Resolución de inecuación de valor absoluto menor o igual que una constante positiva
Resumen inicial
Las inecuaciones del tipo $|E| \le k$ con $k \ge 0$ se resuelven transformando el valor absoluto en una doble desigualdad continua acotada.
Explicación en palabras simples
Para resolver $|x| \le 3$, buscamos los números cuya distancia a cero sea como máximo 3.
Estos números están encerrados entre $-3$ y $3$ inclusive:
$$-3 \le x \le 3$$
Por lo tanto, la solución es el intervalo cerrado continuo $S = [-3, 3]$.
Explicación formal
Para $k \ge 0$ y $E(x)$ una expresión algebraica:
$$|E(x)| \le k \iff -k \le E(x) \le k$$
Desglose de la fórmula:
- Cadena continua de desigualdades: Equivale a la intersección simultánea $-k \le E(x) \quad \land \quad E(x) \le k$.
- Conjunto solución global $S = [-k, k]$.
La alternativa correcta es '$S = [\frac{1}{3}, 3]$'.
Definiciones clave
- Propiedad del emparedado para valor absoluto: Regla por la cual el operador $\le k$ confina el argumento $E$ dentro de los límites $[-k, k]$.
Propiedades y relaciones importantes
- Inclusión de los extremos: El operador no estricto $\le$ exige corchetes cerrados en ambos límites del intervalo.
Ejemplo guiado
Resuelve la inecuación $|3x - 5| \le 4$ y expresa la solución en notación de intervalo.
- Paso 1: Aplicar la propiedad de doble desigualdad: $-4 \le 3x - 5 \le 4$.
- Paso 2: Sumar 5 a los tres miembros: $-4 + 5 \le 3x \le 4 + 5 \implies 1 \le 3x \le 9$.
- Paso 3: Dividir entre 3 los tres miembros: $\frac{1}{3} \le x \le 3$.
- Paso 4: Escribir el intervalo cerrado solución: $S = [\frac{1}{3}, 3]$.
La alternativa correcta es 'Una doble desigualdad continua $-k \le E \le k$.'.
Procedimiento
- Paso 1: Confirmar que la constante $k$ sea mayor o igual a cero ($k \ge 0$).
- Paso 2: Escribir la doble desigualdad $-k \le E \le k$.
- Paso 3: Realizar las mismas operaciones de despeje (sumar, restar, dividir) en los tres miembros simultáneamente.
- Paso 4: Escribir el intervalo cerrado $S = [a, b]$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Desglosar $|E| \le k$ como una unión con el conector "O" ($\lor$).
- Cómo corregirlo: Las desigualdades con menor o igual ($\le$) forman un bloque continuo "Y" ($\land$) entre $-k$ y $k$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: $-5 \le x \le 5$.
- Paso 2: Corchetes cerrados en ambos extremos: $S = [-5, 5]$.
- Paso 1: $-2 \le x + 3 \le 2$.
- Paso 2: Restar $3$: $-5 \le x \le -1 \implies S = [-5, -1]$.
- Paso 1: $-8 \le 3x - 1 \le 8$.
- Paso 2: Sumar $1$: $-7 \le 3x \le 9$.
- Paso 3: Dividir entre $3$: $-\frac{7}{3} \le x \le 3$.
- Paso 1: La relación $\le$ incluye la condición de igualdad.
- Paso 2: Por lo tanto, $5 \in S$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Resolver inecuaciones de la forma $|f(x)| \le k$ con $k > 0$.
Desdoblando en una doble desigualdad continua con inclusión de bordes $-k \le f(x) \le k$ para obtener un intervalo cerrado acotado.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_IGUAL_POSITIVO (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?
- $2x < 10 - 0$ 2. $x < 5.0$
Respuesta: $x < 5.0$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_IGUAL_POSITIVO (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?
- $2x < 10 - 1$ 2. $x < 4.5$
Respuesta: $x < 4.5$
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Si $a$ es un número real positivo, ¿cuál de las siguientes expresiones es lógicamente equivalente a $|x| \le a$?
Por definición de valor absoluto, si la distancia de un número al cero es menor o igual a $a$ (con $a > 0$), entonces dicho número debe estar comprendido entre $-a$ y $a$, incluyendo ambos extremos.
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¿Cuál es el conjunto solución de la inecuación $|x| \le 0$?
Como el valor absoluto no puede ser negativo, la única forma de cumplir $|x| \le 0$ es que sea exactamente igual a $0$. Esto ocurre solo si $x = 0$.
Respuesta: 2
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_IGUAL_POSITIVO (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?
- $2x < 10 - 2$ 2. $x < 4.0$
Respuesta: $x < 4.0$
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¿Qué representa geométricamente la inecuación $|x - c| < r$ en la recta numérica real?
La expresión $|x - c|$ representa la distancia entre $x$ y $c$. Por tanto, la inecuación denota a todos los números $x$ que están a una distancia menor a $r$ respecto del número $c$.
Respuesta: 2
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_IGUAL_POSITIVO (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?
- $2x < 10 - 3$ 2. $x < 3.5$
Respuesta: $x < 3.5$
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Identifica cuál de las siguientes inecuaciones corresponde al caso donde se aplica la propiedad de acotación entre un negativo y un positivo, $-a < X < a$.
La inecuación $|5x - 3| < 2$ tiene la forma $|X| < a$ con $a > 0$, lo que permite aplicar directamente la propiedad $-2 < 5x - 3 < 2$. (Notar que $-|x+1|>-3$ implica $|x+1|<3$, pero requiere un paso algebraico previo).
Respuesta: 1
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_IGUAL_POSITIVO, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.
Al restar 4 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_IGUAL_POSITIVO, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.
Al restar 5 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_IGUAL_POSITIVO, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.
Al restar 6 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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La solución de la inecuación $|x - 5| \le 2$ es el intervalo $[3, 7]$.
Al aplicar la propiedad, se obtiene $-2 \le x - 5 \le 2$. Sumando $5$ en todas las partes se llega a $3 \le x \le 7$, lo cual corresponde al intervalo $[3, 7]$.
Respuesta: True
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El conjunto solución de $|3x| < 9$ es $(-3, 3]$.
La desigualdad es estricta ($<$), por lo tanto los extremos no se incluyen. Al resolver se obtiene $-9 < 3x < 9 \implies -3 < x < 3$. El intervalo correcto es $(-3, 3)$ abierto en ambos lados.
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La inecuación $|2 - x| \le 4$ equivale a $-2 \le x \le 6$.
Resolviendo: $-4 \le 2 - x \le 4$. Restando $2$: $-6 \le -x \le 2$. Multiplicando por $-1$ e invirtiendo las desigualdades: $6 \ge x \ge -2$, que se reordena como $-2 \le x \le 6$.
Respuesta: True
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_IGUAL_POSITIVO (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?
- $2x < 10 - 7$ 2. $x < 1.5$
Respuesta: $x < 1.5$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_IGUAL_POSITIVO (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?
- $2x < 10 - 8$ 2. $x < 1.0$
Respuesta: $x < 1.0$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MENOR_IGUAL_POSITIVO (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?
- $2x < 10 - 9$ 2. $x < 0.5$
Respuesta: $x < 0.5$
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Una fábrica produce tornillos cuya longitud ideal es de $50$ mm. Para pasar el control de calidad, la diferencia entre la longitud real $L$ y la ideal no debe exceder los $0,5$ mm. ¿Cuál de los siguientes intervalos representa las longitudes aceptables para los tornillos?
La condición plantea que $|L - 50| \le 0,5$. Resolviendo: $-0,5 \le L - 50 \le 0,5$. Sumando $50$ obtenemos $49,5 \le L \le 50,5$. El intervalo es cerrado porque el error 'no debe exceder' (es menor o igual).
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Si $m$ y $n$ son las soluciones de la ecuación $|x - 2| = 5$, con $m < n$. ¿Cuál es el conjunto solución de la inecuación $|x - m| < n$?
Primero hallamos $m$ y $n$. De $|x - 2| = 5$ obtenemos $x - 2 = 5 \implies x = 7$ o $x - 2 = -5 \implies x = -3$. Como $m < n$, entonces $m = -3$ y $n = 7$. Sustituimos en la inecuación: $|x - (-3)| < 7 \implies |x + 3| < 7$. Resolvemos: $-7 < x + 3 < 7 \implies -10 < x < 4$. Esto corresponde al intervalo $(-10, 4)$.
Respuesta: 1
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Se define el conjunto $A$ como el conjunto de todos los números reales $x$ que satisfacen $|3x - 1| \le 8$. ¿Cuántos números enteros pertenecen al conjunto $A$?
Resolvemos la inecuación: $-8 \le 3x - 1 \le 8$. Sumamos $1$: $-7 \le 3x \le 9$. Dividimos por $3$: $-\frac{7}{3} \le x \le 3$. En decimales, esto es aproximadamente $-2,33 \le x \le 3$. Los enteros en este rango son $-2, -1, 0, 1, 2, 3$, que son en total $6$ números enteros.