Determinación de pertenencia de un número a un intervalo

M1 — PAES obligatoria Media

Resumen inicial

Determinar si un número pertenece a un intervalo consiste en evaluar si satisface las desigualdades límites del intervalo.

Explicación en palabras simples

Determinación de pertenencia de un número a un intervalo

Para saber si un número específico $k$ entra dentro de un intervalo como $]-3, 4]$:
1. Comprobamos si es strictly mayor que el límite inferior ($-3 < k$).
2. Comprobamos si es menor o igual al límite superior ($k \le 4$).
Si ambas pruebas resultan verdaderas, entonces el número $k$ pertenece al intervalo ($k \in ]-3, 4]$).

Explicación formal

Sea el intervalo $I = ]a, b]$ y una constante real $k \in \mathbb{R}$. La pertenencia formal se define como:
$$k \in ]a, b] \iff a < k \le b$$
$$k \notin ]a, b] \iff (k \le a) \lor (k > b)$$
Desglose de la fórmula:
- $k \in I$: Símbolo de pertenencia de conjuntos que exige satisfacer las cotas inferior y superior.

Comprueba tu avance Para el intervalo $]-3, 4]$, ¿cuál de los siguientes números NO pertenece al conjunto?

Definiciones clave

  • Pertenencia a un intervalo ($k \in I$): Relación lógica que afirma que $k$ es uno de los elementos del intervalo.

Propiedades y relaciones importantes

  • Verificación de bordes: En intervalos semiabiertos, probar el número exacto del borde abierto devuelve una falsedad ($a \notin ]a, b]$).

Ejemplo guiado

Ejemplo Determinación de pertenencia de un número a un intervalo

Determina si los números $k_1 = -3$, $k_2 = 0$ y $k_3 = 4$ pertenecen al intervalo $]-3, 4]$.

  • Paso 1: Evaluar $k_1 = -3$: $-3 < -3$ es falso $\implies -3 \notin ]-3, 4]$.
  • Paso 2: Evaluar $k_2 = 0$: $-3 < 0 \le 4$ es verdadero $\implies 0 \in ]-3, 4]$.
  • Paso 3: Evaluar $k_3 = 4$: $-3 < 4 \le 4$ es verdadero $\implies 4 \in ]-3, 4]$.
  • Paso 4: Concluir que $0$ y $4$ pertenecen al intervalo, mientras que $-3$ no pertenece.
Comprueba tu avance Al comprobar el extremo $k = 4$ en $]-3, 4]$, ¿por qué SI pertenece al intervalo?

Procedimiento

  • Paso 1: Escribir la relación de desigualdad del intervalo (ejemplo: $a < x \le b$).
  • Paso 2: Reemplazar la $x$ por el número candidato $k$.
  • Paso 3: Verificar la veracidad de la desigualdad doble resultante.
  • Paso 4: Escribir $k \in I$ si es verdadero o $k \notin I$ si es falso.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error común: Afirmar que el borde de un lado abierto pertenece al intervalo.
  • Cómo corregirlo: Si el corchete apunta hacia afuera $]$, el borde NO pertenece al intervalo.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Demostración básica de intervalos.
2 Demostración algebraica de intervalos.
3 ¿Un intervalo abierto excluye a sus dos extremos?
4 ¿El símbolo de infinito siempre lleva corchete abierto?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"El extremo correspondiente a un corchete invertido hacia afuera $]$ o $[$ no pertenece al conjunto."
"El número $-3$ pertenece al intervalo semiabierto $]-3, 4]$."
"Un número real $k$ pertenece al intervalo semiabierto $]a, b]$ si y solo si cumple la desigualdad $a < k \le b$."
"Evaluar la pertenencia del número $k = 5$ en el intervalo $]-3, 4]$ resulta en una afirmación verdadera."
"El número $4$ no pertenece al intervalo semiabierto $]-3, 4]$ por ser el límite superior."
"La proposición de pertenencia $k \in ]a, b]$ equivale al sistema de desigualdades no estrictas $a \le k \le b$."
"El corchete invertido $]$ en el extremo izquierdo de $]-3, 4]$ exige que $-3$ sea parte de los elementos del conjunto."

Al terminar debes poder

Resumen Determinación de pertenencia de un número a un intervalo

🎯 QUÉ Objetivo

Determinar si un número real pertenece a un intervalo determinado.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Evaluando si el valor numérico satisface la desigualdad asociada y verificando el estado de inclusión en los extremos frontera.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Álgebra / Intervalos Reales

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Pregunta conceptual 1 para MAT.ALG.INTERVALOS.PERTENENCIA_INTERVALO

  2. Pregunta conceptual 2 para MAT.ALG.INTERVALOS.PERTENENCIA_INTERVALO

  3. Pregunta conceptual 3 para MAT.ALG.INTERVALOS.PERTENENCIA_INTERVALO

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Pregunta reconocimiento 1 para MAT.ALG.INTERVALOS.PERTENENCIA_INTERVALO

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. Pregunta de verdadero y falso 1 para MAT.ALG.INTERVALOS.PERTENENCIA_INTERVALO

  2. Pregunta de verdadero y falso 2 para MAT.ALG.INTERVALOS.PERTENENCIA_INTERVALO

  3. Pregunta de verdadero y falso 3 para MAT.ALG.INTERVALOS.PERTENENCIA_INTERVALO

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Pregunta PAES 3 para MAT.ALG.INTERVALOS.PERTENENCIA_INTERVALO

  2. Pregunta PAES 1 para MAT.ALG.INTERVALOS.PERTENENCIA_INTERVALO

  3. Pregunta PAES 2 para MAT.ALG.INTERVALOS.PERTENENCIA_INTERVALO

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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