Resolución de inecuación de valor absoluto menor que una constante positiva

Resumen inicial

Las inecuaciones de valor absoluto del tipo $|E| < k$ con $k > 0$ se resuelven mediante la doble desigualdad estricta acotada.

Explicación en palabras simples

Para resolver $|x| < 5$, buscamos los números cuya distancia a cero sea estrictamente menor que 5.

Esto confina los valores al intervalo acotado entre $-5$ y $5$ sin incluir los extremos:
$$-5 < x < 5$$

La solución en notación de intervalo es el intervalo abierto $S = ]-5, 5[$.

Explicación formal

Para $k > 0$ y $E(x)$ una expresión algebraica:

$$|E(x)| < k \iff -k < E(x) < k$$

Desglose de la fórmula:
- Doble desigualdad estricta: Excluye las fronteras $-k$ y $k$.
- Conjunto solución global $S = ]-k, k[$.

Definiciones clave

Emparedado estricto: Doble desigualdad que acota el argumento $E$ dentro del intervalo abierto $]-k, k[$.

Propiedades y relaciones importantes

Exclusión de las fronteras: El operador $<$ garantiza corchetes abiertos en ambos límites.

Ejemplo guiado

Ejemplo Resolución de inecuación de valor absoluto menor que una constante positiva

Resuelve la inecuación $|x + 4| < 9$ y expresa el conjunto solución como intervalo.

Paso 1: Aplicar la doble desigualdad estricta: $-9 < x + 4 < 9$.
Paso 2: Restar 4 en los tres miembros: $-9 - 4 < x < 9 - 4$.
Paso 3: Simplificar: $-13 < x < 5$.
Paso 4: Escribir la solución en notación de intervalo abierto: $S = ]-13, 5[$.

Procedimiento

Paso 1: Verificar que la constante $k$ sea estrictamente positiva ($k > 0$).
Paso 2: Formular la doble desigualdad estricta $-k < E < k$.
Paso 3: Despejar la variable $x$ operando simultáneamente en las tres partes.
Paso 4: Declarar el intervalo abierto $S = ]a, b[$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Escribir corchetes cerrados en la solución de una desigualdad estricta ($<$).
Cómo corregirlo: Si el operador original es estrictamente menor que ($<$), los extremos $-k$ y $k$ NO forman parte del conjunto solución y deben llevar corchetes abiertos.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Resolver $|x - 1| < 5$ requiere incluir los puntos extremos $-4$ y $6$ como soluciones válidas."

"La desigualdad $|E| < k$ con $k > 0$ se traduce en la disyunción de dos inecuaciones separadas."

"Al despejar $-3 < x + 2 < 3$, se resta $2$ únicamente en el miembro derecho obteniendo $-3 < x < 1$."

"Para $k > 0$, la desigualdad $|E| < k$ equivale a la conjunción continua $-k < E < k$."

"El conjunto solución de $|E| < k$ se expresa como un intervalo abierto acotado $]-k, k[$."

"La condición $-k < E < k$ equivale a la intersección de dos conjuntos con corchetes cerrados."

"La inecuación $|x| < 8$ se desglosa en la unión de semirrectas $]-\infty, -8[ \cup ]8, +\infty[$."

Al terminar debes poder

Resumen Resolución de inecuación de valor absoluto menor que una constante positiva

Resolver inecuaciones de la forma $|f(x)| < k$ con $k > 0$.

Desdoblando la inecuación en una doble desigualdad simultánea $-k < f(x) < k$ para obtener un intervalo abierto acotado.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_QUE_POSITIVO (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?
1. $2x < 10 - 1$ 2. $x < 4.5$
Respuesta: $x < 4.5$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_QUE_POSITIVO (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?
1. $2x < 10 - 2$ 2. $x < 4.0$
Respuesta: $x < 4.0$
¿Qué propiedad es fundamental para resolver inecuaciones de la forma $|x| < a$ cuando $a$ es un número positivo?
En la resolución de $|2x - 3| < 5$, el uso de la doble desigualdad $-5 < 2x - 3 < 5$ asegura que:
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_QUE_POSITIVO (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?
1. $2x < 10 - 0$ 2. $x < 5.0$
Respuesta: $x < 5.0$

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_QUE_POSITIVO (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?
1. $2x < 10 - 3$ 2. $x < 3.5$
Respuesta: $x < 3.5$
Identifica cuál de las siguientes expresiones es lógicamente equivalente a $|x| \\leq 8$.

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_QUE_POSITIVO, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_QUE_POSITIVO, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_QUE_POSITIVO, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.
Para resolver $|x + 4| < 6$, se debe transformar la inecuación a $-6 < x + 4 < 6$ y luego restar 4 en todas las partes.
La solución a la inecuación $|3x| < 9$ es el intervalo $(-3, 3)$.
Si resolvemos $|x - 5| < 2$, obtenemos como solución el conjunto $(-\\infty, 3) \\cup (7, \\infty)$.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_QUE_POSITIVO (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?
1. $2x < 10 - 7$ 2. $x < 1.5$
Respuesta: $x < 1.5$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_QUE_POSITIVO (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?
1. $2x < 10 - 9$ 2. $x < 0.5$
Respuesta: $x < 0.5$
¿Cuál es la suma de los valores enteros que pertenecen al conjunto solución de la inecuación $|3x - 1| \\leq 5$?
Dada la inecuación $|\\frac{x}{2} + 3| < 1$, ¿cuál de los siguientes intervalos corresponde al conjunto solución?
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_QUE_POSITIVO (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?
1. $2x < 10 - 8$ 2. $x < 1.0$
Respuesta: $x < 1.0$
Un termómetro debe mantenerse a una temperatura óptima $T$ (en °C) que no varíe en más de 2 grados de una temperatura de referencia de 20°C, sin incluir los extremos. ¿Qué inecuación con valor absoluto y cuál es su solución para esta situación?

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación