Cambio de sentido al multiplicar por negativo durante el despeje
Comprender y aplicar la regla de inversión del sentido de la desigualdad al multiplicar o dividir por un número negativo.
Introducción
En el trabajo con inecuaciones, una de las diferencias más importantes respecto a las ecuaciones es el comportamiento ante operaciones con números negativos, lo que garantiza la conservación de las relaciones de orden.
Explicación
Definición formal
Dada una inecuación de la forma $a x < b$, si $a < 0$, al dividir ambos miembros por $a$ (lo que equivale a multiplicar por $1/a$, siendo $1/a < 0$), la relación de orden se invierte, resultando en $x > b/a$. En general, si $x < y$ y $c < 0$, entonces $x \\cdot c > y \\cdot c$.
Desarrollo didáctico
Las inecuaciones representan balanzas en desequilibrio. Cuando aplicamos una operación que preserva el orden, el desequilibrio se mantiene en la misma dirección. Sin embargo, los números negativos invierten la posición relativa de los números en la recta numérica. Por ello, una desigualdad verdadera como $2 < 5$ se transforma en $-2 > -5$ al multiplicar por $-1$. Este principio se extiende al despejar variables: si tenemos un coeficiente negativo multiplicando a la incógnita, debemos revertir la dirección de la desigualdad al pasarlo dividiendo (o multiplicando) para encontrar el intervalo solución correcto.
Cómo hacerlo paso a paso
- Aislar el término que contiene la variable en uno de los lados de la inecuación usando sumas o restas.
- Identificar el coeficiente que multiplica a la variable.
- Si el coeficiente es negativo, multiplicar o dividir ambos lados por dicho coeficiente e invertir inmediatamente el sentido del signo de desigualdad.
- Simplificar el resultado y expresar la solución en forma de intervalo o conjunto, según sea requerido.
Ejemplos
1 Resuelve la inecuación $-3x < 12$.
- Dividimos ambos lados por $-3$.
- Como $-3$ es negativo, invertimos el signo de menor que a mayor que.
- Obtenemos $x > -4$.
2 Encuentra el conjunto solución para $5 - 2x \\geq 11$.
- Restamos $5$ en ambos lados - $-2x \\geq 6$.
- Dividimos entre $-2$ y simultáneamente invertimos el signo de desigualdad.
- La solución final es $x \\leq -3$.
3 ¿Se mantiene la desigualdad?
- {"Observamos la proposición": "Si $-x < 4$, entonces $x < -4$."}
- Al multiplicar por $-1$, debemos invertir el signo de desigualdad.
- El resultado correcto es $x > -4$.
4 ¿Es correcto el sentido de la desigualdad?
- {"Evaluamos": "Si $-5x \\\\geq -15$, entonces $x \\\\leq 3$."}
- Al dividir ambos lados entre $-5$ (número negativo), el signo $\\geq$ debe cambiar a $\\leq$.
- Operando se obtiene $x \\leq 3$, por lo que el proceso es correcto.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Pasar dividiendo un número negativo sin cambiar el sentido de la desigualdad."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Invertir la desigualdad al restar un número negativo en ambos lados."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cambiar el signo de la desigualdad cuando se divide por un número positivo si el otro lado es negativo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que el signo de desigualdad se invierte solo al trabajar con fracciones negativas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar el signo negativo al realizar la división y además no invertir la desigualdad."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al resolver inecuaciones lineales, multiplicar o dividir ambos lados por un número negativo obliga a invertir el signo de desigualdad para mantener la validez de la proposición matemática.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.MULTIPLICACION_NEGATIVA_DESPEJE (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?
- $2x < 10 - 0$ 2. $x < 5.0$
Respuesta: $x < 5.0$
-
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.MULTIPLICACION_NEGATIVA_DESPEJE (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?
- $2x < 10 - 1$ 2. $x < 4.5$
Respuesta: $x < 4.5$
-
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.MULTIPLICACION_NEGATIVA_DESPEJE (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?
- $2x < 10 - 2$ 2. $x < 4.0$
Respuesta: $x < 4.0$
-
Si $x < y$ y $k < 0$, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta según las propiedades de las desigualdades?
-
¿Qué ocurre con la representación en la recta numérica de una inecuación si dividimos ambos miembros por $-1$?
-
En la resolución de una inecuación, ¿cuál de las siguientes operaciones obliga a invertir el signo de desigualdad?
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Identifica la inecuación equivalente a $-4x \geq 8$.
-
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.MULTIPLICACION_NEGATIVA_DESPEJE (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?
- $2x < 10 - 3$ 2. $x < 3.5$
Respuesta: $x < 3.5$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.MULTIPLICACION_NEGATIVA_DESPEJE, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.
Al restar 4 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
-
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.MULTIPLICACION_NEGATIVA_DESPEJE, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.
Al restar 5 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
-
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.MULTIPLICACION_NEGATIVA_DESPEJE, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.
Al restar 6 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
-
La solución de la inecuación $7 - 3x < 1$ es $x < 2$.
-
La inecuación $-\frac{x}{2} \geq 4$ equivale a $x \leq -8$.
-
Al resolver $5(1 - x) > 15$, se obtiene como solución el intervalo $(-\infty, -2)$.
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.MULTIPLICACION_NEGATIVA_DESPEJE (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?
- $2x < 10 - 7$ 2. $x < 1.5$
Respuesta: $x < 1.5$
-
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.MULTIPLICACION_NEGATIVA_DESPEJE (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?
- $2x < 10 - 8$ 2. $x < 1.0$
Respuesta: $x < 1.0$
-
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_LINEALES.MULTIPLICACION_NEGATIVA_DESPEJE (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?
- $2x < 10 - 9$ 2. $x < 0.5$
Respuesta: $x < 0.5$
-
El conjunto solución de la inecuación $\frac{2 - 3x}{-4} \leq -1$ es:
-
Si $m < n < 0$, ¿cuál es el conjunto solución para la inecuación $(m-n)x \leq m^2 - n^2$?
-
Considera la inecuación $a x + b > c$, donde $a < 0$. ¿Qué condición debe cumplirse para que el conjunto solución sea el intervalo $(-\infty, 0)$?