Resolución de inecuación de valor absoluto mayor o igual que una constante positiva
Resolver inecuaciones que involucran un valor absoluto mayor o igual a una constante positiva, aplicando sus propiedades algebraicas para determinar el conjunto solución.
Introducción
El valor absoluto de un número representa su distancia al origen en la recta numérica. Cuando nos encontramos con una expresión de la forma $|x| \ge a$, donde $a$ es un número positivo, estamos buscando todos los números reales cuya distancia a cero sea igual o mayor que $a$. Esta condición geométrica se traduce en dos direcciones opuestas sobre la recta.
Explicación
Definición formal
Sea $x$ una expresión algebraica y $a \in \mathbb{R}$ tal que $a > 0$. La inecuación $|x| \ge a$ es equivalente a la disyunción lógica:
$$x \le -a \quad \lor \quad x \ge a$$
El conjunto solución general de esta inecuación se expresa como la unión de dos intervalos:
$$S = (-\infty, -a] \cup [a, \infty)$$
Esta propiedad se fundamenta en la definición de valor absoluto como distancia. Los valores de $x$ que satisfacen la inecuación son aquellos situados a la izquierda de $-a$ (inclusive) o a la derecha de $a$ (inclusive).
Desarrollo didáctico
Imagina que estás en el centro de una plaza (posición $0$) y te piden que te ubiques a una distancia de al menos $5$ metros del centro. Para cumplir esta condición, tienes dos opciones: puedes caminar $5$ metros o más hacia la izquierda, llegando a posiciones iguales o menores a $-5$; o puedes caminar $5$ metros o más hacia la derecha, alcanzando posiciones iguales o mayores a $5$.
Cualquier posición entre $-5$ y $5$ no cumple con la regla, ya que estarías a una distancia menor a $5$ metros del centro. Al trasladar esta idea a una expresión algebraica arbitraria $|f(x)| \ge a$, simplemente resolvemos dos casos separados: cuando el interior del valor absoluto es muy negativo ($f(x) \le -a$) y cuando es muy positivo ($f(x) \ge a$). La palabra fundamental aquí es "o" (disyunción), lo que implica que el conjunto solución será la unión de ambos escenarios.
Cómo hacerlo paso a paso
- Identifica la expresión de la forma $|f(x)| \ge a$ y verifica que $a$ sea un número positivo.
- Aplica la propiedad del valor absoluto para separar en dos inecuaciones independientes conectadas por un "o": $f(x) \le -a$ y $f(x) \ge a$.
- Resuelve la primera inecuación $f(x) \le -a$ para encontrar su conjunto solución $S_1$.
- Resuelve la segunda inecuación $f(x) \ge a$ para encontrar su conjunto solución $S_2$.
- El conjunto solución final será la unión de ambas soluciones obtenidas: $S = S_1 \cup S_2$.
Ejemplos
1 Encuentra el conjunto solución de la inecuación $|2x - 3| \ge 7$.
- Identificamos que la inecuación tiene la forma $|f(x)| \ge a$, con $a = 7 > 0$.
- Aplicamos la propiedad: $2x - 3 \le -7$ o $2x - 3 \ge 7$.
- Resolvemos el primer caso: $2x - 3 \le -7 \implies 2x \le -4 \implies x \le -2$. El intervalo es $(-\infty, -2]$.
- Resolvemos el segundo caso: $2x - 3 \ge 7 \implies 2x \ge 10 \implies x \ge 5$. El intervalo es $[5, \infty)$.
- La solución final es la unión de ambos intervalos: $S = (-\infty, -2] \cup [5, \infty)$.
2 Resuelve la inecuación $3|x + 1| - 4 \ge 5$.
- Primero debemos aislar el valor absoluto. Sumamos $4$ a ambos lados: $3|x + 1| \ge 9$.
- Dividimos por $3$: $|x + 1| \ge 3$.
- Aplicamos la propiedad de $|X| \ge a$: $x + 1 \le -3$ o $x + 1 \ge 3$.
- Resolvemos la primera inecuación: $x + 1 \le -3 \implies x \le -4$.
