluimos que la inecuación NO TIENE SOLUCIÓN y su conjunto solución es el conjunto vacío $S = \emptyset$.

Explicación formal

Dada la inecuación reducida $0 \cdot x < b - a$ donde $b - a \le 0$, el conjunto solución vacío se formaliza como:

$$0 < k \quad (\text{con } k \le 0) \implies \text{Contradicción matemática } \implies S = \emptyset$$

Desglose of la fórmula:
- $S = \emptyset$: Ningún número real $x \in \mathbb{R}$ es capaz de satisfacer una falsedad numérica.

Definiciones clave

Inecuación inconsistente / sin solución: Inecuación que no posee soluciones en los números reales ($S = \emptyset$).
Contradicción numérica: Proposición falsa resultante tras la cancelación de variables (como $5 < 1$ o $0 > 4$).

Propiedades y relaciones importantes

Vacuidad del conjunto: $|S| = 0$, ningún punto de la recta real satisface la inecuación.

Ejemplo guiado

Ejemplo Reconocimiento de inecuación lineal sin solución

Resuelve la inecuación $4x + 7 < 4x + 2$, analiza la proposición obtenida y determina el conjunto solución $S$.

Paso 1: Trasponer $4x$ al primer miembro: $4x - 4x + 7 < 2$.Paso 2: Cancelar las variables: $0x + 7 < 2 \implies 7 < 2$.Paso 3: Analizar la desigualdad numérica $7 < 2$: es una contradicción FALSO.Paso 4: Concluir que la inecuación carece de solución y su conjunto es $S = \emptyset$.

Procedimiento

Paso 1: Agrupar las variables $x$ en un miembro.
Paso 2: Notar que los coeficientes de $x$ son idénticos y se cancelan ($0x = 0$).
Paso 3: Evaluar la veracidad de la constante restante.
Paso 4: Si la constante es Falsa, declarar $S = \emptyset$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Escribir $S = \{0\}$ al obtener $0 < -5$.
Cómo corregirlo: $S = \{0\}$ significa que el número cero es solución. Si es imposible, se escribe el conjunto vacío $S = \emptyset$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Una inecuación sin solución carece de elementos en $\mathbb{R}$ que hagan verdadera la desigualdad."

"Toda inecuación lineal sin solución debe contener coeficientes irracionales o complejos."

"Una inecuación que resulta en una contradicción numérica como $-2 > 3$ admite a $x = 0$ como solución particular."

"El conjunto vacío $\emptyset$ como solución de una inecuación significa que la ecuación cuadrática asociada tiene dos raíces reales."

"La inecuación $x + 1 < x$ se satisface para todos los números reales negativos."

"Si el despeje de una inecuación elimina la variable y conduce a una contradicción numérica ($0x > k$ con $k > 0$), el conjunto solución es el conjunto vacío $\emptyset$."

"Al reducir una inecuación a la falsedad $0x > 5$, se concluye que el conjunto solución es todo $\mathbb{R}$."

Al terminar debes poder

Resumen Reconocimiento de inecuación lineal sin solución

Reconocer inecuaciones lineales incompatibles cuyo conjunto solución es vacío ($S = \emptyset$).

Identificando la anulación de la variable ($0x$) que deriva en una desigualdad numérica universalmente falsa (ej: $0 > 5$).

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.INECUACION_SIN_SOLUCION (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?
1. $2x < 10 - 0$ 2. $x < 5.0$
Respuesta: $x < 5.0$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.INECUACION_SIN_SOLUCION (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?
1. $2x < 10 - 1$ 2. $x < 4.5$
Respuesta: $x < 4.5$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.INECUACION_SIN_SOLUCION (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?
1. $2x < 10 - 2$ 2. $x < 4.0$
Respuesta: $x < 4.0$

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.INECUACION_SIN_SOLUCION (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?
1. $2x < 10 - 3$ 2. $x < 3.5$
Respuesta: $x < 3.5$

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.INECUACION_SIN_SOLUCION, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.INECUACION_SIN_SOLUCION, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.INECUACION_SIN_SOLUCION, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.INECUACION_SIN_SOLUCION (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?
1. $2x < 10 - 7$ 2. $x < 1.5$
Respuesta: $x < 1.5$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.INECUACION_SIN_SOLUCION (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?
1. $2x < 10 - 8$ 2. $x < 1.0$
Respuesta: $x < 1.0$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.INECUACION_SIN_SOLUCION (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?
1. $2x < 10 - 9$ 2. $x < 0.5$
Respuesta: $x < 0.5$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación