Expresión del conjunto solución como intervalo

Resumen inicial

Expresar la solución de una inecuación como intervalo requiere traducir la desigualdad despejada a la notación de corchetes reales.

Explicación en palabras simples

Una vez que tenemos la desigualdad despejada (como $x \ge 3$), debemos escribirla en notación de intervalo entre corchetes.
- Si $x > a \implies ]a, +\infty[$
- Si $x \ge a \implies [a, +\infty[$
- Si $x < b \implies ]-\infty, b[$
- Si $x \le b \implies ]-\infty, b]$

Explicación formal

La traducción estándar de soluciones inequivalentes a intervalos mapea:

$$x > a \iff S = ]a, +\infty[$$
$$x \ge a \iff S = [a, +\infty[$$
$$x < b \iff S = ]-\infty, b[$$
$$x \le b \iff S = ]-\infty, b]$$

Definiciones clave

Formato de intervalo solución: Representación compacta entre corchetes del conjunto $S \subset \mathbb{R}$.

Propiedades y relaciones importantes

Corchete del infinito: El extremo infinito ($+\infty$ ó $-\infty$) lleva SIEMPRE corchete abierto.

Ejemplo guiado

Ejemplo Expresión del conjunto solución como intervalo

Expresa las soluciones deseadas $x > -2$ y $x \le 7$ en su formato de intervalo correspondiente.

Paso 1: Para $x > -2$: inicia en $-2$ (excluido) y crece sin límite hasta $+\infty \implies S_1 = ]-2, +\infty[$.Paso 2: Para $x \le 7$: proviene desde $-\infty$ hasta $7$ (incluido) $\implies S_2 = ]-\infty, 7]$.Paso 3: Verificar que los infinitos lleven corchetes abiertos.

Procedimiento

Paso 1: Tomar la desigualdad despejada.
Paso 2: Determinar si la solución tiene cota inferior o superior.
Paso 3: Colocar corchete cerrado en el número si es $\le$ ó $\ge$. Colocar abierto si es $<$ ó $>$.
Paso 4: Colocar $+\infty$ ó $-\infty$ con corchete abierto.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Poner corchete cerrado al infinito (escribir $]-\infty, 7]$ con $[-\infty$).
Cómo corregirlo: El infinito no es un número alcanzable, por lo que SIEMPRE lleva corchete abierto.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Traducir la solución $x < 3$ a intervalo produce el conjunto $]3, -\infty[$."

"El conjunto solución $x \le -2$ se expresa mediante el intervalo semiabierto $[-2, -\infty[$."

"La inecuación $-1 \le x < 4$ se escribe en notación de intervalo como $]-1, 4]$."

"Al representar soluciones de inecuaciones en intervalos, el símbolo de infinito se cierra con corchete $[$ o $]$."

"El conjunto solución de $x \ge a$ se escribe como el intervalo $[a, +\infty[$."

"La solución de la inecuación $x > 5$ se traduce en notación de intervalo como el conjunto cerrado $[5, +\infty[$."

"Las desigualdades estrictas ($<, >$) se traducen a intervalos con corchetes abiertos ($], [$), mientras que ($\le, \ge$) usan corchetes cerrados ($[, ]$)."

Al terminar debes poder

Resumen Expresión del conjunto solución como intervalo

Expresar el conjunto solución de una inecuación en notación de intervalo.

Mapeando la desigualdad resultante a corchetes reales ($]a, +\infty[$, $]-\infty, b]$) respetando la inclusión o exclusión de la frontera.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.EXPRESION_INTERVALO (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?
1. $2x < 10 - 0$ 2. $x < 5.0$
Respuesta: $x < 5.0$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.EXPRESION_INTERVALO (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?
1. $2x < 10 - 1$ 2. $x < 4.5$
Respuesta: $x < 4.5$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.EXPRESION_INTERVALO (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?
1. $2x < 10 - 2$ 2. $x < 4.0$
Respuesta: $x < 4.0$
¿Qué diferencia gráfica y notacional existe entre $x < 3$ y $x \le 3$?
El símbolo $<$ es estricto (no incluye el extremo, se usa paréntesis), mientras que $\le$ incluye la igualdad (se usa corchete cerrado).

