Modelamiento de restricciones de concentración mediante desigualdades
Modelar condiciones de concentración o porcentaje usando desigualdades lineales.
Introducción
En mezclas, soluciones y productos diluidos suele exigirse que la concentración no sobrepase o no baje de cierto valor. Esas condiciones pueden escribirse con desigualdades.
Explicación
Definición formal
Si una mezcla contiene una cantidad de sustancia activa $A(x)$ y una cantidad total de mezcla $M(x)$, una condición de concentración se modela como una desigualdad entre el cociente $\frac{A(x)}{M(x)}$ y una cota dada $c$. En forma general:
$$\frac{A(x)}{M(x)} \leq c \qquad \text{o} \qquad \frac{A(x)}{M(x)} \geq c,$$
con $M(x) > 0$. Al multiplicar por $M(x)$, la restricción puede transformarse en una desigualdad lineal equivalente siempre que el denominador sea positivo en el contexto del problema.
Desarrollo didáctico
En palabras simples, una concentración compara "parte activa" con "cantidad total". Si el problema exige no pasar de cierto porcentaje, la inecuación debe reflejar ese límite sobre la mezcla completa, no solo sobre uno de sus componentes.
Este tipo de modelamiento aparece en química básica, soluciones desinfectantes, bebidas o alimentos diluidos.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica cuál es la sustancia activa y cuál es la cantidad total de mezcla.
- Paso 2: Expresa algebraicamente la cantidad de sustancia activa en función de la variable del problema.
- Paso 3: Expresa la concentración como cociente entre parte activa y total.
- Paso 4: Compara ese cociente con la concentración máxima o mínima permitida.
- Paso 5: Elimina denominadores, si corresponde, y simplifica la desigualdad resultante.
Ejemplos
1 A una solución con 2 litros de agua se agregan $x$ litros de salmuera al 20%. Si la concentración final no debe superar el 8%, plantea la desigualdad.
- La cantidad de sal agregada es $0.20x$ litros equivalentes de sal.
- El volumen total de mezcla es $x + 2$.
- La condición pedida es $\frac{0.20x}{x+2} \leq 0.08$.
2 Una mezcla debe contener al menos 30% de jugo concentrado. Si se agregan $x$ litros de concentrado a 5 litros de agua, modela la restricción.
- La cantidad de concentrado es $x$.
- El volumen total es $x + 5$.
- La desigualdad que modela la condición es $\frac{x}{x+5} \geq 0.30$.
3 ¿En una restricción de concentración se compara la parte activa con el total de mezcla?
- Una concentración expresa una razón entre cantidad activa y cantidad total.
- Por eso la comparación correcta usa un cociente, no una simple diferencia.
4 ¿Si se exige un máximo de 10%, basta imponer $A(x) \leq 10$ sin considerar el total?
- El porcentaje depende de la relación entre parte activa y total, no del valor aislado de la parte activa.
- La condición correcta debe involucrar una razón como $\frac{A(x)}{M(x)} \leq 0.10$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Comparar la cantidad activa con el porcentaje sin dividir por el total."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar incluir en el total todos los componentes de la mezcla."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Eliminar denominadores sin verificar que el total sea positivo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Expresar el porcentaje 8% como 8 en vez de $0.08$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Suponer que una restricción de concentración siempre se reduce a una igualdad exacta."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Una restricción de concentración compara la cantidad de sustancia activa con una concentración máxima o mínima permitida en la mezcla total.