Resolución de inecuación de valor absoluto menor que una constante positiva
Resolver inecuaciones con valor absoluto de la forma menor que un número positivo aplicando la propiedad de acotación.
Introducción
Cuando decimos que el valor absoluto de una cantidad es menor que un número positivo, significa que la distancia de esa cantidad al origen es más pequeña que ese número. Esto se traduce en que la cantidad original debe estar "atrapada" entre el valor negativo y el valor positivo del número.
Explicación
Definición formal
Para cualquier expresión algebraica $u$ y cualquier número real constante $a > 0$, la inecuación de valor absoluto $|u| < a$ es lógicamente equivalente a la doble inecuación $-a < u < a$. Del mismo modo, si la inecuación incluye la igualdad, $|u| \\leq a$ es equivalente a $-a \\leq u \\leq a$.
Desarrollo didáctico
Imagina que estás en el centro de una plaza (posición cero) y te dicen que debes mantenerte a una distancia menor a 5 metros de este centro. Eso significa que no puedes alejarte 5 metros hacia la derecha (valores positivos) ni 5 metros hacia la izquierda (valores negativos). Debes permanecer en la franja que va desde $-5$ hasta $5$. En términos algebraicos, esto explica por qué si $|x| < 5$, entonces obligatoriamente $-5 < x < 5$. Cuando hay una expresión más compleja dentro de las barras, como $|2x - 1| < 5$, aplicamos el mismo principio para atrapar al bloque entero $-5 < 2x - 1 < 5$, y a partir de ahí despejamos la variable.
Cómo hacerlo paso a paso
- Identificar que la inecuación tiene la forma $|u| < a$ o $|u| \\leq a$, confirmando primero que $a$ es un número estrictamente mayor que cero.
- Reescribir la inecuación eliminando las barras de valor absoluto y formandouna doble desigualdad - $-a < u < a$ (o $-a \\leq u \\leq a$).
- Despejar la variable incógnita en la parte central de la desigualdad. Toda operación (suma, resta, multiplicación o división) debe aplicarse a los tres lados simultáneamente.
- Expresar el resultado final en notación de intervalo.
Ejemplos
1 Resuelve la inecuación $|x - 2| < 5$.
- Paso 1: Identificamos la forma $|u| < a$ con $u = x - 2$ y $a = 5$.
- Paso 2: Transformamos en doble desigualdad - $-5 < x - 2 < 5$.
- Paso 3: Para despejar $x$, sumamos 2 en las tres partes de la inecuación.
- Paso 4: Obtenemos $-5 + 2 < x < 5 + 2$, lo que da $-3 < x < 7$.
- Paso 5: La solución en forma de intervalo es $(-3, 7)$.
2 Resuelve la inecuación $|2x + 1| \\leq 7$.
- Paso 1: Identificamos que aplica la propiedad con $a=7$ positivo - $-7 \\leq 2x + 1 \\leq 7$.
- Paso 2: Restamos 1 en las tres partes - $-7 - 1 \\leq 2x \\leq 7 - 1$.
- Paso 3: Simplificamos obteniendo $-8 \\leq 2x \\leq 6$.
- Paso 4: Dividimos todas las partes por 2, obteniendo $-4 \\leq x \\leq 3$.
- Paso 5: La solución en forma de intervalo es $[-4, 3]$.
3 ¿Es un valor específico solución de la inecuación?
- Para saber si $x=0$ es solución de $|x| < 3$, sustituimos la variable por el valor.
- Calculamos $|0|$.
- El valor absoluto de 0 es 0.
- Comparamos con la inecuación original - $0 < 3$ es una proposición verdadera, por lo tanto sí es solución.
4 ¿Se puede aplicar la propiedad $-a < x < a$ para resolver $|x| < -4$?
- La propiedad exige que el número al otro lado de la desigualdad sea positivo ($a > 0$).
- En este caso, se pide que un valor absoluto, que por definición es siempre mayor o igual a 0, sea estrictamente menor que un número negativo ($-4$).
- Esto es matemáticamente imposible.
- No se aplica la propiedad; la inecuación directamente no tiene solución real (conjunto vacío).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Separar la inecuación $|x| < a$ en dos inecuaciones aisladas sin unirlas correctamente en una doble desigualdad, asumiendo $x < a$ o $x < -a$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que la constante $a$ debe ser positiva antes de aplicar la regla de transformación a doble desigualdad."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Resolver la inecuación ignorando completamente las barras de valor absoluto, como si solo fuera $x < a$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Despejar erróneamente en la doble desigualdad operando solo en el lado derecho y dejando intacto el lado izquierdo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que la solución de $|x| < a$ son dos intervalos disjuntos que se alejan del origen en lugar de un único intervalo central continuo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La inecuación $|x| < a$ con $a > 0$ se resuelve transformándola en la doble desigualdad simultánea $-a < x < a$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_QUE_POSITIVO (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?
- $2x < 10 - 1$ 2. $x < 4.5$
Respuesta: $x < 4.5$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_QUE_POSITIVO (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?
- $2x < 10 - 2$ 2. $x < 4.0$
Respuesta: $x < 4.0$
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¿Qué propiedad es fundamental para resolver inecuaciones de la forma $|x| < a$ cuando $a$ es un número positivo?
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En la resolución de $|2x - 3| < 5$, el uso de la doble desigualdad $-5 < 2x - 3 < 5$ asegura que:
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_QUE_POSITIVO (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?
- $2x < 10 - 0$ 2. $x < 5.0$
Respuesta: $x < 5.0$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_QUE_POSITIVO (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?
- $2x < 10 - 3$ 2. $x < 3.5$
Respuesta: $x < 3.5$
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Identifica cuál de las siguientes expresiones es lógicamente equivalente a $|x| \\leq 8$.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_QUE_POSITIVO, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.
Al restar 4 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_QUE_POSITIVO, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.
Al restar 5 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_QUE_POSITIVO, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.
Al restar 6 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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Para resolver $|x + 4| < 6$, se debe transformar la inecuación a $-6 < x + 4 < 6$ y luego restar 4 en todas las partes.
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La solución a la inecuación $|3x| < 9$ es el intervalo $(-3, 3)$.
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Si resolvemos $|x - 5| < 2$, obtenemos como solución el conjunto $(-\\infty, 3) \\cup (7, \\infty)$.
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_QUE_POSITIVO (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?
- $2x < 10 - 7$ 2. $x < 1.5$
Respuesta: $x < 1.5$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_QUE_POSITIVO (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?
- $2x < 10 - 9$ 2. $x < 0.5$
Respuesta: $x < 0.5$
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¿Cuál es la suma de los valores enteros que pertenecen al conjunto solución de la inecuación $|3x - 1| \\leq 5$?
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Dada la inecuación $|\\frac{x}{2} + 3| < 1$, ¿cuál de los siguientes intervalos corresponde al conjunto solución?
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_QUE_POSITIVO (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?
- $2x < 10 - 8$ 2. $x < 1.0$
Respuesta: $x < 1.0$
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Un termómetro debe mantenerse a una temperatura óptima $T$ (en °C) que no varíe en más de 2 grados de una temperatura de referencia de 20°C, sin incluir los extremos. ¿Qué inecuación con valor absoluto y cuál es su solución para esta situación?