Expresión de la solución de valor absoluto como intervalo

Resumen inicial

Expresar la solución de una inecuación con valor absoluto como intervalo requiere convertir la desigualdad continua o la unión de regiones a notación de corchetes.

Explicación en palabras simples

Las inecuaciones con valor absoluto dan lugar a dos formas principales de solución:

Para $|x| < k$, los valores quedan atrapados entre $-k$ y $k$, lo que se escribe como el intervalo acotado $]-k, k[$.
Para $|x| > k$, los valores se escapan hacia los extremos exteriores, lo que se escribe como la unión de dos intervalos $]-\infty, -k[ \cup ]k, +\infty[$.

Explicación formal

Sea $k > 0$:

$|E(x)| \le k \iff -k \le E(x) \le k \implies S = [-k, k]$ (Intervalo acotado).
$|E(x)| \ge k \iff E(x) \le -k \ \lor \ E(x) \ge k \implies S = ]-\infty, -k] \cup [k, +\infty[$ (Unión de semirrectas).

Desglose de la fórmula:
- Operador de menor ($\le$): Produce intersección y genera un único intervalo continuo.
- Operador de mayor ($\ge$): Produce disyunción y genera la unión $\cup$ de dos intervalos disjuntos.

Definiciones clave

Notación de intervalo con valor absoluto: Representación mediante corchetes de los conjuntos de soluciones continuos o disjuntos derivados de desigualdades absolutas.

Propiedades y relaciones importantes

Forma conjuntiva vs disyuntiva: Las desigualdades del tipo $<$ producen intervalos acotados; las desigualdades del tipo $>$ producen uniones de semirrectas.

Ejemplo guiado

Ejemplo Expresión de la solución de valor absoluto como intervalo

Expresa la solución de la inecuación $|x| \ge 4$ en notación de intervalo.

Paso 1: Aplicar la propiedad disyuntiva para $|x| \ge 4$: $x \le -4 \ \lor \ x \ge 4$.
Paso 2: Escribir la primera rama como intervalo: $x \le -4 \implies ]-\infty, -4]$.
Paso 3: Escribir la segunda rama como intervalo: $x \ge 4 \implies [4, +\infty[$.
Paso 4: Unir ambos intervalos: $S = ]-\infty, -4] \cup [4, +\infty[$.

Procedimiento

Paso 1: Resolver las inecuaciones lineales resultantes del desglose del valor absoluto.
Paso 2: Determinar si las ramas forman un único intervalo ($<, \le$) o una unión de intervalos ($>, \ge$).
Paso 3: Asignar corchetes abiertos ($<, >$) o cerrados ($\le, \ge$).
Paso 4: Redactar la expresión final en notación de intervalos.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error común: Escribir un único intervalo $[-4, 4]$ para una inecuación de mayor que $|x| \ge 4$.
Cómo corregirlo: Recuerda que las desigualdades con mayor que ($>$) se abren hacia los extremos exteriores, requiriendo el símbolo de unión $\cup$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La solución del tipo disyuntivo $x \le -2$ o $x \ge 5$ se escribe en un único intervalo continuo como $[-2, 5]$."

"Expresar $|x - 1| \le 2$ en notación de intervalo requiere incluir el símbolo de infinito en ambos extremos."

"La unión de dos intervalos disjuntos $]-\infty, -1] \cup [7, +\infty[$ se simplifica a $]-1, 7[$."

"Las inecuaciones del tipo $|x| \le k$ generan soluciones en forma de un único intervalo acotado $[-k, k]$."

"Desglosar la desigualdad $|x| \ge 3$ genera el intervalo acotado continuo $[-3, 3]$."

"La solución de la inecuación $|x| < 4$ expresada como intervalo es $]-\infty, -4[ \cup ]4, +\infty[$."

"Las inecuaciones del tipo $|x| \ge k$ generan soluciones en forma de unión de dos intervalos inconexos $]-\infty, -k] \cup [k, +\infty[$."

Al terminar debes poder

Resumen Expresión de la solución de valor absoluto como intervalo

Formalizar el conjunto solución de una inecuación con valor absoluto en notación de intervalo.

Expresando el resultado como intervalo simple acotado (tipo menor) o como unión de dos intervalos disjuntos con el símbolo $\cup$ (tipo mayor).