- Resolvemos la segunda inecuación: $x + 1 \ge 3 \implies x \ge 2$.
- El conjunto solución es la unión: $(-\infty, -4] \cup [2, \infty)$.
3 ¿El conjunto solución de $|x| \ge 2$ incluye los números comprendidos entre -2 y 2?
- La expresión $|x| \ge 2$ significa que la distancia de $x$ al cero debe ser mayor o igual a $2$.
- Los números comprendidos estrictamente entre $-2$ y $2$ (por ejemplo, el $0$, el $1$ o el $-1.5$) tienen una distancia al cero que es menor que $2$.
- Por definición, se resuelve como $x \le -2 \lor x \ge 2$.
- Por lo tanto, la región entre $-2$ y $2$ es justamente la parte de la recta real que no forma parte de la solución.
4 ¿Es correcto expresar la solución de $|x - 5| \ge 3$ como una intersección de intervalos?
- La inecuación $|x - 5| \ge 3$ se descompone en dos condiciones disjuntas: $x - 5 \le -3$ o $x - 5 \ge 3$.
- El conector lógico involucrado es "o" (disyunción), que se traduce algebraicamente en una unión de conjuntos ($\cup$).
- Si se expresara como una intersección ($\cap$), se estarían buscando números que sean simultáneamente menores que $2$ y mayores que $8$, lo cual es el conjunto vacío.
- En consecuencia, la solución debe expresarse siempre como una unión de intervalos: $(-\infty, 2] \cup [8, \infty)$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Expresar la solución como una intersección de intervalos en lugar de una unión, obteniendo equivocadamente el conjunto vacío."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Escribir incorrectamente la propiedad descomponiendo en $-a \le x \le a$, lo cual corresponde al caso del símbolo "menor o igual"."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Omitir el signo negativo al plantear la desigualdad $x \le -a$, escribiéndola erróneamente como $x \le a$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No cambiar el sentido de la desigualdad al plantear la parte negativa, escribiendo $x \ge -a$ en lugar de $x \le -a$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar incluir los corchetes cerrados en la notación de intervalos, asumiendo que la inecuación era estricta (sin el "igual")."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La inecuación con valor absoluto $|x| \ge a$, con $a > 0$, se separa en dos inecuaciones simples: $x \le -a$ o $x \ge a$. La solución es la unión de los intervalos correspondientes: $(-\infty, -a] \cup [a, \infty)$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MAYOR_IGUAL_POSITIVO (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?
- $2x < 10 - 0$ 2. $x < 5.0$
Respuesta: $x < 5.0$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MAYOR_IGUAL_POSITIVO (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?
- $2x < 10 - 1$ 2. $x < 4.5$
Respuesta: $x < 4.5$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MAYOR_IGUAL_POSITIVO (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?
- $2x < 10 - 2$ 2. $x < 4.0$
Respuesta: $x < 4.0$
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La inecuación $|x| \ge a$, con $a > 0$, es lógicamente equivalente a:
Por propiedad del valor absoluto para inecuaciones de la forma mayor o igual, la expresión se separa en dos intervalos divergentes unidos por el conector lógico "o" (disyunción).
Respuesta: $x \le -a \lor x \ge a$
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¿Qué representa geométricamente la inecuación $|x - p| \ge k$, con $k > 0$?
La expresión $|x - p|$ denota la distancia entre $x$ y $p$. Al establecer que es $\ge k$, se indican los puntos en la recta que están a una distancia igual o superior a $k$ desde el punto central $p$.
Respuesta: Todos los números cuya distancia a $p$ es mayor o igual a $k$.
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Si la solución de una inecuación de valor absoluto está dada por $(-\infty, -3] \cup [3, \infty)$, ¿cuál es la inecuación que la origina?
El conjunto solución $(-\infty, -3] \cup [3, \infty)$ equivale a los valores tales que $x \le -3 \lor x \ge 3$. Esto corresponde exactamente a la definición de $|x| \ge 3$.
Respuesta: $|x| \ge 3$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MAYOR_IGUAL_POSITIVO (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?
