Resolución de inecuación de valor absoluto menor o igual que una constante positiva
Resolver inecuaciones con valor absoluto de la forma $|x| < a$ y $|x| \le a$, con $a > 0$.
Introducción
El valor absoluto de un número representa su distancia al cero en la recta numérica. Cuando decimos que el valor absoluto de una cantidad es menor o igual que un número positivo, estamos limitando qué tan lejos puede estar esa cantidad respecto al cero.
Explicación
Definición formal
Sea $x \in \mathbb{R}$ y $a \in \mathbb{R}$ tal que $a > 0$.
La inecuación con valor absoluto $|x| \le a$ es equivalente a la doble inecuación $-a \le x \le a$.
De forma análoga, $|x| < a \iff -a < x < a$.
El conjunto solución corresponde al intervalo $[-a, a]$ para la desigualdad débil, y $(-a, a)$ para la estricta.
Desarrollo didáctico
Imagina que estás en el centro de una ciudad (el cero) y te dicen que no puedes alejarte más de $5$ kilómetros. Esto significa que puedes caminar hasta $5$ km a la derecha (positivo) o hasta $5$ km a la izquierda (negativo). En lenguaje matemático, si tu posición es $x$, entonces la distancia al centro es $|x|$, y la restricción es $|x| \le 5$.
Por lo tanto, tu posición real $x$ debe estar entre $-5$ y $5$, es decir, $-5 \le x \le 5$.
Si dentro del valor absoluto hay una expresión más compleja, como $|2x - 1| \le 3$, el principio es el mismo: lo que está adentro debe quedar atrapado entre $-3$ y $3$. Luego, se despeja la variable $x$ de esa doble desigualdad, sumando o dividiendo simultáneamente en las tres partes.
Cómo hacerlo paso a paso
- Verificar que la inecuación esté en la forma $|X| \le a$ o $|X| < a$, y que la constante $a$ sea un número real positivo.
- Aplicar la propiedad del valor absoluto para transformarla en una doble desigualdad: $-a \le X \le a$ (o $-a < X < a$).
- Despejar la variable incógnita del término central, aplicando las operaciones inversas en todas las partes de la desigualdad al mismo tiempo.
- Expresar el conjunto solución en forma de intervalo y/o gráfico.
Ejemplos
1 Resuelve la inecuación $|x - 3| < 4$.
- Aplicamos la propiedad para $a = 4$: $-4 < x - 3 < 4$.
- Sumamos $3$ a todas las partes para despejar $x$: $-4 + 3 < x < 4 + 3$.
- Simplificamos obteniendo: $-1 < x < 7$.
- El conjunto solución es el intervalo $(-1, 7)$.
2 Encuentra el conjunto solución de $|2x + 1| \le 5$.
- Utilizamos la propiedad: $-5 \le 2x + 1 \le 5$.
- Restamos $1$ en los tres miembros: $-6 \le 2x \le 4$.
- Dividimos por $2$ (positivo, por lo que se mantienen los sentidos de las desigualdades): $-3 \le x \le 2$.
- La solución es el intervalo $[-3, 2]$.
3 ¿El número 0 pertenece al conjunto solución de $|3x - 2| \le 4$?
- Al reemplazar $x = 0$ en la inecuación $|3x - 2| \le 4$, evaluamos la expresión.
- Calculamos: $|3(0) - 2| = |-2| = 2$.
- Como $2 \le 4$ es una afirmación verdadera, el $0$ sí pertenece al conjunto solución.
4 ¿La solución de $|x + 2| \le -1$ es un intervalo acotado?
- Observamos que el valor absoluto de cualquier expresión siempre es mayor o igual a cero.
- La inecuación plantea que un valor absoluto sea menor o igual a un número negativo ($-1$).
- Esto es imposible en los números reales, por lo que el conjunto solución es vacío ($\emptyset$), no un intervalo acotado.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Asumir que $|x - 2| \le 3$ implica solamente que $x - 2 \le 3$, olvidando la restricción inferior de $-3$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Escribir la solución de $|x| \le 4$ como $x \ge -4 \cup x \le 4$ en lugar de una intersección ($-4 \le x \le 4$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que $|-x| \le 5$ significa que $x \le -5$ en vez de $-5 \le x \le 5$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Al resolver $-2 \le -x \le 2$, multiplicar por $-1$ y no invertir el sentido de las desigualdades."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar la propiedad $-a \le X \le a$ cuando $a$ es negativo, obteniendo intervalos inconsistentes en lugar de determinar que la solución es vacía."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para resolver inecuaciones del tipo $|X| \le a$ (con $a > 0$), se aplica la propiedad que lo transforma en un sistema de dos inecuaciones simultáneas: $-a \le X \le a$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_IGUAL_POSITIVO (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?
- $2x < 10 - 0$ 2. $x < 5.0$
Respuesta: $x < 5.0$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_IGUAL_POSITIVO (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?
- $2x < 10 - 1$ 2. $x < 4.5$
Respuesta: $x < 4.5$
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Si $a$ es un número real positivo, ¿cuál de las siguientes expresiones es lógicamente equivalente a $|x| \le a$?
Por definición de valor absoluto, si la distancia de un número al cero es menor o igual a $a$ (con $a > 0$), entonces dicho número debe estar comprendido entre $-a$ y $a$, incluyendo ambos extremos.
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¿Cuál es el conjunto solución de la inecuación $|x| \le 0$?
Como el valor absoluto no puede ser negativo, la única forma de cumplir $|x| \le 0$ es que sea exactamente igual a $0$. Esto ocurre solo si $x = 0$.
Respuesta: 2
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_IGUAL_POSITIVO (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?
- $2x < 10 - 2$ 2. $x < 4.0$
Respuesta: $x < 4.0$
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¿Qué representa geométricamente la inecuación $|x - c| < r$ en la recta numérica real?
La expresión $|x - c|$ representa la distancia entre $x$ y $c$. Por tanto, la inecuación denota a todos los números $x$ que están a una distancia menor a $r$ respecto del número $c$.
Respuesta: 2
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_IGUAL_POSITIVO (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?
- $2x < 10 - 3$ 2. $x < 3.5$
Respuesta: $x < 3.5$
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Identifica cuál de las siguientes inecuaciones corresponde al caso donde se aplica la propiedad de acotación entre un negativo y un positivo, $-a < X < a$.
La inecuación $|5x - 3| < 2$ tiene la forma $|X| < a$ con $a > 0$, lo que permite aplicar directamente la propiedad $-2 < 5x - 3 < 2$. (Notar que $-|x+1|>-3$ implica $|x+1|<3$, pero requiere un paso algebraico previo).
Respuesta: 1
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_IGUAL_POSITIVO, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.
Al restar 4 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_IGUAL_POSITIVO, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.
Al restar 5 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_IGUAL_POSITIVO, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.
Al restar 6 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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La solución de la inecuación $|x - 5| \le 2$ es el intervalo $[3, 7]$.
Al aplicar la propiedad, se obtiene $-2 \le x - 5 \le 2$. Sumando $5$ en todas las partes se llega a $3 \le x \le 7$, lo cual corresponde al intervalo $[3, 7]$.
Respuesta: True
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El conjunto solución de $|3x| < 9$ es $(-3, 3]$.
La desigualdad es estricta ($<$), por lo tanto los extremos no se incluyen. Al resolver se obtiene $-9 < 3x < 9 \implies -3 < x < 3$. El intervalo correcto es $(-3, 3)$ abierto en ambos lados.
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La inecuación $|2 - x| \le 4$ equivale a $-2 \le x \le 6$.
Resolviendo: $-4 \le 2 - x \le 4$. Restando $2$: $-6 \le -x \le 2$. Multiplicando por $-1$ e invirtiendo las desigualdades: $6 \ge x \ge -2$, que se reordena como $-2 \le x \le 6$.
Respuesta: True
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_IGUAL_POSITIVO (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?
- $2x < 10 - 7$ 2. $x < 1.5$
Respuesta: $x < 1.5$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_IGUAL_POSITIVO (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?
- $2x < 10 - 8$ 2. $x < 1.0$
Respuesta: $x < 1.0$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_IGUAL_POSITIVO (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?
- $2x < 10 - 9$ 2. $x < 0.5$
Respuesta: $x < 0.5$
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Una fábrica produce tornillos cuya longitud ideal es de $50$ mm. Para pasar el control de calidad, la diferencia entre la longitud real $L$ y la ideal no debe exceder los $0,5$ mm. ¿Cuál de los siguientes intervalos representa las longitudes aceptables para los tornillos?
La condición plantea que $|L - 50| \le 0,5$. Resolviendo: $-0,5 \le L - 50 \le 0,5$. Sumando $50$ obtenemos $49,5 \le L \le 50,5$. El intervalo es cerrado porque el error 'no debe exceder' (es menor o igual).
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Si $m$ y $n$ son las soluciones de la ecuación $|x - 2| = 5$, con $m < n$. ¿Cuál es el conjunto solución de la inecuación $|x - m| < n$?
Primero hallamos $m$ y $n$. De $|x - 2| = 5$ obtenemos $x - 2 = 5 \implies x = 7$ o $x - 2 = -5 \implies x = -3$. Como $m < n$, entonces $m = -3$ y $n = 7$. Sustituimos en la inecuación: $|x - (-3)| < 7 \implies |x + 3| < 7$. Resolvemos: $-7 < x + 3 < 7 \implies -10 < x < 4$. Esto corresponde al intervalo $(-10, 4)$.
Respuesta: 1
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Se define el conjunto $A$ como el conjunto de todos los números reales $x$ que satisfacen $|3x - 1| \le 8$. ¿Cuántos números enteros pertenecen al conjunto $A$?
Resolvemos la inecuación: $-8 \le 3x - 1 \le 8$. Sumamos $1$: $-7 \le 3x \le 9$. Dividimos por $3$: $-\frac{7}{3} \le x \le 3$. En decimales, esto es aproximadamente $-2,33 \le x \le 3$. Los enteros en este rango son $-2, -1, 0, 1, 2, 3$, que son en total $6$ números enteros.