Planteamiento de una inecuación desde un enunciado
Modelar situaciones de la vida real mediante el planteamiento de inecuaciones lineales.
Introducción
En muchas situaciones cotidianas, las restricciones no son igualdades exactas, sino límites o condiciones de "al menos", "como máximo", "mayor que" o "menor que". El planteamiento de inecuaciones nos permite representar y resolver estos escenarios de manera matemática.
Explicación
Definición formal
Una inecuación es una expresión algebraica que relaciona variables y constantes mediante los signos de desigualdad $<$, $>$, $\\leq$ o $\\geq$. Modelar una situación implica definir una variable $x$ y construir una inecuación de la forma $ax + b < c$, u otra equivalente, que represente fielmente las restricciones del problema.
Desarrollo didáctico
Para plantear una inecuación, es fundamental identificar las palabras clave en el enunciado. Expresiones como "como máximo" o "a lo más" se traducen en $\\leq$; "como mínimo" o "al menos" corresponden a $\\geq$; "menor que" o "no supera" indican $<$; y "mayor que" o "supera" implican $>$. Al definir claramente qué representa la variable, se puede estructurar la desigualdad paso a paso.
Cómo hacerlo paso a paso
- Leer comprensivamente el problema e identificar la incógnita principal, asignándole una letra (por ejemplo, $x$).
- Identificar las palabras clave que determinan el tipo de desigualdad ($<, >, \\leq, \\geq$).
- Relacionar los datos numéricos con la incógnita formando la expresión algebraica correspondiente a un lado de la desigualdad.
- Escribir la inecuación completa estableciendo la relación entre la expresión obtenida y la restricción dada.
Ejemplos
1 Juan tiene $50000 para comprar cuadernos que cuestan $1500 cada uno y una mochila de $20000. ¿Cuál es la inecuación que modela la cantidad máxima de cuadernos que puede comprar?
- Sea $x$ la cantidad de cuadernos a comprar.
- El costo de los cuadernos es $1500x$ y el de la mochila $20000$.
- El costo total es $1500x + 20000$.
- Como tiene $50000 en total, el costo no puede superar esta cantidad ($\leq$).
- La inecuación es $1500x + 20000 \leq 50000$.
2 En un curso, la nota final se calcula sumando tres pruebas. María tiene 65 y 70 en las dos primeras. Si necesita al menos 200 puntos en total para aprobar, ¿qué inecuación representa la nota que debe obtener en la tercera prueba?
- Sea $x$ la nota de la tercera prueba.
- La suma de las notas es $65 + 70 + x$, es decir, $135 + x$.
- Necesita 'al menos' 200 puntos, lo que significa $\geq$.
- La inecuación resultante es $135 + x \geq 200$.
3 Identificación de la desigualdad "al menos"
- El enunciado dice: Un ascensor soporta al menos 400 kg.
- La expresión 'al menos' incluye el 400 y todos los valores mayores.
- Por lo tanto, se modela con el símbolo $\geq$.
- La inecuación correcta para el peso $P$ sería $P \geq 400$.
4 Identificación de la desigualdad "no supera"
- El enunciado dice: La velocidad de un vehículo no supera los 80 km/h.
- La frase 'no supera' significa que puede ser 80 o menos, lo que corresponde a $\leq$.
- Representarlo con $>$ sería incorrecto.
- La inecuación correcta para la velocidad $v$ es $v \leq 80$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Traducir 'a lo sumo' o 'como máximo' usando el símbolo de mayor que ($>$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir las expresiones 'menor que' ($<$) con 'menor o igual a' ($\leq$) al plantear el problema."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar definir claramente qué representa la variable antes de armar la inecuación."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Ignorar los valores fijos o constantes en el problema y multiplicar la variable por el total."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Invertir el orden de los términos en una resta, como traducir 'la diferencia entre 5 y $x$' como $x - 5$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Plantear una inecuación consiste en traducir una situación verbal que involucra desigualdades a una expresión algebraica, identificando la incógnita y la relación de orden correspondiente.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Pregunta sobre MAT.ALG.MODELAMIENTO_DESIGUALDADES.PLANTEAMIENTO_INECUACION (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?
- $2x < 10 - 0$ 2. $x < 5.0$
Respuesta: $x < 5.0$
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Pregunta sobre MAT.ALG.MODELAMIENTO_DESIGUALDADES.PLANTEAMIENTO_INECUACION (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?
- $2x < 10 - 1$ 2. $x < 4.5$
Respuesta: $x < 4.5$
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Pregunta sobre MAT.ALG.MODELAMIENTO_DESIGUALDADES.PLANTEAMIENTO_INECUACION (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?
- $2x < 10 - 2$ 2. $x < 4.0$
Respuesta: $x < 4.0$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Pregunta sobre MAT.ALG.MODELAMIENTO_DESIGUALDADES.PLANTEAMIENTO_INECUACION (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?
- $2x < 10 - 3$ 2. $x < 3.5$
Respuesta: $x < 3.5$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.MODELAMIENTO_DESIGUALDADES.PLANTEAMIENTO_INECUACION, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.
Al restar 4 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.MODELAMIENTO_DESIGUALDADES.PLANTEAMIENTO_INECUACION, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.
Al restar 5 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.MODELAMIENTO_DESIGUALDADES.PLANTEAMIENTO_INECUACION, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.
Al restar 6 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Pregunta sobre MAT.ALG.MODELAMIENTO_DESIGUALDADES.PLANTEAMIENTO_INECUACION (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?
- $2x < 10 - 7$ 2. $x < 1.5$
Respuesta: $x < 1.5$
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Pregunta sobre MAT.ALG.MODELAMIENTO_DESIGUALDADES.PLANTEAMIENTO_INECUACION (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?
- $2x < 10 - 8$ 2. $x < 1.0$
Respuesta: $x < 1.0$
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Pregunta sobre MAT.ALG.MODELAMIENTO_DESIGUALDADES.PLANTEAMIENTO_INECUACION (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?
- $2x < 10 - 9$ 2. $x < 0.5$
Respuesta: $x < 0.5$