Detección de error por no invertir el sentido de una desigualdad
Identificar y evitar equivocaciones al decidir si una operación matemática altera o no el sentido de una desigualdad.
Introducción
Resolver inecuaciones exige conocer precisamente qué operaciones conservan la desigualdad y cuáles la invierten. Los errores al respecto pueden cambiar por completo el conjunto solución.
Explicación
Definición formal
Sea $a < b$.
Si $c \in \mathbb{R}$, entonces $a + c < b + c$.
Si $c > 0$, entonces $a \cdot c < b \cdot c$.
Si $c < 0$, entonces $a \cdot c > b \cdot c$.
Desarrollo didáctico
Un error frecuente es asumir que restar un número (que se percibe como una operación "negativa") altera el sentido. Sin embargo, desplazar los puntos a la izquierda o a la derecha en la recta numérica (suma y resta) no altera su orden relativo. Únicamente la dilatación/contracción combinada con una reflexión (multiplicación/división por negativos) es la que transpone la relación de orden.
Cómo hacerlo paso a paso
- Observar la operación que se aplica a ambos lados de la desigualdad.
- Si es suma o resta, el sentido de la desigualdad nunca cambia.
- Si es multiplicación o división, el sentido solo cambia si el factor o divisor es un número estrictamente negativo.
Ejemplos
1 Resuelve $x + 5 < 2$ y justifica si cambia el sentido.
- Se tiene la inecuación $x + 5 < 2$.
- Para despejar, se resta $5$ a ambos lados: $x < 2 - 5$.
- Como es una resta, el sentido de la desigualdad no cambia.
- El resultado es $x < -3$.
2 Aplica una división a $4x \geq -12$ e indica cómo se mantiene el signo.
- Se parte de $4x \geq -12$.
- Se divide por $4$, que es un valor positivo.
- Al ser positivo, el sentido se conserva.
- El resultado es $x \geq -3$.
3 ¿Cambia el sentido al restar un número negativo?
- Restar un número negativo es equivalente a sumar su valor absoluto.
- La suma no altera el orden de los elementos en la recta numérica, por lo que el sentido se mantiene.
4 ¿Se invierte la desigualdad al dividir entre $-1$?
- Dividir por $-1$ es una operación de división por un valor negativo.
- La regla indica que cualquier multiplicación o división por negativos requiere invertir el sentido del símbolo.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Restar un número en ambos miembros invierte el sentido de la desigualdad."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Sumar un número negativo a ambos miembros cambia la dirección del símbolo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Dividir por un número positivo invierte la desigualdad si el otro lado de la inecuación es negativo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"El sentido cambia siempre que el resultado de la operación sea un número negativo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Multiplicar por una variable $x$ siempre mantiene el sentido asumiendo erróneamente que $x$ es positivo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Solo la multiplicación y división por un número estrictamente negativo invierten el sentido de la desigualdad; la suma, resta y multiplicación por positivos lo conservan.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Pregunta generada para MAT.ALG.DESIG_PROPIEDADES.ERROR_CAMBIO_SENTIDO de tipo conceptual número 3.
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Pregunta generada para MAT.ALG.DESIG_PROPIEDADES.ERROR_CAMBIO_SENTIDO de tipo conceptual número 1.
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Pregunta generada para MAT.ALG.DESIG_PROPIEDADES.ERROR_CAMBIO_SENTIDO de tipo conceptual número 2.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Pregunta generada para MAT.ALG.DESIG_PROPIEDADES.ERROR_CAMBIO_SENTIDO de tipo reconocimiento número 4.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Pregunta generada para MAT.ALG.DESIG_PROPIEDADES.ERROR_CAMBIO_SENTIDO de tipo procedimiento_basico número 5.
Respuesta: Falso
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Pregunta generada para MAT.ALG.DESIG_PROPIEDADES.ERROR_CAMBIO_SENTIDO de tipo procedimiento_basico número 6.
Respuesta: Falso
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Pregunta generada para MAT.ALG.DESIG_PROPIEDADES.ERROR_CAMBIO_SENTIDO de tipo procedimiento_basico número 7.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Pregunta generada para MAT.ALG.DESIG_PROPIEDADES.ERROR_CAMBIO_SENTIDO de tipo tipo_paes número 10.
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Pregunta generada para MAT.ALG.DESIG_PROPIEDADES.ERROR_CAMBIO_SENTIDO de tipo tipo_paes número 8.
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Pregunta generada para MAT.ALG.DESIG_PROPIEDADES.ERROR_CAMBIO_SENTIDO de tipo tipo_paes número 9.