Resolución de inecuación de valor absoluto mayor o igual que una constante positiva

Resumen inicial

La resolución de inecuaciones del tipo $|E| \ge k$ con $k > 0$ se desglosa en la unión de dos inecuaciones independientes mediante el operador disyuntivo.

Explicación en palabras simples

Para resolver una inecuación como $|x| \ge 5$, buscamos los números cuya distancia a cero sea al menos 5.

Esto ocurre en dos zonas distintas:
1. Números menores o iguales a $-5$ ($x \le -5$).
2. Números mayores o iguales a $5$ ($x \ge 5$).

La solución final es la unión de ambas zonas: $]-\infty, -5] \cup [5, +\infty[$.

Explicación formal

Para $k > 0$ y $E(x)$ una expresión algebraica:

$$|E(x)| \ge k \iff E(x) \le -k \quad \lor \quad E(x) \ge k$$

Desglose de la fórmula:
- Disyunción lógica ($\lor$): Exige tomar todos los valores que satisfacen la primera o la segunda condición.
- Conjunto solución global $S = S_1 \cup S_2 = ]-\infty, -k] \cup [k, +\infty[$.

Definiciones clave

Propiedad disyuntiva de mayor o igual: Regla de descomposión de $|E| \ge k$ en dos ramas separadas por el operador unión.

Propiedades y relaciones importantes

Inclusión de límites: Dado que el operador es $\ge$, los extremos $-k$ y $k$ llevan corchetes cerrados.

Ejemplo guiado

Ejemplo Resolución de inecuación de valor absoluto mayor o igual que una constante positiva

Resuelve la inecuación de valor absoluto $|2x - 1| \ge 7$ y expresa la solución en notación de intervalo.

Paso 1: Aplicar la propiedad disyuntiva: $2x - 1 \le -7 \ \lor \ 2x - 1 \ge 7$.
Paso 2: Resolver la primera inecuación: $2x \le -6 \implies x \le -3 \implies S_1 = ]-\infty, -3]$.
Paso 3: Resolver la segunda inecuación: $2x \ge 8 \implies x \ge 4 \implies S_2 = [4, +\infty[$.
Paso 4: Unir ambas ramas: $S = ]-\infty, -3] \cup [4, +\infty[$.

Procedimiento

Paso 1: Verificar que la constante $k$ sea positiva ($k > 0$).
Paso 2: Formular la primera rama $E \le -k$ y despejar $x$ obteniendo $S_1$.
Paso 3: Formular la segunda rama $E \ge k$ y despejar $x$ obteniendo $S_2$.
Paso 4: Escribir la unión $S = S_1 \cup S_2$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Escribir $-7 \ge 2x - 1 \ge 7$ como si fuera un intervalo continuo.
Cómo corregirlo: La propiedad $\ge$ SEPARA la solución en dos inecuaciones distintas conectadas por "O" ($\lor$), nunca en una doble desigualdad continua.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La inecuación $|x - 2| \ge 5$ se desglosa en la desigualdad continua $-5 \ge x - 2 \ge 5$."

"Al desglosar $|x| \ge k$ con $k > 0$, la rama negativa se escribe como $x \ge -k$."

"El conjunto solución de $|E| \ge k$ es la unión de dos intervalos ilimitados: $]-\infty, -k] \cup [k, +\infty[$."

"La desigualdad $|x + 1| \ge 3$ exige invertir el operador al valor absoluto sin desglosar en casos."

"Para $k \ge 0$, la desigualdad $|E| \ge k$ equivale a la disyunción de condiciones $E \le -k \quad \lor \quad E \ge k$."

"Resolver $|x| \ge 4$ resulta únicamente en el intervalo positivo $[4, +\infty[$, descartando las soluciones negativas."

"Unir los intervalos de la solución disyuntiva de $|x| \ge k$ produce el conjunto vacío $\emptyset$."

Al terminar debes poder

Resumen Resolución de inecuación de valor absoluto mayor o igual que una constante positiva

Resolver inecuaciones de la forma $|f(x)| \ge k$ con $k > 0$.

Desdoblando en la unión de dos semirrectas exteriores con extremos cerrados: $f(x) \le -k \lor f(x) \ge k$.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MAYOR_IGUAL_POSITIVO (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?
1. $2x < 10 - 0$ 2. $x < 5.0$
Respuesta: $x < 5.0$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MAYOR_IGUAL_POSITIVO (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?
1. $2x < 10 - 1$ 2. $x < 4.5$
Respuesta: $x < 4.5$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MAYOR_IGUAL_POSITIVO (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?
1. $2x < 10 - 2$ 2. $x < 4.0$
Respuesta: $x < 4.0$
La inecuación $|x| \ge a$, con $a > 0$, es lógicamente equivalente a:
Por propiedad del valor absoluto para inecuaciones de la forma mayor o igual, la expresión se separa en dos intervalos divergentes unidos por el conector lógico "o" (disyunción).

Respuesta: $x \le -a \lor x \ge a$
¿Qué representa geométricamente la inecuación $|x - p| \ge k$, con $k > 0$?
La expresión $|x - p|$ denota la distancia entre $x$ y $p$. Al establecer que es $\ge k$, se indican los puntos en la recta que están a una distancia igual o superior a $k$ desde el punto central $p$.

Respuesta: Todos los números cuya distancia a $p$ es mayor o igual a $k$.
Si la solución de una inecuación de valor absoluto está dada por $(-\infty, -3] \cup [3, \infty)$, ¿cuál es la inecuación que la origina?
El conjunto solución $(-\infty, -3] \cup [3, \infty)$ equivale a los valores tales que $x \le -3 \lor x \ge 3$. Esto corresponde exactamente a la definición de $|x| \ge 3$.

Respuesta: $|x| \ge 3$

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MAYOR_IGUAL_POSITIVO (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?
1. $2x < 10 - 3$ 2. $x < 3.5$
Respuesta: $x < 3.5$
Identifica cuál de las siguientes inecuaciones requiere aplicar la propiedad $|X| \ge a \iff X \le -a \lor X \ge a$ para ser resuelta correctamente.
La primera opción tiene la forma directa de un valor absoluto mayor o igual a un número positivo, por lo que requiere aplicar la propiedad que descompone en disyunción. Las de menor o igual requieren intersección.

Respuesta: $|2x - 1| \ge 4$

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MAYOR_IGUAL_POSITIVO, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MAYOR_IGUAL_POSITIVO, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.
La solución de la inecuación $|x - 2| \ge 5$ es el intervalo $[-3, 7]$.
Al aplicar la propiedad, obtenemos $x - 2 \le -5 \implies x \le -3$ o $x - 2 \ge 5 \implies x \ge 7$. La solución es la unión $(-\infty, -3] \cup [7, \infty)$. El intervalo $[-3, 7]$ sería la solución de $|x - 2| \le 5$.

Respuesta: Falso
Al resolver $|3x| \ge 12$, el conjunto solución contiene al número $0$.
La inecuación se descompone en $3x \le -12 \implies x \le -4$ o $3x \ge 12 \implies x \ge 4$. El conjunto solución es $(-\infty, -4] \cup [4, \infty)$. El $0$ no se encuentra en esta unión.

Respuesta: Falso
La inecuación $2|x + 4| - 6 \ge 0$ es equivalente a resolver $|x + 4| \ge 3$.
Sumando $6$ a ambos lados obtenemos $2|x + 4| \ge 6$. Luego, dividiendo por $2$, resulta $|x + 4| \ge 3$. Ambas inecuaciones son equivalentes.

Respuesta: Verdadero
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MAYOR_IGUAL_POSITIVO, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MAYOR_IGUAL_POSITIVO (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?
1. $2x < 10 - 7$ 2. $x < 1.5$
Respuesta: $x < 1.5$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MAYOR_IGUAL_POSITIVO (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?
1. $2x < 10 - 8$ 2. $x < 1.0$
Respuesta: $x < 1.0$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.MAYOR_IGUAL_POSITIVO (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?
1. $2x < 10 - 9$ 2. $x < 0.5$
Respuesta: $x < 0.5$
El conjunto de todos los números reales $x$ que satisfacen la inecuación $|5 - 2x| \ge 9$ es:
Aplicamos la propiedad: $5 - 2x \le -9 \lor 5 - 2x \ge 9$. Resolviendo la primera: $-2x \le -14 \implies x \ge 7$. Resolviendo la segunda: $-2x \ge 4 \implies x \le -2$. La unión es $(-\infty, -2] \cup [7, \infty)$.

Respuesta: $(-\infty, -2] \cup [7, \infty)$
¿Cuál de las siguientes gráficas en la recta real representa al conjunto solución de $|\frac{x - 1}{2}| \ge 3$?
Resolvemos la inecuación: $\frac{x - 1}{2} \le -3 \lor \frac{x - 1}{2} \ge 3$. Multiplicando por $2$: $x - 1 \le -6 \lor x - 1 \ge 6$. Sumando $1$: $x \le -5 \lor x \ge 7$. Esto corresponde a la unión de los intervalos $(-\infty, -5]$ y $[7, \infty)$.

Respuesta: Una recta con los intervalos $(-\infty, -5]$ y $[7, \infty)$ sombreados.
Una máquina empacadora llena bolsas de café de tal manera que el peso real de la bolsa, en gramos, difiere de $500$ gramos en $15$ gramos o más, es defectuosa y se descarta. Si $x$ representa el peso de una bolsa, ¿cuál es la inecuación que modela el peso de las bolsas que son DESCARTADAS?
El peso ideal es $500$ gramos. La diferencia entre el peso real y el ideal se expresa como $|x - 500|$. Si esta diferencia es de $15$ gramos o más, la bolsa se descarta. Esto se modela con la inecuación $|x - 500| \ge 15$.

Respuesta: $|x - 500| \ge 15$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación