Expresión de la solución de valor absoluto como intervalo
Interpretar la distancia entre números en la recta numérica usando inecuaciones con valor absoluto y expresarlo como un intervalo.
Introducción
El valor absoluto nos permite medir distancias sin preocuparnos por la dirección. Cuando establecemos una inecuación con valor absoluto, estamos determinando un conjunto de números que cumplen cierta condición de proximidad o lejanía respecto a un punto central específico.
Explicación
Definición formal
Para cualquier número real $x$, y constantes $a, b \in \mathbb{R}$ con $b > 0$, la inecuación $|x - a| \le b$ es equivalente a $-b \le x - a \le b$, cuyo conjunto solución en notación de intervalos es $x \in [a - b, a + b]$. La inecuación $|x - a| \ge b$ es equivalente a $x - a \ge b \lor x - a \le -b$, y su solución se representa como la unión de intervalos $x \in (-\infty, a - b] \cup [a + b, \infty)$.
Desarrollo didáctico
Podemos visualizar el valor absoluto $|x - a|$ como la distancia geométrica entre $x$ y $a$ en la recta numérica. Así, $|x - 3| < 2$ nos dice "la distancia entre $x$ y $3$ es estrictamente menor que $2$". Si nos paramos en el $3$, podemos caminar hasta casi $2$ pasos a la derecha (llegando al $5$) y casi $2$ pasos a la izquierda (llegando al $1$). Por lo tanto, cualquier número entre $1$ y $5$ cumple la condición. Esto se expresa directamente con el intervalo abierto $(1, 5)$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Identificar la inecuación y llevarla a la forma $|x - a| < b$, $|x - a| \le b$, $|x - a| > b$, o $|x - a| \ge b$.
- Plantear la doble desigualdad equivalente según sea el caso (intersección para menores, unión para mayores).
- Despejar la variable $x$ resolviendo las inecuaciones lineales resultantes.
- Escribir el conjunto solución empleando la notación formal de intervalos.
Ejemplos
1 El grosor $x$ de una lámina metálica, medido en milímetros, debe cumplir con la inecuación $|x - 5| \le 0.5$ para ser aceptada. Expresa el rango de grosores aceptables como un intervalo.
- La inecuación indica que la distancia de $x$ a $5$ debe ser menor o igual a $0.5$.
- Planteamos la desigualdad doble: $-0.5 \le x - 5 \le 0.5$.
- Sumamos $5$ en todas las partes: $5 - 0.5 \le x \le 5 + 0.5$.
- Obtenemos $4.5 \le x \le 5.5$.
- En notación de intervalo, el rango aceptable es $[4.5, 5.5]$ milímetros.
2 Se requiere que una maquinaria opere a temperaturas $T$ (en grados Celsius) que cumplan con la condición $|T - 20| > 15$. ¿En qué intervalos de temperatura debe operar la maquinaria?
- La inecuación indica que la distancia entre $T$ y $20$ es mayor a $15$.
- Esto se divide en dos casos: $T - 20 > 15$ o $T - 20 < -15$.
- Para el primer caso: $T > 35$. Para el segundo caso: $T < 5$.
- La solución son los números menores a $5$ o mayores a $35$.
- El intervalo correspondiente es $(-\infty, 5) \cup (35, \infty)$.
3 ¿El número $4$ pertenece al intervalo solución de $|x - 1| \le 2$?
- Evaluamos la distancia de $4$ al $1$: $|4 - 1| = |3| = 3$.
- Comparamos con el límite: $3$ no es menor o igual a $2$.
- Alternativamente, el intervalo es $[1 - 2, 1 + 2] = [-1, 3]$. El $4$ no pertenece a $[-1, 3]$.
4 ¿El intervalo solución de la inecuación $|x| < 7$ es $(-7, 7)$?
- La inecuación señala que la distancia desde $x$ al origen ($0$) es menor que $7$.
- Esto se traduce en la desigualdad doble $-7 < x < 7$.
- En notación de intervalos, los límites no se incluyen, por lo que resulta efectivamente en $(-7, 7)$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Afirmar que $|x - a| < b$ significa que la distancia de $x$ a $b$ es menor que $a$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Concluir equivocadamente que el conjunto solución de una inecuación de la forma $|x - a| > b$ siempre puede escribirse como un solo intervalo continuo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Interpretar la inecuación $|x| < -5$ como un intervalo simétrico válido alrededor del cero, cuando en realidad no tiene solución real."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Asumir que el centro del intervalo correspondiente a la desigualdad $|x + c| < d$ es $c$ positivo, ignorando que la forma estándar es restando el centro."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Afirmar que los corchetes siempre se utilizan junto a los símbolos de infinito al escribir los intervalos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La inecuación $|x - a| \le b$ (con $b > 0$) representa todos los números $x$ cuya distancia a $a$ es menor o igual a $b$, lo que equivale al intervalo cerrado $[a - b, a + b]$. Análogamente, si es de tipo 'mayor que', representa los intervalos exteriores.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.INTERPRETACION_INTERVALO (conceptuales 1). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 0 < 10$?
- $2x < 10 - 0$ 2. $x < 5.0$
Respuesta: $x < 5.0$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.INTERPRETACION_INTERVALO (conceptuales 2). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 1 < 10$?
- $2x < 10 - 1$ 2. $x < 4.5$
Respuesta: $x < 4.5$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.INTERPRETACION_INTERVALO (conceptuales 3). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 2 < 10$?
- $2x < 10 - 2$ 2. $x < 4.0$
Respuesta: $x < 4.0$
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Si el conjunto solución de una inecuación es el intervalo $(-4, 4)$, ¿cuál inecuación con valor absoluto le corresponde?
El intervalo $(-4, 4)$ contiene los números cuya distancia al cero es estrictamente menor a $4$, lo cual se escribe como $|x| < 4$.
Respuesta: $|x| < 4$
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Cuando se resuelve $|x - c| > d$ con $d > 0$, el conjunto solución siempre está compuesto por:
Las inecuaciones 'mayor que' indican números que se alejan del centro, formando dos zonas separadas representadas por dos intervalos.
Respuesta: La unión de dos intervalos disjuntos.
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Geométricamente, ¿qué representa el conjunto solución de la inecuación $|x - 8| \le 3$ en la recta numérica?
La expresión $|x - 8|$ mide la distancia entre $x$ y $8$. Que sea menor o igual a $3$ significa que la distancia máxima a $8$ es $3$.
Respuesta: Todos los números cuya distancia a $8$ es menor o igual a $3$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Identifica la representación en intervalo para la inecuación $-5 \le x - 2 \le 5$.
Sumando $2$ a todas las partes de $-5 \le x - 2 \le 5$ obtenemos $-3 \le x \le 7$, que corresponde al intervalo $[-3, 7]$.
Respuesta: $[-3, 7]$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.INTERPRETACION_INTERVALO (reconocimiento 4). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 3 < 10$?
- $2x < 10 - 3$ 2. $x < 3.5$
Respuesta: $x < 3.5$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.INTERPRETACION_INTERVALO, se debe considerar que $x + 4 \geq 0$ implica $x \geq -4$.
Al restar 4 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.INTERPRETACION_INTERVALO, se debe considerar que $x + 5 \geq 0$ implica $x \geq -5$.
Al restar 5 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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Para resolver inecuaciones en MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.INTERPRETACION_INTERVALO, se debe considerar que $x + 6 \geq 0$ implica $x \geq -6$.
Al restar 6 a ambos lados, se obtiene el resultado directamente.
Respuesta: Verdadero
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El conjunto solución de $|x - 5| < 2$ es el intervalo $(3, 7)$.
Despejando: $-2 < x - 5 < 2$. Sumando $5$: $3 < x < 7$, que se expresa como $(3, 7)$.
Respuesta: Verdadero
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El conjunto solución de $|x + 1| \ge 4$ se puede escribir como el intervalo $[-5, 3]$.
Es 'mayor o igual', por lo tanto son los exteriores: $x + 1 \le -4 \lor x + 1 \ge 4$, dando $(-\infty, -5] \cup [3, \infty)$.
Respuesta: Falso
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El conjunto solución de $|x| \le 0$ está formado por un único número.
El valor absoluto nunca es negativo, así que la única manera de cumplir $|x| \le 0$ es que $x = 0$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Se requiere que el valor de un componente $p$ cumpla la condición $|2p - 6| < 8$. ¿A qué intervalo debe pertenecer el valor de $p$ para ser admisible?
Resolviendo la inecuación: $-8 < 2p - 6 < 8$. Sumamos $6$: $-2 < 2p < 14$. Dividimos por $2$: $-1 < p < 7$, lo que corresponde a $(-1, 7)$.
Respuesta: $(-1, 7)$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.INTERPRETACION_INTERVALO (tipo_paes 8). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 7 < 10$?
- $2x < 10 - 7$ 2. $x < 1.5$
Respuesta: $x < 1.5$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.INTERPRETACION_INTERVALO (tipo_paes 9). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 8 < 10$?
- $2x < 10 - 8$ 2. $x < 1.0$
Respuesta: $x < 1.0$
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Pregunta sobre MAT.ALG.INECUACIONES_VALOR_ABSOLUTO.INTERPRETACION_INTERVALO (tipo_paes 10). ¿Cuál es el conjunto solución de $2x + 9 < 10$?
- $2x < 10 - 9$ 2. $x < 0.5$
Respuesta: $x < 0.5$
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Para estimar el precio $P$ de un producto, un estudio de mercado define la banda de precios razonables usando la expresión $|P - 1500| \le 300$. ¿Cuál de los siguientes precios queda FUERA de la banda razonable?
La banda razonable es $1500 - 300 \le P \le 1500 + 300$, que equivale a $[1200, 1800]$. El precio $1150$ no pertenece a dicho intervalo.
Respuesta: $1150$
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Un fabricante de termómetros especifica que el error máximo de lectura permitido es de $0.2^{\circ}\text{C}$. Si un termómetro mide la temperatura real $T$ de un líquido que se sabe está a $100^{\circ}\text{C}$, ¿cuál es el intervalo de lecturas $L$ aceptables para este termómetro según el fabricante?
La condición indica que $|L - 100| \le 0.2$. Al resolver, $-0.2 \le L - 100 \le 0.2$, lo que resulta en $99.8 \le L \le 100.2$, es decir, el intervalo $[99.8, 100.2]$.
Respuesta: $[99.8, 100.2]$