Respuesta: La primera no incluye el $3$ (paréntesis), la segunda sí (corchete).
Al multiplicar ambos lados de una inecuación lineal por $-1$, ¿qué ocurre geométricamente con el conjunto solución en la recta?
Multiplicar por $-1$ cambia el signo de los números (reflexión en cero) y obliga a invertir el símbolo de la desigualdad para mantener la verdad de la proposición.

Respuesta: Se refleja respecto al cero (cambian los signos y se invierte la dirección de la desigualdad).
Si el resultado de despejar una inecuación lineal es $x > -2$, ¿qué intervalo representa correctamente este conjunto solución?
La condición $x > -2$ implica todos los números mayores que $-2$, extendiéndose hasta el infinito positivo, sin incluir el $-2$. Esto es $(-2, \infty)$.

Respuesta: $(-2, \infty)$

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.EXPRESION_INTERVALO (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?
1. $2x < 10 - 3$ 2. $x < 3.5$
Respuesta: $x < 3.5$
La inecuación lineal $-x < 4$ es equivalente a:
Al multiplicar o dividir por $-1$ ambos lados, debemos invertir la desigualdad, obteniendo $x > -4$.

Respuesta: $x > -4$

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.EXPRESION_INTERVALO, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.EXPRESION_INTERVALO, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.EXPRESION_INTERVALO, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.
El conjunto solución de la inecuación $3x - 5 \le 10$ es el intervalo $(-\infty, 5]$.
Sumando $5$: $3x \le 15$. Dividiendo por $3$: $x \le 5$. El intervalo de números menores o iguales a $5$ es $(-\infty, 5]$.

Respuesta: Verdadero
El conjunto solución de $-2x + 4 < 0$ es $(-\infty, 2)$.
Restando $4$: $-2x < -4$. Al dividir por $-2$, invertimos la desigualdad: $x > 2$. El intervalo correcto es $(2, \infty)$.

Respuesta: Falso
La solución de $\frac{x}{2} + 1 \ge 4$ se puede expresar mediante el intervalo $[6, \infty)$.
Restando $1$: $\frac{x}{2} \ge 3$. Multiplicando por $2$: $x \ge 6$. Esto en intervalo es $[6, \infty)$.

Respuesta: Verdadero

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.EXPRESION_INTERVALO (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?
1. $2x < 10 - 7$ 2. $x < 1.5$
Respuesta: $x < 1.5$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.EXPRESION_INTERVALO (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?
1. $2x < 10 - 8$ 2. $x < 1.0$
Respuesta: $x < 1.0$
En un plan de telefonía celular, el costo mensual $C$ en pesos se calcula como un cargo fijo de $\$5000$ más $\$50$ por cada minuto extra $x$ consumido, es decir, $C = 5000 + 50x$. Si un usuario desea que su factura no supere los $\$12000$, ¿cuál de los siguientes intervalos representa los valores posibles para los minutos extra $x$ consumidos?
La condición es $5000 + 50x \le 12000$. Restando $5000$: $50x \le 7000$. Dividiendo por $50$: $x \le 140$. Como intervalo numérico completo es $(-\infty, 140]$. (El dominio real sería desde $0$).

Respuesta: $(-\infty, 140]$
Al resolver la inecuación $\frac{2x - 3}{3} < \frac{x + 1}{2}$, ¿qué intervalo representa el conjunto solución?
Multiplicamos la inecuación por el mcm $6$: $2(2x - 3) < 3(x + 1)$. Desarrollando: $4x - 6 < 3x + 3$. Restando $3x$ y sumando $6$: $x < 9$. Su intervalo es $(-\infty, 9)$.

Respuesta: $(-\infty, 9)$
Sea el conjunto $P$ la solución de $1 - 4x \ge 13$. ¿A cuál de los siguientes intervalos pertenece el conjunto $P$?
Restando $1$: $-4x \ge 12$. Dividiendo por $-4$ (e invirtiendo la desigualdad): $x \le -3$. Por tanto, el conjunto $P$ es $(-\infty, -3]$.

Respuesta: $(-\infty, -3]$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.EXPRESION_INTERVALO (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?
1. $2x < 10 - 9$ 2. $x < 0.5$
Respuesta: $x < 0.5$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación