Modelamiento de restricciones de aleaciones mediante desigualdades
Resumen inicial
El modelamiento de aleaciones utiliza inecuaciones de masa para garantizar la pureza de metales o materiales sólidos.
Explicación en palabras simples
Al fundir y mezclar metales (como oro, cobre o plata) para crear una aleación:
Multiplicamos la masa de cada lingote por su porcentaje de pureza para obtener la cantidad de metal precioso puro.
La inecuación exige que el porcentaje de ley de la aleación resultante cumpla con el estándar mínimo requerido (por ejemplo, tener al menos $18\text{ quilates}$ u $80\%$ de pureza).
Explicación formal
Dadas dos masas de metales $m_1$ y $m_2$ con leyes o purezas de metal precioso $p_1$ y $p_2$, el modelo de ley de aleación $P_{\text{ley}}$ establece:
$$\frac{p_1 m_1 + p_2 m_2}{m_1 + m_2} \ge P_{\text{ley}}$$
Desglose de la fórmula:
- $p_1 m_1 + p_2 m_2$: Masa total de metal precioso puro en la aleación fundida.
- $m_1 + m_2$: Masa total del bloque metálico resultante.
La alternativa correcta es '$300\text{ gramos}$'.
Definiciones clave
- Ley de una aleación: Proporción en peso de metal fino o precioso contenida en la masa total de la aleación.
- Inecuación de aleación: Desigualdad que garantiza una ley metálica mínima o máxima en la fundición.
Propiedades y relaciones importantes
- Conservación de masa metálica: La masa de fino no cambia durante el proceso de fundición.
Ejemplo guiado
Se tienen $600\text{ gramos}$ de una aleación de oro al $70\%$ de pureza. ¿Cuántos gramos $x$ de oro puro al $100\%$ se deben fundir junto a ella para lograr una aleación de al menos el $80\%$ de pureza?
- Paso 1: Expresar el oro fino inicial: $0{,}70 \cdot 600 = 420\text{ gramos}$.
- Paso 2: Expresar el oro fino agregado: $1{,}00 \cdot x = x\text{ gramos}$.
- Paso 3: Formular la inecuación de ley: $\frac{420 + x}{600 + x} \ge 0{,}80$.
- Paso 4: Multiplicar por $(600 + x) > 0$: $420 + x \ge 0{,}8(600 + x) \implies 420 + x \ge 480 + 0{,}8x$.
- Paso 5: Despejar $x$: $0{,}2x \ge 60 \implies x \ge \frac{60}{0{,}2} = 300\text{ gramos}$.
- Paso 6: Concluir que se deben fundir al menos $300\text{ gramos}$ de oro puro.
La alternativa correcta es 'La masa total de oro puro fino contenida en la mezcla.'.
Procedimiento
- Paso 1: Calcular la masa de fino multiplicando la masa inicial por su ley.
- Paso 2: Sumar la masa de fino del ingrediente adicionado.
- Paso 3: Dividir entre la masa total sumada y comparar con la ley mínima requerida.
- Paso 4: Despejar la variable $x$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Olvidar que la masa agregada $x$ debe sumarse tanto en el numerador (fino) como en el denominador (masa total).
- Cómo corregirlo: La variable $x$ afecta a la masa fina Y TAMBIÉN a la masa total de la aleación en el denominador.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: Masa fina inicial = $0,750 \cdot 200 = 150\text{ g}$.
- Paso 2: Masa fina agregada = $1,000 \cdot x = x\text{ g}$.
- Paso 3: Total = $150 + x$.
- Paso 1: Ley = Masa fina total / Masa total.
- Paso 2: $\frac{150 + x}{200 + x} \ge 0,900$.
- Paso 1: $150 + x \ge 0,900(200 + x) = 180 + 0,90x$.
- Paso 2: $0,10x \ge 30 \implies x \ge 300\text{ g}$.
- Paso 1: El metal base (cobre) no contiene plata.
- Paso 2: Su ley respecto a la plata es $0,000$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Modelar problemas de aleaciones metálicas mediante desigualdades.
Calculando la proporción de metal fino $\frac{\ell_1 M_1 + \ell_2 x}{M_1 + x} \ge \ell_{\min}$ para garantizar que la ley de la aleación cumpla el estándar exigido.