Multiplicación de una desigualdad por una cantidad positiva
Multiplicar ambos lados de una desigualdad por un número real positivo manteniendo el sentido de la desigualdad.
Introducción
Al ampliar o escalar valores en una desigualdad mediante multiplicación, es vital entender que los números positivos preservan el orden relativo entre las cantidades.
Explicación
Definición formal
Sean $a, b, c \in \mathbb{R}$, con $c > 0$. Si $a < b$, entonces $a \cdot c < b \cdot c$. Análogamente para $>, \leq$ y $\geq$.
Desarrollo didáctico
Multiplicar por un número positivo es como estirar proporcionalmente una recta numérica. Las distancias cambian, pero el número que estaba a la derecha seguirá estando a la derecha.
Cómo hacerlo paso a paso
- Verificar que el factor por el cual se va a multiplicar sea positivo.
- Multiplicar el lado izquierdo de la desigualdad por el factor.
- Multiplicar el lado derecho de la desigualdad por el mismo factor.
- Simplificar, conservando la orientación original de la desigualdad.
Ejemplos
1 Resuelva la desigualdad $\frac{x}{3} > 4$.
- Multiplicar ambos lados por $3$, que es positivo.
- $3 \cdot \frac{x}{3} > 3 \cdot 4$.
- Simplificar: $x > 12$.
2 Resuelva $\frac{y}{5} \leq 2$.
- Multiplicar por $5$ (número positivo) en ambos lados.
- Simplificar para obtener $y \leq 10$.
3 ¿Es cierto que $3 < 7$ implica que $3(2) < 7(2)$?
- El factor $2$ es positivo.
- Al multiplicar, se obtiene $6 < 14$, lo que se cumple.
4 ¿Cambia la desigualdad si multiplicamos por $0.5$?
- El número $0.5$ es mayor que cero.
- Cualquier multiplicación por un número positivo mantiene el orden.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Multiplicar por un número positivo invierte el sentido de la desigualdad."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Si se multiplica por una fracción positiva, la desigualdad se invierte."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"El sentido cambia si los términos de la desigualdad son negativos inicialmente."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"La propiedad no es válida para desigualdades estrictas ($<$ o $>$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Solo los enteros positivos mantienen el signo de la desigualdad."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al multiplicar ambos miembros de una desigualdad por un número estrictamente mayor que cero, el sentido de la desigualdad no cambia.
Practica
Multiple choice
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Pregunta conceptual 1 sobre MULTIPLICACION_POSITIVA
Paso 1 conceptual Paso 2 conceptual
Respuesta: Opción A
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Pregunta conceptual 2 sobre MULTIPLICACION_POSITIVA
Paso 1 conceptual Paso 2 conceptual
Respuesta: Opción A
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Pregunta conceptual 3 sobre MULTIPLICACION_POSITIVA
Paso 1 conceptual Paso 2 conceptual
Respuesta: Opción A
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Pregunta de reconocimiento sobre MULTIPLICACION_POSITIVA
Paso único de reconocimiento
Respuesta: Op A
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Problema estilo PAES 1 de MULTIPLICACION_POSITIVA
Análisis inicial Desarrollo algebraico Conclusión final
Respuesta: Alternativa B
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Problema estilo PAES 2 de MULTIPLICACION_POSITIVA
Análisis inicial Desarrollo algebraico Conclusión final
Respuesta: Alternativa B
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Problema estilo PAES 3 de MULTIPLICACION_POSITIVA
Análisis inicial Desarrollo algebraico Conclusión final
Respuesta: Alternativa B
True false
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Pregunta de procedimiento básico 1 para MULTIPLICACION_POSITIVA
Paso 1 del cálculo Paso 2 del cálculo
Respuesta: Verdadero
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Pregunta de procedimiento básico 2 para MULTIPLICACION_POSITIVA
Paso 1 del cálculo Paso 2 del cálculo
Respuesta: Verdadero
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Pregunta de procedimiento básico 3 para MULTIPLICACION_POSITIVA
Paso 1 del cálculo Paso 2 del cálculo
Respuesta: Verdadero