- $2x < 10 - 3$ 2. $x < 3.5$
Respuesta: $x < 3.5$
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Identifica cuál de las siguientes inecuaciones requiere aplicar la propiedad $|X| \ge a \iff X \le -a \lor X \ge a$ para ser resuelta correctamente.
La primera opción tiene la forma directa de un valor absoluto mayor o igual a un número positivo, por lo que requiere aplicar la propiedad que descompone en disyunción. Las de menor o igual requieren intersección.
Respuesta: $|2x - 1| \ge 4$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MAYOR_IGUAL_POSITIVO, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.
Al restar 5 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MAYOR_IGUAL_POSITIVO, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.
Al restar 6 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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La solución de la inecuación $|x - 2| \ge 5$ es el intervalo $[-3, 7]$.
Al aplicar la propiedad, obtenemos $x - 2 \le -5 \implies x \le -3$ o $x - 2 \ge 5 \implies x \ge 7$. La solución es la unión $(-\infty, -3] \cup [7, \infty)$. El intervalo $[-3, 7]$ sería la solución de $|x - 2| \le 5$.
Respuesta: Falso
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Al resolver $|3x| \ge 12$, el conjunto solución contiene al número $0$.
La inecuación se descompone en $3x \le -12 \implies x \le -4$ o $3x \ge 12 \implies x \ge 4$. El conjunto solución es $(-\infty, -4] \cup [4, \infty)$. El $0$ no se encuentra en esta unión.
Respuesta: Falso
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La inecuación $2|x + 4| - 6 \ge 0$ es equivalente a resolver $|x + 4| \ge 3$.
Sumando $6$ a ambos lados obtenemos $2|x + 4| \ge 6$. Luego, dividiendo por $2$, resulta $|x + 4| \ge 3$. Ambas inecuaciones son equivalentes.
Respuesta: Verdadero
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MAYOR_IGUAL_POSITIVO, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.
Al restar 4 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MAYOR_IGUAL_POSITIVO (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?
- $2x < 10 - 7$ 2. $x < 1.5$
Respuesta: $x < 1.5$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MAYOR_IGUAL_POSITIVO (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?
- $2x < 10 - 8$ 2. $x < 1.0$
Respuesta: $x < 1.0$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MAYOR_IGUAL_POSITIVO (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?
- $2x < 10 - 9$ 2. $x < 0.5$
Respuesta: $x < 0.5$
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El conjunto de todos los números reales $x$ que satisfacen la inecuación $|5 - 2x| \ge 9$ es:
Aplicamos la propiedad: $5 - 2x \le -9 \lor 5 - 2x \ge 9$. Resolviendo la primera: $-2x \le -14 \implies x \ge 7$. Resolviendo la segunda: $-2x \ge 4 \implies x \le -2$. La unión es $(-\infty, -2] \cup [7, \infty)$.
Respuesta: $(-\infty, -2] \cup [7, \infty)$
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¿Cuál de las siguientes gráficas en la recta real representa al conjunto solución de $|\frac{x - 1}{2}| \ge 3$?
Resolvemos la inecuación: $\frac{x - 1}{2} \le -3 \lor \frac{x - 1}{2} \ge 3$. Multiplicando por $2$: $x - 1 \le -6 \lor x - 1 \ge 6$. Sumando $1$: $x \le -5 \lor x \ge 7$. Esto corresponde a la unión de los intervalos $(-\infty, -5]$ y $[7, \infty)$.
Respuesta: Una recta con los intervalos $(-\infty, -5]$ y $[7, \infty)$ sombreados.
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Una máquina empacadora llena bolsas de café de tal manera que el peso real de la bolsa, en gramos, difiere de $500$ gramos en $15$ gramos o más, es defectuosa y se descarta. Si $x$ representa el peso de una bolsa, ¿cuál es la inecuación que modela el peso de las bolsas que son DESCARTADAS?
El peso ideal es $500$ gramos. La diferencia entre el peso real y el ideal se expresa como $|x - 500|$. Si esta diferencia es de $15$ gramos o más, la bolsa se descarta. Esto se modela con la inecuación $|x - 500| \ge 15$.
Respuesta: $|x - 500| \ge 15$