Cambio de sentido al multiplicar por negativo durante el despeje

Resumen inicial

Multiplicar o dividir una inecuación por un coeficiente negativo invierte inmediatamente el sentido del operador de orden.

Explicación en palabras simples

Si en el último paso del despeje de una inecuación nos queda un número negativo acompañando a la $x$ (como en $-5x < 20$), al pasar ese $-5$ a dividir DEBEMOS DAR VUELTA EL SÍMBOLO.

El símbolo $<$ se convierte en $>$ y la respuesta correcta es $x > \frac{20}{-5} \implies x > -4$.

Explicación formal

Dada la inecuación lineal con coeficiente principal negativo $-a x \ R \ b$ con $a > 0$, la regla de inversión por coeficiente negativo establece:

$$-a x < b \iff x > \frac{b}{-a} \quad \land \quad -a x \ge b \iff x \le \frac{b}{-a}$$

Desglose de la fórmula:
- Inversión simultánea del operador de orden al trasponer el factor escalar negativo $-a$ como divisor.

Definiciones clave

Inversión de operador por despeje negativo: Transformación obligatoria del operador de orden al trasponer factores o divisores negativos.

Propiedades y relaciones importantes

Reflejo en el origen: Preserva la equivalencia lógica del conjunto solución en la recta real.

Ejemplo guiado

Ejemplo Cambio de sentido al multiplicar por negativo durante el despeje

Resuelve la inecuación $-3x + 4 \le 19$ invirtiendo el sentido del operador en el momento adecuado.

Paso 1: Trasponer $+4$ restando: $-3x \le 19 - 4 \implies -3x \le 15$.
Paso 2: Trasponer el coeficiente $-3$ dividiendo e INVERTIR el símbolo $\le$ a $\ge$: $x \ge \frac{15}{-3}$.
Paso 3: Calcular la división: $x \ge -5$.
Paso 4: Escribir el conjunto solución: $S = [-5, +\infty[$.

Procedimiento

Paso 1: Trasponer las constantes al segundo miembro.
Paso 2: Identificar que el coeficiente de $x$ es negativo.
Paso 3: Pasar el coeficiente negativo a dividir al segundo miembro.
Paso 4: Dar vuelta la dirección del símbolo de desigualdad.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Cambiar el signo del número en el divisor y olvidar voltear el símbolo de la inecuación.
Cómo corregirlo: La regla exige DOS cosas: pasar el número negativo a dividir Y voltear la flecha del símbolo.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La regla de cambio de sentido del operador aplica al restar una constante negativa como $-4$ a ambos miembros."

"Multiplicar ambos lados de $-x \ge 5$ por $-1$ genera como resultado directo $x \ge -5$."

"Las operaciones aditivas de suma y resta no alteran el sentido del operador de orden sin importar el signo de las constantes."

"Al dividir $-5x \le -20$ entre $-5$, la inecuación resultante se escribe como $x \le 4$."

"Invertir el símbolo de desigualdad al dividir por un coeficiente negativo invalida la verificación numérica en $\mathbb{R}$."

"Dividir o multiplicar ambos miembros de una inecuación lineal por una cantidad negativa exige invertir el sentido del símbolo de desigualdad."

"Al despejar la inecuación $-3x < 12$ dividiendo por $-3$, el operador de orden se mantiene produciendo la solución $x < -4$."

Al terminar debes poder

Resumen Cambio de sentido al multiplicar por negativo durante el despeje

Aplicar la inversión obligatoria de sentido al multiplicar o dividir por un factor negativo.

Cambiando la orientación del operador ($<$ pasa a $>$, $\le$ pasa a $\ge$) al momento exacto de transponer un coeficiente con signo menos.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.MULTIPLICACION_NEGATIVA_DESPEJE (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?
1. $2x < 10 - 0$ 2. $x < 5.0$
Respuesta: $x < 5.0$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.MULTIPLICACION_NEGATIVA_DESPEJE (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?
1. $2x < 10 - 1$ 2. $x < 4.5$
Respuesta: $x < 4.5$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.MULTIPLICACION_NEGATIVA_DESPEJE (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?
1. $2x < 10 - 2$ 2. $x < 4.0$
Respuesta: $x < 4.0$
Si $x < y$ y $k < 0$, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta según las propiedades de las desigualdades?
¿Qué ocurre con la representación en la recta numérica de una inecuación si dividimos ambos miembros por $-1$?
En la resolución de una inecuación, ¿cuál de las siguientes operaciones obliga a invertir el signo de desigualdad?

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Identifica la inecuación equivalente a $-4x \geq 8$.
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.MULTIPLICACION_NEGATIVA_DESPEJE (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?
1. $2x < 10 - 3$ 2. $x < 3.5$
Respuesta: $x < 3.5$

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.MULTIPLICACION_NEGATIVA_DESPEJE, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.MULTIPLICACION_NEGATIVA_DESPEJE, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.MULTIPLICACION_NEGATIVA_DESPEJE, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.
La solución de la inecuación $7 - 3x < 1$ es $x < 2$.
La inecuación $-\frac{x}{2} \geq 4$ equivale a $x \leq -8$.
Al resolver $5(1 - x) > 15$, se obtiene como solución el intervalo $(-\infty, -2)$.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.MULTIPLICACION_NEGATIVA_DESPEJE (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?
1. $2x < 10 - 7$ 2. $x < 1.5$
Respuesta: $x < 1.5$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.MULTIPLICACION_NEGATIVA_DESPEJE (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?
1. $2x < 10 - 8$ 2. $x < 1.0$
Respuesta: $x < 1.0$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.MULTIPLICACION_NEGATIVA_DESPEJE (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?
1. $2x < 10 - 9$ 2. $x < 0.5$
Respuesta: $x < 0.5$
El conjunto solución de la inecuación $\frac{2 - 3x}{-4} \leq -1$ es:
Si $m < n < 0$, ¿cuál es el conjunto solución para la inecuación $(m-n)x \leq m^2 - n^2$?
Considera la inecuación $a x + b > c$, donde $a < 0$. ¿Qué condición debe cumplirse para que el conjunto solución sea el intervalo $(-\infty, 0)$?

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación