Modelamiento de restricciones de aleaciones mediante desigualdades
Traducir condiciones sobre la composición de una aleación a desigualdades que relacionen la cantidad del componente controlado con la masa total.
Introducción
En problemas de aleaciones no siempre se pide una proporción exacta. Con frecuencia se exige que un metal no baje de cierto porcentaje o que una impureza no supere un máximo permitido.
Explicación
Definición formal
Si una aleación contiene una cantidad de componente controlado $C(x)$ y una masa total $T(x)$, una condición de pureza o composición se representa mediante una desigualdad del tipo
$$\frac{C(x)}{T(x)} \leq p \qquad \text{o} \qquad \frac{C(x)}{T(x)} \geq p,$$
donde $p$ es la proporción exigida y $T(x)>0$. En muchos problemas escolares esta relación puede transformarse en una desigualdad lineal equivalente después de eliminar el denominador.
Desarrollo didáctico
En una aleación importa la relación entre una parte y el total final, no solo la cantidad aislada que se agrega. Por eso, al modelar, el paso decisivo es construir correctamente el numerador y el denominador. Frases como “al menos 60% de cobre” o “no más de 15% de impureza” indican si la comparación debe hacerse con una cota mínima o máxima.
Cómo hacerlo paso a paso
- Identificar qué metal, impureza o componente está siendo controlado por la restricción.
- Expresar la masa de ese componente en función de la variable del problema.
- Expresar la masa total final de la aleación.
- Construir la razón entre componente controlado y masa total, y compararla con la proporción dada.
- Simplificar la desigualdad obtenida y revisar si refleja con precisión la condición contextual.
Ejemplos
1 Se agregan $x$ kg de cobre puro a una aleación de $10$ kg que ya contiene $4$ kg de cobre. Si la nueva aleación debe tener al menos $50\%$ de cobre, plantea la desigualdad.
- La masa de cobre después de agregar es $4+x$.
- La masa total final es $10+x$.
- La condición “al menos $50\%$” se modela como $\frac{4+x}{10+x} \geq 0.50$.
2 Una mezcla tiene $3$ kg de impureza y $17$ kg de metal útil. Se agregan $x$ kg de metal puro. Si la proporción de impureza no debe superar el $12\%$, modela la condición.
- La masa de impureza se mantiene en $3$ kg.
- La masa total final pasa a ser $20+x$.
- La restricción “no debe superar el $12\%$” se expresa como $\frac{3}{20+x} \leq 0.12$.
3 ¿En una aleación la proporción se calcula respecto del total final y no solo del material agregado?
- La pureza o composición se mide sobre la mezcla completa.
- Por eso el denominador debe representar el total final de la aleación.
4 ¿Una condición de “al menos $70\%$ de plata” se modela con $\leq 0.70$?
- “Al menos $70\%$” significa $70\%$ o más.
- La desigualdad correcta debe ser de tipo $\geq 0.70$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Usar como total solo la masa agregada y no la masa final de la aleación."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Convertir mal un porcentaje a número decimal."
¿Es correcta esta afirmación?
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"Plantear una igualdad exacta cuando el problema habla de mínimo o máximo."
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"Asociar la restricción al componente equivocado del problema."
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"Sacar conclusiones desde la masa absoluta del metal sin compararla con la masa total."
¿Es correcta esta afirmación?
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Una restricción de aleación compara la cantidad de un componente dentro de la mezcla con una proporción mínima o máxima admitida respecto del total final.