Determinación del conjunto solución de una inecuación lineal

Resumen inicial

El conjunto solución $S$ de una inecuación agrupa a la totalidad de los números reales que hacen verdadera la desigualdad.

Explicación en palabras simples

El conjunto solución (denotado $S$) es la reunión formal de todas las respuestas válidas de la inecuación.
Se puede expresar de tres formas equivalentes:
1. Como desigualdad despejada ($x \le 3$).
2. Como intervalo entre corchetes ($]-\infty, 3]$).
3. Como gráfica sombreada en la recta numérica.

Explicación formal

El conjunto solución $S$ para la inecuación $P(x) \ R \ Q(x)$ sobre $\mathbb{R}$ se formaliza mediante la notación de conjuntos por comprensión como:

$$S = \{x \in \mathbb{R} \mid P(x) \ R \ Q(x)\} \subset \mathbb{R}$$

Desglose de la fórmula:
- $S$: Subconjunto real (intervalo acotado o no acotado, conjunto vacío $\emptyset$ o todo $\mathbb{R}$).

Definiciones clave

Conjunto solución ($S$): Conjunto de números reales que satisfacen la inecuación lineal.
Representaciones equivalentes: Formas simbólicas (desigualdad, intervalo y gráfica) de comunicar el mismo conjunto $S$.

Propiedades y relaciones importantes

Densidad del conjunto: Todo intervalo solución no vacío contiene infinitos elementos reales.

Ejemplo guiado

Ejemplo Determinación del conjunto solución de una inecuación lineal

Determina el conjunto solución $S$ de la inecuación $-2x + 6 \ge 0$ y exprésalo en notación de intervalo.

Paso 1: Trasponer $+6$ restando: $-2x \ge -6$.Paso 2: Dividir entre $-2$ e INVERTIMOS el símbolo $\ge$ a $\le$: $x \le \frac{-6}{-2}$.Paso 3: Calcular la división: $x \le 3$.Paso 4: Escribir el conjunto solución en notación de intervalo: $S = ]-\infty, 3]$.

Procedimiento

Paso 1: Despejar totalmente la variable $x$ de la inecuación.
Paso 2: Escribir la notación por comprensión $\{x \in \mathbb{R} \mid x \dots\}$.
Paso 3: Convertir la relación a notación de intervalo con corchetes.
Paso 4: Graficar en la recta real si el problema lo solicita.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Olvidar incluir el $-\infty$ al escribir el intervalo de una solución tipo $x \le 3$.
Cómo corregirlo: Las soluciones 'menores o iguales que 3' vienen desde el infinito negativo: $]-\infty, 3]$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Al despejar $x - 4 \ge 1$, la solución consiste en el único valor frontera $x = 5$."

"El conjunto solución de una inecuación lineal de primer grado siempre se compone de un número finito de elementos."

"El conjunto solución de la inecuación $2x - 6 > 0$ incluye únicamente a los números enteros mayores que $3$."

"Un número candidato $k$ pertenece al conjunto solución de una inecuación si al reemplazarlo transforma la expresión en una falsedad."

"Un conjunto solución infinito se puede expresar mediante comprensión, notación de intervalos o representación gráfica."

"El conjunto solución de una inecuación lineal está formado por todos los valores reales que hacen verdadera la desigualdad."

"Probar que $x = 0$ satisface $3x < 9$ demuestra que $x = 0$ es la única solución del ejercicio."

Al terminar debes poder

Resumen Determinación del conjunto solución de una inecuación lineal

Determinar y formalizar el conjunto solución continuo de una inecuación lineal.

Expresando el conjunto por comprensión ($S = \{x \in \mathbb{R} \mid x > c\}$) y caracterizándolo como un intervalo infinito en la recta real.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.CONJUNTO_SOLUCION (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?
1. $2x < 10 - 0$ 2. $x < 5.0$
Respuesta: $x < 5.0$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.CONJUNTO_SOLUCION (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?
1. $2x < 10 - 1$ 2. $x < 4.5$
Respuesta: $x < 4.5$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.CONJUNTO_SOLUCION (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?
1. $2x < 10 - 2$ 2. $x < 4.0$
Respuesta: $x < 4.0$

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.CONJUNTO_SOLUCION (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?
1. $2x < 10 - 3$ 2. $x < 3.5$
Respuesta: $x < 3.5$

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.CONJUNTO_SOLUCION, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.CONJUNTO_SOLUCION, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.CONJUNTO_SOLUCION, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.CONJUNTO_SOLUCION (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?
1. $2x < 10 - 7$ 2. $x < 1.5$
Respuesta: $x < 1.5$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.CONJUNTO_SOLUCION (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?
1. $2x < 10 - 8$ 2. $x < 1.0$
Respuesta: $x < 1.0$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.CONJUNTO_SOLUCION (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?
1. $2x < 10 - 9$ 2. $x < 0.5$
Respuesta: $x < 0.5$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación