Uso de recíprocos en desigualdades
Aplicar la propiedad del inverso multiplicativo en desigualdades con términos del mismo signo.
Introducción
Cuando se toman los inversos multiplicativos de ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la desigualdad puede cambiar dependiendo de los signos de los números involucrados.
Explicación
Definición formal
Si $0 < a < b$, entonces $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$.
Si $a < b < 0$, entonces $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$.
Desarrollo didáctico
Esta propiedad se cumple porque, al dividir la unidad entre una cantidad mayor, el resultado es una fracción más pequeña. Sin embargo, es vital asegurar que ambos valores tengan el mismo signo. Si tienen signos opuestos (por ejemplo, $a < 0 < b$), un número negativo siempre será menor que uno positivo, por lo que el inverso del negativo también será menor que el inverso del positivo, y el sentido no se invierte.
Cómo hacerlo paso a paso
- Verificar que ambos términos de la desigualdad sean estrictamente del mismo signo (ambos positivos o ambos negativos).
- Tomar el inverso multiplicativo (recíproco) de cada término.
- Invertir el sentido del símbolo de desigualdad.
Ejemplos
1 Compara los inversos multiplicativos de $2$ y $5$, sabiendo que $2 < 5$.
- Ambos números son positivos y $2 < 5$.
- Se toman los inversos: $\frac{1}{2}$ y $\frac{1}{5}$.
- Como tienen el mismo signo, se invierte el sentido: $\frac{1}{2} > \frac{1}{5}$.
2 Si $x > 3$, ¿qué se puede afirmar sobre $\frac{1}{x}$?
- Dado que $x > 3$, ambos valores son positivos.
- Se toma el inverso multiplicativo de ambos lados.
- Se invierte la desigualdad obteniendo $\frac{1}{x} < \frac{1}{3}$.
- Además, al ser positivos, se tiene $0 < \frac{1}{x} < \frac{1}{3}$.
3 ¿Se invierte la desigualdad al tomar inversos si un número es negativo y otro positivo?
- Si $a < 0$ y $b > 0$, entonces $\frac{1}{a}$ es negativo y $\frac{1}{b}$ es positivo.
- Un número negativo siempre es menor que uno positivo, por lo que $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ y el sentido se mantiene.
4 ¿Es correcta la implicación si $a < b < 0$, entonces $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$?
- Como $a$ y $b$ son ambos negativos, tienen el mismo signo.
- Al tomar el inverso multiplicativo, la propiedad indica que se debe invertir el sentido de la desigualdad.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Si $a < b$, entonces siempre se cumple que $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ independientemente de los signos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"El inverso multiplicativo de un número cambia el signo del número original."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Si $a < 0 < b$, al aplicar el inverso se obtiene $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"El cero tiene inverso multiplicativo y mantiene la relación de orden."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Si $x > y$, el inverso $\frac{1}{x}$ siempre será igual al inverso de $y$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Si dos números tienen el mismo signo, el orden de sus inversos multiplicativos se invierte.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Pregunta generada para MAT.ALG.DESIG_PROPIEDADES.INVERSO_MULTIPLICATIVO de tipo conceptual número 1.
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Pregunta generada para MAT.ALG.DESIG_PROPIEDADES.INVERSO_MULTIPLICATIVO de tipo conceptual número 3.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Pregunta generada para MAT.ALG.DESIG_PROPIEDADES.INVERSO_MULTIPLICATIVO de tipo reconocimiento número 4.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Pregunta generada para MAT.ALG.DESIG_PROPIEDADES.INVERSO_MULTIPLICATIVO de tipo procedimiento_basico número 5.
Respuesta: Falso
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Pregunta generada para MAT.ALG.DESIG_PROPIEDADES.INVERSO_MULTIPLICATIVO de tipo procedimiento_basico número 6.
Respuesta: Falso
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Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Pregunta generada para MAT.ALG.DESIG_PROPIEDADES.INVERSO_MULTIPLICATIVO de tipo tipo_paes número 8.
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Pregunta generada para MAT.ALG.DESIG_PROPIEDADES.INVERSO_MULTIPLICATIVO de tipo tipo_paes número 10.