Extracción de raíz de índice impar en una desigualdad
Aplicar la extracción de raíces de índice impar a una desigualdad conservando su sentido original.
Introducción
A diferencia de las raíces de índice par, las raíces de índice impar se pueden aplicar a números tanto positivos como negativos. Esta operación siempre conserva el sentido de la desigualdad original.
Explicación
Definición formal
Si $a < b$ y $n$ es un número natural impar, entonces $\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}$.
Desarrollo didáctico
La función raíz de índice impar, $f(x) = \sqrt[n]{x}$ donde $n$ es impar, está definida para todos los números reales y es una función estrictamente creciente en todo su dominio. Esto garantiza que sin importar si los números involucrados son positivos o negativos, el orden relativo se mantendrá intacto tras aplicar la raíz.
Cómo hacerlo paso a paso
- Identificar el índice impar de la raíz que se desea extraer.
- Aplicar la raíz a ambos lados de la desigualdad.
- Mantener el sentido original del símbolo de desigualdad.
Ejemplos
1 Compara las raíces cúbicas de $8$ y $27$, sabiendo que $8 < 27$.
- Se tiene la desigualdad $8 < 27$.
- Se extrae raíz cúbica a ambos lados: $\sqrt[3]{8}$ y $\sqrt[3]{27}$.
- El sentido se conserva: $\sqrt[3]{8} < \sqrt[3]{27}$.
- Lo cual es correcto ya que $2 < 3$.
2 Aplica raíz cúbica a la desigualdad $-64 < -8$.
- Se parte de la desigualdad verdadera $-64 < -8$.
- Se aplica raíz cúbica (índice impar 3) a ambos lados.
- El sentido se mantiene: $\sqrt[3]{-64} < \sqrt[3]{-8}$.
- Al resolver, se obtiene $-4 < -2$, que sigue siendo verdadero.
3 ¿Cambia el sentido de la desigualdad al extraer raíz quinta?
- El número $5$ es un índice impar.
- La extracción de raíces de índice impar preserva la relación de orden para cualquier número real.
4 ¿Es cierto que $\sqrt[7]{x} < \sqrt[7]{y}$ implica necesariamente $x < y$?
- La raíz séptima tiene índice impar y es una función estrictamente creciente.
- Por lo tanto, la relación de orden en las imágenes implica la misma relación de orden en los argumentos.
Ejemplos Verdadero/Falso
"La raíz de índice impar invierte la desigualdad si los números son negativos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No se puede calcular una raíz de índice impar de un número negativo en una desigualdad."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Si $a < b$, entonces $\sqrt[3]{a} > \sqrt[3]{b}$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Extraer raíz cúbica elimina el signo negativo, haciendo que todos los valores sean mayores."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"El sentido se mantiene solo si $a$ y $b$ son números positivos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Si se extrae la raíz de índice impar a ambos miembros de una desigualdad, el sentido se conserva para cualquier valor real.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Pregunta generada para MAT.ALG.DESIG_PROPIEDADES.RAIZ_INDICE_IMPAR de tipo conceptual número 1.
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Pregunta generada para MAT.ALG.DESIG_PROPIEDADES.RAIZ_INDICE_IMPAR de tipo conceptual número 2.
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Pregunta generada para MAT.ALG.DESIG_PROPIEDADES.RAIZ_INDICE_IMPAR de tipo conceptual número 3.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Pregunta generada para MAT.ALG.DESIG_PROPIEDADES.RAIZ_INDICE_IMPAR de tipo reconocimiento número 4.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Pregunta generada para MAT.ALG.DESIG_PROPIEDADES.RAIZ_INDICE_IMPAR de tipo procedimiento_basico número 5.
Respuesta: Falso
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Pregunta generada para MAT.ALG.DESIG_PROPIEDADES.RAIZ_INDICE_IMPAR de tipo procedimiento_basico número 6.
Respuesta: Falso
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Pregunta generada para MAT.ALG.DESIG_PROPIEDADES.RAIZ_INDICE_IMPAR de tipo procedimiento_basico número 7.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Pregunta generada para MAT.ALG.DESIG_PROPIEDADES.RAIZ_INDICE_IMPAR de tipo tipo_paes número 8.
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Pregunta generada para MAT.ALG.DESIG_PROPIEDADES.RAIZ_INDICE_IMPAR de tipo tipo_paes número 9.
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Pregunta generada para MAT.ALG.DESIG_PROPIEDADES.RAIZ_INDICE_IMPAR de tipo tipo_paes número 10.