Determinación del conjunto solución de una inecuación lineal

Resumen inicial

El conjunto solución $S$ de una inecuación agrupa a la totalidad de los números reales que hacen verdadera la desigualdad.

Explicación en palabras simples

El conjunto solución (denotado $S$) es la reunión formal de todas las respuestas válidas de la inecuación.
Se puede expresar de tres formas equivalentes:
1. Como desigualdad despejada ($x \le 3$).
2. Como intervalo entre corchetes ($]-\infty, 3]$).
3. Como gráfica sombreada en la recta numérica.

Explicación formal

El conjunto solución $S$ para la inecuación $P(x) \ R \ Q(x)$ sobre $\mathbb{R}$ se formaliza mediante la notación de conjuntos por comprensión como:

$$S = \{x \in \mathbb{R} \mid P(x) \ R \ Q(x)\} \subset \mathbb{R}$$

Desglose de la fórmula:
- $S$: Subconjunto real (intervalo acotado o no acotado, conjunto vacío $\emptyset$ o todo $\mathbb{R}$).

Definiciones clave

Conjunto solución ($S$): Conjunto de números reales que satisfacen la inecuación lineal.
Representaciones equivalentes: Formas simbólicas (desigualdad, intervalo y gráfica) de comunicar el mismo conjunto $S$.

Propiedades y relaciones importantes

Densidad del conjunto: Todo intervalo solución no vacío contiene infinitos elementos reales.

Ejemplo guiado

Ejemplo Determinación del conjunto solución de una inecuación lineal

Determina el conjunto solución $S$ de la inecuación $-2x + 6 \ge 0$ y exprésalo en notación de intervalo.

Paso 1: Trasponer $+6$ restando: $-2x \ge -6$.Paso 2: Dividir entre $-2$ e INVERTIMOS el símbolo $\ge$ a $\le$: $x \le \frac{-6}{-2}$.Paso 3: Calcular la división: $x \le 3$.Paso 4: Escribir el conjunto solución en notación de intervalo: $S = ]-\infty, 3]$.

Procedimiento

Paso 1: Despejar totalmente la variable $x$ de la inecuación.
Paso 2: Escribir la notación por comprensión $\{x \in \mathbb{R} \mid x \dots\}$.
Paso 3: Convertir la relación a notación de intervalo con corchetes.
Paso 4: Graficar en la recta real si el problema lo solicita.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Olvidar incluir el $-\infty$ al escribir el intervalo de una solución tipo $x \le 3$.
Cómo corregirlo: Las soluciones 'menores o iguales que 3' vienen desde el infinito negativo: $]-\infty, 3]$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"El conjunto solución de una inecuación lineal está formado por todos los valores reales que hacen verdadera la desigualdad."

"El conjunto solución de una inecuación lineal de primer grado siempre se compone de un número finito de elementos."

"Un conjunto solución infinito se puede expresar mediante comprensión, notación de intervalos o representación gráfica."

"Al despejar $x - 4 \ge 1$, la solución consiste en el único valor frontera $x = 5$."

"Probar que $x = 0$ satisface $3x < 9$ demuestra que $x = 0$ es la única solución del ejercicio."

"Un número candidato $k$ pertenece al conjunto solución de una inecuación si al reemplazarlo transforma la expresión en una falsedad."

"El conjunto solución de la inecuación $2x - 6 > 0$ incluye únicamente a los números enteros mayores que $3$."

Al terminar debes poder

Resumen Determinación del conjunto solución de una inecuación lineal

Determinar y formalizar el conjunto solución continuo de una inecuación lineal.

Expresando el conjunto por comprensión ($S = \{x \in \mathbb{R} \mid x > c\}$) y caracterizándolo como un intervalo infinito en la recta real.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.CONJUNTO_SOLUCION (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?
1. $2x < 10 - 0$ 2. $x < 5.0$
Respuesta: $x < 5.0$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.CONJUNTO_SOLUCION (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?
1. $2x < 10 - 1$ 2. $x < 4.5$
Respuesta: $x < 4.5$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.CONJUNTO_SOLUCION (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?
1. $2x < 10 - 2$ 2. $x < 4.0$
Respuesta: $x < 4.0$

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.CONJUNTO_SOLUCION (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?
1. $2x < 10 - 3$ 2. $x < 3.5$
Respuesta: $x < 3.5$

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.CONJUNTO_SOLUCION, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.CONJUNTO_SOLUCION, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.CONJUNTO_SOLUCION, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.CONJUNTO_SOLUCION (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?
1. $2x < 10 - 7$ 2. $x < 1.5$
Respuesta: $x < 1.5$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.CONJUNTO_SOLUCION (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?
1. $2x < 10 - 8$ 2. $x < 1.0$
Respuesta: $x < 1.0$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.CONJUNTO_SOLUCION (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?
1. $2x < 10 - 9$ 2. $x < 0.5$
Respuesta: $x < 0.5$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación