Resolución de inecuación de valor absoluto mayor que una constante positiva
Resumen inicial
Las inecuaciones del tipo $|E| > k$ con $k > 0$ se resuelven desglosando la propiedad estricta en la unión de dos intervalos abiertos disjuntos.
Explicación en palabras simples
Para resolver $|x| > 4$, buscamos los números cuya distancia a cero sea estrictamente mayor que 4.
Esto excluye las cotas $-4$ y $4$:
1. Rama izquierda: $x < -4 \implies ]-\infty, -4[$.
2. Rama derecha: $x > 4 \implies ]4, +\infty[$.
La solución completa es la unión de ambos intervalos abiertos: $]-\infty, -4[ \cup ]4, +\infty[$.
Explicación formal
Para $k > 0$ y $E(x)$ una expresión algebraica:
$$|E(x)| > k \iff E(x) < -k \quad \lor \quad E(x) > k$$
Desglose de la fórmula:
- Desigualdades estrictas: No incluyen los límites $-k$ ni $k$.
- Conjunto solución global $S = ]-\infty, -k[ \cup ]k, +\infty[$.
La alternativa correcta es '$S = ]-\infty, -8[ \cup ]2, +\infty[$'.
Definiciones clave
- Descomposición disyuntiva estricta: Aplicación de la regla de separación para $|E| > k$ con corchetes abiertos en las cotas.
Propiedades y relaciones importantes
- Exclusión de las cotas: La condición estricta exige corchetes abiertos $]-k$ y $k[$.
Ejemplo guiado
Determina la solución de la inecuación $|x + 3| > 5$ y exprésala en notación de intervalo.
- Paso 1: Formular la disyunción estricta: $x + 3 < -5 \ \lor \ x + 3 > 5$.
- Paso 2: Resolver la primera rama: $x < -8 \implies S_1 = ]-\infty, -8[$.
- Paso 3: Resolver la segunda rama: $x > 2 \implies S_2 = ]2, +\infty[$.
- Paso 4: Unir ambos intervalos: $S = ]-\infty, -8[ \cup ]2, +\infty[$.
La alternativa correcta es 'Porque el operador es estrictamente mayor ($>$), excluyendo los extremos.'.
Procedimiento
- Paso 1: Confirmar que la constante $k$ sea strictly positiva ($k > 0$).
- Paso 2: Plantear la primera desigualdad estricta $E < -k$ y despejar $x$.
- Paso 3: Plantear la segunda desigualdad estricta $E > k$ y despejar $x$.
- Paso 4: Unir los intervalos abiertos $S = S_1 \cup S_2$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error común: Incluir las cotas $-8$ y $2$ con corchetes cerrados en una desigualdad estricta ($>$).
- Cómo corregirlo: Si el operador original es estrictamente mayor que ($>$), NINGUNA de las cotas se incluye; todas llevan corchete abierto.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Paso 1: Desdoblar en $x < -3 \lor x > 3$.
- Paso 2: $S = ]-\infty, -3[ \cup ]3, +\infty[$.
- Paso 1: $x - 2 < -4 \implies x < -2$.
- Paso 2: $x - 2 > 4 \implies x > 6$.
- Paso 3: $S = ]-\infty, -2[ \cup ]6, +\infty[$.
- Paso 1: $2x < -10 \implies x < -5$.
- Paso 2: $2x > 10 \implies x > 5$.
- Paso 3: $S = ]-\infty, -5[ \cup ]5, +\infty[$.
- Paso 1: Un número no puede ser simultáneamente menor que $-k$ y mayor que $k$.
- Paso 2: La disyunción lógica $\lor$ genera la unión de conjuntos $\cup$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Resolver inecuaciones de la forma $|f(x)| > k$ con $k > 0$.
Desdoblando la inecuación en la unión de dos semirrectas disjuntas: $f(x) < -k \lor f(x) > k$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MAYOR_QUE_POSITIVO (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?
- $2x < 10 - 1$ 2. $x < 4.5$
Respuesta: $x < 4.5$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MAYOR_QUE_POSITIVO (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?
- $2x < 10 - 2$ 2. $x < 4.0$
Respuesta: $x < 4.0$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MAYOR_QUE_POSITIVO (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?
- $2x < 10 - 0$ 2. $x < 5.0$
Respuesta: $x < 5.0$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MAYOR_QUE_POSITIVO (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?
- $2x < 10 - 3$ 2. $x < 3.5$
Respuesta: $x < 3.5$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MAYOR_QUE_POSITIVO, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.
Al restar 4 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MAYOR_QUE_POSITIVO, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.
Al restar 5 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MAYOR_QUE_POSITIVO, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.
Al restar 6 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MAYOR_QUE_POSITIVO (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?
- $2x < 10 - 7$ 2. $x < 1.5$
Respuesta: $x < 1.5$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MAYOR_QUE_POSITIVO (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?
- $2x < 10 - 8$ 2. $x < 1.0$
Respuesta: $x < 1.0$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MAYOR_QUE_POSITIVO (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?
- $2x < 10 - 9$ 2. $x < 0.5$
Respuesta: $x < 0.5$
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Si $k$ es una constante real positiva, ¿cuál es el conjunto solución de la inecuación $|x - k| > 2k$?