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.INTERPRETACION_INTERVALO (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?
1. $2x < 10 - 0$ 2. $x < 5.0$
Respuesta: $x < 5.0$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.INTERPRETACION_INTERVALO (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?
1. $2x < 10 - 1$ 2. $x < 4.5$
Respuesta: $x < 4.5$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.INTERPRETACION_INTERVALO (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?
1. $2x < 10 - 2$ 2. $x < 4.0$
Respuesta: $x < 4.0$
Si el conjunto solución de una inecuación es el intervalo $(-4, 4)$, ¿cuál inecuación con valor absoluto le corresponde?
El intervalo $(-4, 4)$ contiene los números cuya distancia al cero es estrictamente menor a $4$, lo cual se escribe como $|x| < 4$.

Respuesta: $|x| < 4$
Cuando se resuelve $|x - c| > d$ con $d > 0$, el conjunto solución siempre está compuesto por:
Las inecuaciones 'mayor que' indican números que se alejan del centro, formando dos zonas separadas representadas por dos intervalos.

Respuesta: La unión de dos intervalos disjuntos.
Geométricamente, ¿qué representa el conjunto solución de la inecuación $|x - 8| \le 3$ en la recta numérica?
La expresión $|x - 8|$ mide la distancia entre $x$ y $8$. Que sea menor o igual a $3$ significa que la distancia máxima a $8$ es $3$.

Respuesta: Todos los números cuya distancia a $8$ es menor o igual a $3$.

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Identifica la representación en intervalo para la inecuación $-5 \le x - 2 \le 5$.
Sumando $2$ a todas las partes de $-5 \le x - 2 \le 5$ obtenemos $-3 \le x \le 7$, que corresponde al intervalo $[-3, 7]$.

Respuesta: $[-3, 7]$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.INTERPRETACION_INTERVALO (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?
1. $2x < 10 - 3$ 2. $x < 3.5$
Respuesta: $x < 3.5$

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.INTERPRETACION_INTERVALO, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.INTERPRETACION_INTERVALO, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.
Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.INTERPRETACION_INTERVALO, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.
El conjunto solución de $|x - 5| < 2$ es el intervalo $(3, 7)$.
Despejando: $-2 < x - 5 < 2$. Sumando $5$: $3 < x < 7$, que se expresa como $(3, 7)$.

Respuesta: Verdadero
El conjunto solución de $|x + 1| \ge 4$ se puede escribir como el intervalo $[-5, 3]$.
Es 'mayor o igual', por lo tanto son los exteriores: $x + 1 \le -4 \lor x + 1 \ge 4$, dando $(-\infty, -5] \cup [3, \infty)$.

Respuesta: Falso
El conjunto solución de $|x| \le 0$ está formado por un único número.
El valor absoluto nunca es negativo, así que la única manera de cumplir $|x| \le 0$ es que $x = 0$.

Respuesta: Verdadero

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Se requiere que el valor de un componente $p$ cumpla la condición $|2p - 6| < 8$. ¿A qué intervalo debe pertenecer el valor de $p$ para ser admisible?
Resolviendo la inecuación: $-8 < 2p - 6 < 8$. Sumamos $6$: $-2 < 2p < 14$. Dividimos por $2$: $-1 < p < 7$, lo que corresponde a $(-1, 7)$.

Respuesta: $(-1, 7)$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.INTERPRETACION_INTERVALO (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?
1. $2x < 10 - 7$ 2. $x < 1.5$
Respuesta: $x < 1.5$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.INTERPRETACION_INTERVALO (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?
1. $2x < 10 - 8$ 2. $x < 1.0$
Respuesta: $x < 1.0$
Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.INTERPRETACION_INTERVALO (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?
1. $2x < 10 - 9$ 2. $x < 0.5$
Respuesta: $x < 0.5$
Para estimar el precio $P$ de un producto, un estudio de mercado define la banda de precios razonables usando la expresión $|P - 1500| \le 300$. ¿Cuál de los siguientes precios queda FUERA de la banda razonable?
La banda razonable es $1500 - 300 \le P \le 1500 + 300$, que equivale a $[1200, 1800]$. El precio $1150$ no pertenece a dicho intervalo.

Respuesta: $1150$
Un fabricante de termómetros especifica que el error máximo de lectura permitido es de $0.2^{\circ}\text{C}$. Si un termómetro mide la temperatura real $T$ de un líquido que se sabe está a $100^{\circ}\text{C}$, ¿cuál es el intervalo de lecturas $L$ aceptables para este termómetro según el fabricante?
La condición indica que $|L - 100| \le 0.2$. Al resolver, $-0.2 \le L - 100 \le 0.2$, lo que resulta en $99.8 \le L \le 100.2$, es decir, el intervalo $[99.8, 100.2]$.

Respuesta: $[99.8, 100.2]$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación